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CalcMax

Calculatrice de circonférence

Intervalle : 0 cm – 1 000 000 000 cm

Intervalle : 0 cm – 1 000 000 000 cm

Résultat

31,4159 cm

Circonférence

Une calculatrice de circonférence prend celle des deux largeurs que vous avez sous la main — le rayon, mesuré du centre vers le bord, ou le diamètre, mesuré d’un bord à l’autre — et rend la longueur du tour complet du cercle, c’est-à-dire son périmètre, en centimètres. La formule est 2πr, deux fois le rayon multiplié par pi, et c’est la plus ancienne des formules du cercle : c’est celle que les Grecs calculaient en épuisant des polygones, et celle qui a donné son nom à pi, puisque pi se définit comme la circonférence d’un cercle quelconque divisée par son diamètre. Cette définition mérite d’être retenue, car c’est elle qui rend le sens inverse facile. Multipliez un diamètre par pi et vous avez la longueur du tour ; divisez une circonférence par pi et vous retrouvez le diamètre. L’arithmétique de la page fait volontairement le détour : elle divise le diamètre par deux pour obtenir un rayon, puis le double à nouveau à l’intérieur de la formule, et la raison en est que les deux écritures de la même expression ne tombent pas toujours sur le même dernier chiffre quand c’est une machine qui les calcule. La page emprunte la route qui s’accorde avec ses pages sœurs : un cercle de diamètre 12 affiche 37,6991 ici comme sur la page de synthèse. Une seule des deux cases doit être remplie. Le rayon et le diamètre ne sont pas deux mesures indépendantes d’un cercle, ils disent la même mesure de deux façons ; remplir les deux n’est donc pas plus précis, c’est une contradiction. Un rayon de 5 et un diamètre de 12 ne décrivent pas le même cercle, et la page le dit plutôt que d’en préférer un en silence. Remplissez la case que vous avez réellement mesurée et laissez l’autre vide ; si vous vous êtes trompé de case, effacez-la plutôt que d’ajouter la seconde. Les unités sont le point qui vous piégera le plus probablement. Chaque case accepte les centimètres, les mètres, les millimètres, les pouces et les pieds, et la réponse est toujours en centimètres, parce que la conversion se fait à l’entrée et non à la sortie. Saisissez un rayon en pouces en attendant des pouces et le chiffre sera environ deux fois et demie trop grand. Rien ici n’est élevé au carré, la conversion est donc une simple division par 2,54 — mais cela vaut pour cette page seulement, et l’habitude de diviser par 2,54 donnera un résultat faux dès que vous passerez à une aire. Un dernier point avant de vérifier l’arithmétique vous-même. La réponse est calculée à partir d’un rayon non arrondi et n’est arrondie qu’à la toute fin, ce qui compte lorsque vous partez du diamètre d’un cercle dont le rayon n’est pas un nombre rond. Refaites à la main un diamètre de 12 en gardant le rayon sous la forme 6, et vous retrouverez exactement la page. Là où les gens et la page se séparent, c’est quand le rayon est une valeur que l’on ne peut pas écrire, ce qui arrive chaque fois que la mesure de départ était la circonférence elle-même.

La circonférence d’un cercle à partir de son rayon, avec le diamètre en regard

Rayon (cm)Diamètre (cm)Circonférence (cm)
126.2832
2412.5664
3618.8496
51031.4159
102062.8319
2040125.6637
0.513.1416
000

Huit cercles et trois colonnes, dont la dernière est la réponse tandis que les deux premières l’expliquent. La colonne du diamètre est là parce que le panneau de résultats ne reprend pas ce que vous avez saisi : si vous avez entré un diamètre, c’est le seul endroit où voir comment il a été lu. La première ligne est le cercle de rayon un, dont la circonférence vaut numériquement 2π, ce qui mérite d’être su en soi et constitue le moyen le plus rapide de se rappeler ce que fait la formule lorsque le rayon vaut 1. Les deux premières lignes forment le couple qui montre la règle de mise à l’échelle : le rayon passe de 1 à 2 et la circonférence de 6,2832 à 12,5664, exactement le double, parce qu’une circonférence est une longueur et non une aire. La quatrième ligne est le couple avec lequel la page se charge, 31,4159, et c’est le chiffre que la page de synthèse imprime pour le même cercle. La septième ligne est un rayon d’un demi-centimètre, dont la circonférence vaut π à quatre décimales, et la dernière est un rayon de zéro, où le cercle s’est réduit à un point et où la réponse est un vrai zéro et non une réponse manquante. Les nombres sont repris tels quels : dans le tableau, le séparateur décimal est le point (6.2832 plutôt que 6,2832), parce que les valeurs viennent du calcul et non d’un texte.

Formule

C = 2πr

π
La constante que tous les cercles partagent, environ 3,14159. Elle se définit comme la circonférence d’un cercle divisée par son diamètre : voilà d’où elle vient, et pourquoi c’est en divisant par elle que l’on repart dans l’autre sens
r
Le rayon en centimètres — la distance du centre vers le bord, ou la moitié du diamètre si c’est le diamètre que vous avez mesuré
2πr
La formule : le rayon doublé, puis multiplié par π. Doubler d’abord revient arithmétiquement à partir du diamètre et à le multiplier une seule fois par π, et la page l’écrit ainsi pour que les deux cases aboutissent au même chiffre détaillé
Circonférence
La longueur du tour complet du cercle, en centimètres, quelle que soit l’unité réglée dans la case de saisie
Diamètre ÷ 2
Le chemin d’entrée depuis l’autre case. La division par deux est exacte chaque fois que le diamètre est une valeur que vous avez mesurée, et c’est pourquoi cette page obtient la même réponse que celle qui part d’un rayon
Deux fois le rayon
Ce que fait le doublement du rayon ici : la circonférence double elle aussi. Ce n’est pas vrai de l’aire du même cercle, qui est multipliée par quatre, et confondre ces deux réflexes est l’erreur de calcul la plus fréquente sur les figures rondes
Quatre décimales
La largeur d’écriture du résultat. Une circonférence n’est presque jamais un nombre qui se termine, sauf si le rayon a été choisi pour cela ; 2π fois un rayon de 5 vaut 31,41592… et la page affiche 31,4159

Tout ce qui doit faire le tour d’autre chose. Les clôtures, les bordures et les entourages sont le cas le plus simple : la longueur de grillage autour d’un enclos circulaire, la bande de bordure autour d’une pelouse ronde, la finition autour d’un plateau de table rond ou d’un miroir circulaire, tout cela relève de cette formule et s’achète au mètre. Les courroies, les sangles et les cercles sont le deuxième cas : une courroie d’entraînement autour de deux poulies de même taille, un cerclage métallique autour d’un tonneau, un joint torique, un bas de porte circulaire, le collier de retenue d’un couvercle de cuve — chacun se découpe à une circonférence près, et la différence entre l’intérieur et l’extérieur de la matière est une marge distincte que cette page ne calcule pas. Le roulement est le troisième et le moins évident : une roue de diamètre connu parcourt sa circonférence en un tour complet, si bien que la distance couverte par un vélo, une voiture ou un odomètre mécanique vaut la circonférence multipliée par le nombre de tours, ce qui est exactement le principe d’un compteur mécanique. Dans le bâtiment et les aménagements extérieurs, c’est la longueur d’une bordure circulaire, le chaperon autour d’un bassin rond, la quantité de caniveau à grille nécessaire autour d’une allée circulaire et le développement d’un mur circulaire. En mécanique, c’est la longueur de courroie autour d’une poulie, la circonférence d’un tuyau qu’un gainage isolant ou une bande adhésive doit couvrir, et la course par tour de n’importe quel rouleau. En classe, c’est le premier endroit où un élève rencontre l’idée qu’une constante peut être irrationnelle et rester utile : enroulez une ficelle autour d’une boîte, redressez-la contre une règle, divisez par le diamètre, et le résultat dépasse un peu trois chaque fois — c’est toute la raison pour laquelle pi mérite d’être écrit. Et dans l’arithmétique de tous les jours, c’est la longueur de ruban autour d’un bocal, le passepoil autour d’un coussin, ou la question de savoir si une nappe ronde est assez grande pour retomber par-dessus le bord.

Exemples détaillés

  1. Un rayon de 5

    1. Doublez le rayon : 2 × 5 = 10
    2. Multipliez par π : 10 × 3,14159 = 31,4159

    Le couple avec lequel la page se charge, et le chiffre qui relie cette page à deux autres : un cercle de rayon 5 mesure 31,4159 de tour ici, sur la page de synthèse, et sur la page de l’ellipse lorsque ses deux axes valent 10. Les trois s’accordent au dernier chiffre parce qu’aucune ne commence par arrondir le rayon.

  2. Un diamètre de 12

    1. Divisez le diamètre par deux pour obtenir le rayon : 12 ÷ 2 = 6
    2. Doublez-le à nouveau dans la formule : 2 × 6 = 12
    3. Multipliez par π : 12 × 3,14159 = 37,6991

    La façon la plus courante d’arriver ici, puisqu’il est plus facile de mesurer d’un bord à l’autre d’un objet rond que d’en trouver le centre. La division par deux et le doublement s’annulent exactement : la réponse est donc le même chiffre que celui imprimé par la page de synthèse pour un diamètre de 12 — le détour par le rayon ne coûte rien et c’est lui qui maintient les deux pages d’accord.

  3. Un rayon de 10

    1. Doublez le rayon : 2 × 10 = 20
    2. Multipliez par π : 20 × 3,14159 = 62,8319

    Exactement le double de la circonférence d’un cercle de rayon 5, et l’endroit le plus net pour voir que le périmètre d’un cercle varie avec le rayon et non avec son carré. Comparez avec la page de l’aire, où le même passage de 5 à 10 multiplie la réponse par quatre. Deux pages, un seul nombre changé, deux facteurs différents : savoir lequel est lequel, c’est l’essentiel de ce qu’il y a à savoir sur les figures rondes.

  4. Un rayon d’un demi-centimètre

    1. Doublez le rayon : 2 × 0,5 = 1
    2. Multipliez par π : 1 × 3,14159 = 3,1416

    Un cercle de rayon un demi a une circonférence exactement égale à π, numériquement, ce qui est une remarque élégante et un moyen rapide de se rappeler ce que fait la formule quand r vaut un demi. Les petits cercles comme celui-ci sont le domaine où les quatre décimales cessent d’être généreuses : à cette taille, le résultat est pi à quatre décimales près, et tout chiffre supplémentaire serait du bruit sur une mesure que personne ne peut prendre aussi précisément.

  5. Un rayon de 0

    1. Doublez le rayon : 2 × 0 = 0
    2. Multipliez par π : 0 × 3,14159 = 0

    Un cercle de taille nulle n’a rien à parcourir, et zéro est la bonne réponse plutôt qu’une réponse manquante. Zéro est une valeur légale dans l’une ou l’autre case — la différence entre mesurer zéro et ne pas mesurer du tout — et une case vide est le cas que la page traite comme n’ayant rien pour travailler.

Limites

Cette page renvoie la circonférence et rien d’autre : ni le rayon, ni le diamètre, ni l’aire. Si c’est la circonférence que vous avez déjà et que vous en voulez une des autres, c’est une autre page. La réponse est toujours en centimètres, quelle que soit l’unité réglée dans chaque case, parce que la conversion se fait à l’entrée ; un rayon saisi en pouces revient sous forme d’un chiffre en centimètres qu’il faut diviser par 2,54 pour le relire en pouces, et cette division unique ne vaut que pour cette page — les aires et les volumes se convertissent autrement. La réponse est calculée à partir d’un rayon non arrondi et arrondie une seule fois à la fin : un calcul à la main qui arrondit d’abord le rayon peut différer sur le dernier chiffre, et ce n’est pas la page qui a tort. Quatre décimales sont une largeur d’affichage et non une affirmation d’exactitude — une circonférence est en général un décimal illimité, et 31,4159 est un 31,41592… arrondi. Une seule case au maximum peut être remplie : donnez-en deux à la page, même deux qui s’accordent, et elle refuse, parce que deux cases font deux mesures et qu’elle n’a aucun moyen de savoir laquelle vous vouliez. Une circonférence de zéro est acceptée et reçoit zéro en réponse. Rien ici ne traite l’ellipse, le segment, le secteur ni la spirale — le périmètre d’une ellipse en particulier n’a aucune formule élémentaire, si bien qu’une page qui en propose une propose une approximation et devrait le dire.

Questions fréquentes

Pourquoi ne puis-je remplir qu’une des deux cases ?
Parce que le rayon et le diamètre sont la même mesure écrite de deux façons : deux chiffres sont donc soit redondants, soit contradictoires. Un rayon de 5 et un diamètre de 12 ne peuvent pas être vrais du même cercle. La page refuse les deux plutôt que d’en choisir un, car l’intérêt d’avoir deux cases est justement de remplir celle que vous avez réellement mesurée.
Je ne peux mesurer qu’en travers du cercle. Quelle case est-ce ?
Le diamètre, et c’est le chemin d’entrée le plus courant : un mètre ruban en travers d’une boîte de conserve, d’un plateau de table ou d’un tuyau est bien plus simple que de trouver le centre et de partir vers le bord. La page le divise par deux pour obtenir un rayon, puis le double à nouveau dans la formule : cela ressemble à un détour et n’en est pas un, c’est ce qui garde le chiffre identique à celui imprimé par la page de synthèse pour le même cercle.
J’ai saisi des pouces. Pourquoi la réponse est-elle en centimètres ?
Parce que la conversion se fait à l’entrée et non à la sortie. Vos pouces sont transformés en centimètres, la circonférence est calculée, et la réponse est en centimètres. Pour la lire en pouces, divisez par 2,54. Cette division unique est correcte ici parce qu’une circonférence est une longueur — le même diviseur serait faux sur une aire, où le facteur de longueur est élevé au carré.
Pourquoi la circonférence d’un cercle de rayon 1 ne vaut-elle pas exactement 6,2832 ?
Parce qu’elle vaut exactement 2π, et que 2π est un décimal illimité — 6,283185… La page l’imprime à quatre décimales, si bien que ce que vous voyez est 6,2832 arrondi. Ce résultat est une largeur d’affichage et non l’affirmation que le nombre se termine, et aucun rayon autre que zéro et quelques valeurs choisies exprès ne donnera une circonférence qui se termine.
Doubler le rayon double-t-il la circonférence ?
Oui, et c’est le seul endroit où un réflexe importé de la formule de l’aire vous égarera. Une circonférence est une longueur, elle croît donc proportionnellement au rayon ; l’aire du même cercle croît avec le carré du rayon, si bien que la doubler la multiplie par quatre. Le tableau montre les deux premières lignes exactement pour cette raison : le rayon passe de 1 à 2 et la circonférence de 6,2832 à 12,5664.
Puis-je retrouver le rayon ou le diamètre à partir d’une circonférence ?
Pas sur cette page — elle prend un rayon ou un diamètre et donne la circonférence, dans un seul sens. Le chemin inverse est une division par π, et la page qui le fait dans les deux sens, en imprimant le diamètre et la circonférence ensemble, est la page circonférence et diamètre. La page de synthèse vous donnera également les quatre grandeurs à partir de n’importe laquelle.

Références

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