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CalcMax

Calculatrice de sphère

Intervalle : 0 cm – 1 000 000 000 cm

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Résultat

523,5988 cm³

Volume

Aire totale
314,1593 cm²
Rayon
5,0000 cm
Diamètre
10,0000 cm
Circonférence
31,4159 cm

Une calculatrice de sphère prend l’une quelconque de trois mesures d’une balle — son rayon, son diamètre ou sa circonférence — et en renvoie cinq : le volume, l’aire de la surface, et ces trois longueurs. La forme du formulaire vaut la peine d’être remarquée. Un seul champ doit être rempli, et la page travaille à partir de celui-là, parce que les trois longueurs sont la même mesure de la même balle sous trois habits différents : mesurer le tour de l’équateur décrit la balle aussi bien que mesurer du centre à la peau. Ce qui n’est pas symétrique, c’est l’autre direction. Les quatre mesures d’un cercle sont des pairs, et la page du cercle, à côté, part de n’importe laquelle d’entre elles. Celles d’une sphère ne le sont pas : le volume et l’aire de la surface sont des choses qu’on calcule, jamais des choses qu’on fournit, parce que remonter depuis un volume demande une racine cubique et remonter depuis une aire une racine carrée, et que ces deux questions ont déjà des pages à elles. La page comporte donc trois champs et cinq relevés, et les deux relevés supplémentaires sont sa raison d’être. Le volume est ce que la balle contient ou déplace — combien d’air il y a dans un ballon, combien d’eau prend une cuve sphérique, de quelle matière est fait un roulement à billes. L’aire de la surface est la peau qu’elle a — combien de peinture, combien de cuir, combien de revêtement. Ces deux-là sont ce qui fait d’une sphère un objet en trois dimensions, et ce sont celles que les formes plates des pages voisines n’ont rien à comparer.

Des balles usuelles, saisies par chacune des trois mesures

EntréeRayon (cm)Diamètre (cm)Circonférence (cm)Aire de la surface (cm²)Volume de la sphère (cm³)
r51031.4159314.1593523.5988
d61237.6991452.3893904.7787
C3.18316.366220127.324135.0949
r102062.83191256.63714188.7902
r126.283212.56644.1888
r0.513.14163.14160.5236
r00000
d50100314.159331415.9265523598.7756

Huit balles, et la première colonne dit lequel des trois champs a été rempli — sans elle le tableau ne se lirait pas, puisque les cinq nombres sont imprimés pour chaque ligne et que rien d’autre ne dit quelle mesure était l’entrée. Les trois premières lignes sont saisies de trois façons différentes à dessein : un rayon de 5 cm, un diamètre de 12 cm et une circonférence de 20 cm, pour que les trois portes d’entrée soient visibles côte à côte. La première ligne est la balle avec laquelle la page se charge, et sa circonférence de 31,4159 est exactement ce que la page du cercle imprime pour un rayon de 5 — une circonférence ne se soucie pas d’être tracée à plat ou autour d’une balle. La troisième ligne est celle à lire si vous comptez faire ce calcul à la main : saisie comme une circonférence de 20, le volume vaut 135,0949, tandis qu’en élevant au cube le rayon arrondi de 3,1831 imprimé à côté on obtient 135,0950 — une différence sur le dernier chiffre, et c’est la page qui a raison, parce que la vraie réponse appartient au 20 que vous avez tapé et non au rayon arrondi affiché. La cinquième ligne est la boule unité, où l’aire de la surface vaut 4π et le volume 4π/3. La sixième ligne est la coïncidence sur laquelle il faut s’arrêter : à un rayon d’un demi, l’aire de la surface et la circonférence valent toutes deux 3,1416, parce que 4πr² et 2πr se croisent exactement là. La septième ligne est un rayon nul, où chaque colonne vaut zéro et où la réponse est réelle plutôt que manquante. La dernière ligne est un diamètre de 100, dix fois le rayon de la première ligne, et la mise à l’échelle s’y voit : dix fois le rayon donne dix fois la circonférence, cent fois l’aire de la surface et mille fois le volume. Chaque nombre est recalculé à partir de son entrée au moment où la page est construite, en centimètres, et les quatre décimales sont les mêmes quatre décimales que celles du panneau de résultats. Les nombres sont repris tels quels : dans le tableau, le séparateur décimal est le point (314.1593 plutôt que 314,1593), parce que les valeurs viennent du calcul et non d’un texte.

Formule

V = 4⁄3 × πr³ A = 4πr² d = 2r C = 2πr

Rayon
La distance du centre à la surface, en centimètres. Le seul nombre sur lequel une sphère est réellement bâtie — tout le reste de cette page, y compris les deux autres entrées, n’est qu’une façon de l’exprimer
Diamètre
La distance traversant droit par le milieu, en centimètres, soit deux fois le rayon. La mesure à employer quand on a la balle en main et une règle posée dessus, ce qui est la façon dont la plupart des balles se décrivent réellement
Circonférence
La distance sur tout le tour, à l’endroit le plus large, en centimètres, soit 2πr. La mesure à employer quand on a un mètre ruban et qu’on ne peut l’obtenir que par l’extérieur — un tronc d’arbre, un tuyau, ou une balle trop grosse pour qu’on l’enserre
Volume
La place que la balle occupe, en centimètres cubes. C’est le seul relevé ici qui aille avec le cube du rayon, ce qui explique qu’il s’éloigne si vite des autres quand les balles grossissent
Aire de la surface
La peau que la balle possède, en centimètres carrés, soit quatre fois l’aire d’un cercle de même rayon. Elle est exactement égale à l’aire de la surface courbe du cylindre qui contiendrait tout juste la balle
4⁄3 πr³
La formule du volume, et les quatre tiers en sont la partie à retenir. Une sphère occupe les deux tiers du cylindre qui l’enserre tout juste — le résultat qu’Archimède avait demandé à faire graver sur sa tombe
4πr²
L’aire de la surface, et le 4 tout simple vaut la peine d’être remarqué à côté des quatre tiers du volume. C’est l’aire de quatre disques plats de même rayon, ce qui est une coïncidence du calcul intégral plutôt que quelque chose qu’on verrait en dépliant la surface
Quatre décimales
La largeur sous laquelle chaque relevé est écrit. Seuls le rayon et le diamètre peuvent être exacts ; la circonférence, l’aire de la surface et le volume portent tous un π et le volume porte en plus un cube, donc leurs derniers chiffres sont une largeur d’affichage et non une prétention

Cette page est faite pour tout ce qui est rond en trois dimensions, et les deux relevés qu’elle ajoute par rapport à la page du cercle sont ceux qui comptent pour de vrais objets. Le volume sert aux capacités et aux déplacements : combien d’air tient un ballon, combien prend une cuve sphérique ou un gazomètre, combien pèse un roulement à billes une fois qu’on connaît sa matière, quelle poussée d’Archimède offre un flotteur. L’aire de la surface sert à tout ce qui recouvre la balle : peinture, panneaux de cuir d’un ballon, revêtement d’un roulement, surface de refroidissement d’une gouttelette, ou dose d’un médicament portée par la surface d’une particule. Il y a aussi un usage qui va dans l’autre sens, et c’est le plus courant de tous : vous avez une balle et un mètre ruban, et vous voulez un nombre que vous ne pouvez pas atteindre. Faites le tour de l’équateur avec le ruban, entrez la circonférence, et la page vous donne le diamètre et le volume sans que vous ayez à ouvrir la balle — ce qui est exactement la façon dont on détermine la taille d’un arbre, d’un tuyau ou d’une planète.

Exemples détaillés

  1. Une balle de rayon 5

    1. Diamètre : 2 × 5 = 10
    2. Circonférence : 2 × π × 5 = 10π = 31,4159…
    3. Aire de la surface : 4 × π × 5² = 100π = 314,1593…
    4. Volume : (4 ÷ 3) × π × 5³ = 500π ÷ 3 = 523,5987…, soit 523,5988

    L’entrée avec laquelle la page se charge. Les deux relevés en π valent la peine d’être lus comme des multiples entiers de π : l’aire de la surface vaut 100π et le volume 500π/3. C’est aussi la ligne où les nombres de la sphère se vérifient contre ceux de la page du cercle — la circonférence de cette balle, 31,4159, est exactement ce que la page du cercle imprime pour un rayon de 5, parce qu’une circonférence ne se soucie pas d’être tracée sur une feuille plate ou autour d’une balle. Le volume est l’endroit où la troisième dimension se manifeste.

  2. Une balle de diamètre 12

    1. Rayon : 12 ÷ 2 = 6
    2. Circonférence : 2 × π × 6 = 12π = 37,6991…
    3. Aire de la surface : 4 × π × 6² = 144π = 452,3893…
    4. Volume : (4 ÷ 3) × π × 6³ = 288π = 904,7787…

    L’entrée à employer quand la balle est devant vous : un diamètre est ce que donne une règle posée en travers du milieu, et c’est ainsi que les ballons, les roulements et les planètes sont réellement spécifiés. Tout ici est un multiple entier de π — 12π, 144π, 288π — ce qui arrive chaque fois que le rayon tombe sur un nombre entier, et qui est bon signe pour l’arithmétique.

  3. Une balle mesurée à son équateur

    1. Rayon : 20 ÷ (2π) = 3,1830988…, soit 3,1831
    2. Diamètre : 2 × 3,1830988… = 6,3661977…, soit 6,3662
    3. Aire de la surface : 4 × π × 3,1830988…² = 400 ÷ π = 127,3239…, soit 127,324
    4. Volume : (4 ÷ 3) × π × 3,1830988…³ = 4 000 ÷ 3π² = 135,0948…, soit 135,0949

    La ligne à lire si vous comptez refaire ce calcul vous-même, parce que c’est celle où arrondir trop tôt mord. Le rayon imprimé ci-dessus vaut 3,1831, déjà arrondi — élevez-le au cube et vous obtenez un volume de 135,0950 plutôt que le 135,0949 que la page annonce. Les deux nombres se défendent et un seul est juste : la vraie réponse appartient au 20 que vous avez saisi, et le 3,1831 n’en est qu’un affichage et non la chose elle-même. C’est aussi l’entrée à employer pour tout ce qu’on ne peut obtenir qu’au ruban, comme un tronc d’arbre ou un tuyau.

  4. Une balle de rayon un demi

    1. Diamètre : 2 × 0,5 = 1
    2. Circonférence : 2 × π × 0,5 = π = 3,1416…
    3. Aire de la surface : 4 × π × 0,5² = π = 3,1416…
    4. Volume : (4 ÷ 3) × π × 0,5³ = π ÷ 6 = 0,5236…

    La ligne sur laquelle il faut s’arrêter : la circonférence et l’aire de la surface tombent sur le même nombre, 3,1416, et ce n’est pas une étourderie. Les deux formules sont 2πr et 4πr², et à un rayon d’un demi elles se croisent — 2π × ½ et 4π × ¼ valent tous deux π. En dessous de ce rayon, l’aire de la surface est la plus petite des deux ; au-dessus, la plus grande. C’est le genre de coïncidence qui ne se présente que lorsqu’une longueur et une aire se trouvent mesurées dans les mêmes unités, et ici c’est le cas.

  5. Une balle de rayon zéro

    1. Diamètre : 2 × 0 = 0
    2. Circonférence : 2 × π × 0 = 0
    3. Aire de la surface : 4 × π × 0² = 0
    4. Volume : (4 ÷ 3) × π × 0³ = 0

    Une balle sans taille est un point unique, et les cinq relevés valent zéro. Zéro est une entrée légale plutôt qu’un champ vide, donc une ligne de zéros est une vraie réponse — la page la distingue du fait de laisser les trois champs vides, ce qui n’affiche rien du tout parce qu’il n’y a rien à partir de quoi travailler.

Limites

La page ne traite que les sphères : tout point de la surface à la même distance du centre. Un œuf, un ballon de rugby ou la Terre elle-même n’en sont pas, et une demi-sphère non plus, qui est une sphère coupée en deux avec une face plate supplémentaire dont l’aire n’est pas comptée ici. Le volume et l’aire de la surface ne peuvent pas être saisis — ce sont des réponses, pas des entrées — donc une balle spécifiée par ce qu’elle contient doit d’abord être ramenée à un rayon ailleurs. Les cinq relevés sont en centimètres, en centimètres carrés et en centimètres cubes quelle que soit l’unité réglée dans la liste, donc un diamètre saisi en pouces revient en centimètres et c’est à vous de convertir. Les quatre décimales sont une largeur d’affichage plutôt qu’une prétention à la précision : seuls le rayon et le diamètre peuvent être exacts, et les trois autres portent un π, le volume portant en plus un cube. Les relevés sont arrondis indépendamment à partir du rayon exact, donc une valeur imprimée sur cette page ne reproduira pas toujours une autre valeur imprimée à côté d’elle — la vraie réponse appartient au nombre que vous avez saisi. Un seul champ peut être rempli ; en remplir deux est rejeté plutôt que résolu en silence, parce qu’un rayon de 5 et un diamètre de 10 sont la même balle mais qu’un rayon de 5 et un diamètre de 12 n’en sont pas une, et la page préfère le dire que de choisir. Rien ici ne traite l’épaisseur d’une coque creuse, la matière dont une balle est faite, ni son poids.

Questions fréquentes

Pourquoi ne puis-je remplir qu’un seul champ ?
Parce que les trois champs décrivent la même balle. Le rayon, le diamètre et la circonférence sont une seule mesure portant trois habits différents — remplissez-en un et la page connaît la balle. En remplir deux est rejeté plutôt que résolu, parce qu’un rayon de 5 et un diamètre de 10 s’accordent tandis qu’un rayon de 5 et un diamètre de 12 non, et qu’il n’y a aucune façon honnête pour la page de deviner lequel des deux vous vouliez.
Pourquoi ne puis-je pas saisir le volume pour obtenir le rayon ?
Parce que c’est une autre question, et qu’elle demande une racine cubique plutôt qu’une multiplication. Il en va de même pour la saisie d’une aire de la surface, qui demande une racine carrée. Ce sont deux choses parfaitement raisonnables à vouloir, mais ce sont des problèmes distincts, et cette page prend les trois longueurs comme entrées afin de pouvoir donner le volume et l’aire comme réponses. La marche arrière est une page à part.
L’aire de la surface et la circonférence sont tombées sur le même nombre. Est-ce faux ?
Non — à un rayon d’un demi elles sont réellement égales. La circonférence vaut 2πr et l’aire de la surface 4πr², et pour r = ½ cela fait π et π. En dessous de ce rayon l’aire de la surface est plus petite que la circonférence, et au-dessus elle est plus grande. Ce sont des quantités d’espèces différentes, donc l’égalité est une coïncidence numérique et non l’affirmation qu’une longueur égale une aire.
D’où viennent les quatre tiers de la formule du volume ?
Ils font de la sphère exactement les deux tiers du cylindre qui l’enserre tout juste. Archimède l’a établi et y attachait assez d’importance pour demander qu’on grave la sphère et le cylindre sur sa tombe. C’est aussi pourquoi la formule du volume paraît tellement plus lourde que celles des boîtes et des prismes : une surface courbe ne peut pas être remplie en empilant des tranches plates sans le calcul intégral.
Quelle mesure employer pour une balle que je ne peux prendre que par le tour ?
La circonférence. Faites le tour de l’endroit le plus large avec un mètre ruban, entrez ce nombre dans le champ de la circonférence, et la page vous donne le diamètre et le rayon en même temps que le volume et l’aire de la surface. C’est la façon standard de dimensionner un tronc d’arbre, un tuyau, ou tout ce qui est trop grand ou trop ingrat à mesurer en travers, et c’est la raison pour laquelle la circonférence est ici une entrée et non un simple relevé.
La réponse doit-elle être en centimètres cubes ou en litres ?
La page imprime des centimètres cubes, et la conversion est celle d’usage : mille centimètres cubes font un litre, donc un volume de 523,5988 cm³ représente environ 0,5236 litre. Pour de plus petits volumes, un millilitre est la même chose qu’un centimètre cube. La liste d’unités change ce que vous saisissez, pas ce qui sort : si vous entrez un diamètre en pouces, la réponse sera toujours en centimètres.

Références

Calculatrices liées

Calculatrice de volume d’une sphèreVolume d’une sphère à partir du rayon ou du diamètre.Calculatrice de cercleRayon, diamètre, circonférence et aire depuis un seul.Calculatrice de surface des solidesSurface des sphères, des cônes, des cylindres et des prismes.Calculatrice de volume d’un cylindreVolume d’un cylindre, avec l’aire des bases et du côté.