Calculatrice de volume d’un cylindre

V = πr²h A_b = πr² A_l = 2πrh A_t = 2πr² + 2πrh = 2πr(r + h)

Rayon

La distance du centre d’une extrémité à son bord, en centimètres. C’est la moitié du diamètre, donc un cylindre annoncé en travers du dessus plutôt qu’en travers du milieu doit d’abord être divisé par deux. Zéro est accepté et donne un cylindre sans largeur, auquel cas les quatre sorties sont nulles

Hauteur

La distance perpendiculaire entre les deux extrémités circulaires, en centimètres. Ce n’est pas la distance en travers de la surface courbe d’un bord au bord opposé — celle-là est plus longue, puisqu’elle fait le tour au lieu de monter droit, et l’utiliser surestimerait le volume

Volume

L’espace intérieur du cylindre, en centimètres cubes : l’aire d’une extrémité multipliée par la hauteur. Un centimètre cube est un millilitre, donc un volume dans cette unité se convertit en litres en divisant par mille

Aire de base

L’aire d’une extrémité circulaire, en centimètres carrés, π fois le rayon au carré. Les deux extrémités sont de même taille, donc c’est l’aire de l’une ou de l’autre et non des deux réunies

Aire latérale

L’aire de la surface courbe seule, en centimètres carrés. Déroulée, cette surface est un rectangle de hauteur h et de largeur 2πr, ce qui est l’origine de la formule et la façon la plus simple de voir pourquoi la hauteur et la circonférence y figurent toutes les deux

Aire totale

Les deux extrémités plus la surface courbe, en centimètres carrés. Proche du volume mais pas proportionnelle à lui : doubler la hauteur double les deux, tandis que doubler le rayon multiplie le volume par quatre et l’aire totale par moins de quatre

π

Le rapport de la circonférence d’un cercle à son diamètre, environ 3,14159. La page utilise la valeur complète en double précision plutôt qu’une valeur raccourcie, donc un calcul fait à la main avec 3,14 s’écartera de la réponse imprimée au dernier rang

Deux décimales

La largeur avec laquelle chaque sortie est écrite. Deux plutôt que quatre parce qu’il s’agit de mesures physiques d’objets réels — un rayon relevé à la règle est déjà incertain bien au-delà de la troisième décimale, donc imprimer plus de chiffres suggérerait une précision que l’entrée n’a jamais eue

La page répond à deux genres de questions avec les deux mêmes entrées. Le premier est la contenance : ce que contient une citerne, un fût, une conduite ou une boîte de conserve. C’est le volume, et il vaut la peine de savoir que le volume d’un cylindre croît comme le carré de son rayon, donc une citerne deux fois plus large contient quatre fois plus alors qu’une citerne deux fois plus haute n’en contient que deux fois plus — ce qui explique que les citernes larges battent les hautes quand la place manque. Le second est la matière : la tôle qu’exige une boîte, la peinture qu’absorbe un poteau, l’emballage que réclame un rouleau. Ce sont les aires, et la page sépare les extrémités du côté parce qu’on les fournit en général différemment — la tôle se découpe dans un même stock, les étiquettes ou la peinture vont sur le côté. L’aire latérale est aussi celle qui surprend, parce que dérouler le côté en un rectangle n’a rien d’évident avant de l’avoir fait une fois : un cylindre de rayon 5 et de hauteur 12 a un côté qui se déroule en un rectangle de 31,4 centimètres de large sur 12 de haut. Une conversion vaut la peine d’être retenue : un volume en centimètres cubes est un volume en millilitres, donc un cylindre de 942,48 centimètres cubes contient 0,942 litre, et l’étape est une division par mille plutôt que quelque chose de plus savant.

1. Un rayon de 3 et une hauteur de 4

   1. Aire de base : π × 3 × 3 = 28,274333…, soit 28,27
   2. Volume : 28,274333… × 4 = 113,097335…, soit 113,1
   3. Aire latérale : 2 × π × 3 × 4 = 75,398223…, soit 75,4
   4. Aire totale : 2 × 28,274333… + 75,398223… = 131,946891…, soit 131,95

   L’entrée avec laquelle la page se charge. Le volume de 113,1 centimètres cubes est le même chiffre que celui que la page du cône renvoie pour les deux mêmes nombres, et ce n’est pas une coïncidence : un cône vaut le tiers du cylindre dans lequel il s’inscrit, et le 113,1 de cette page-là est son aire totale et non son volume. Lire les deux pages côte à côte vaut la peine une fois, pour que cette rencontre ne passe pas pour une erreur. Le contrôle qui ne demande pas de calculatrice : un rayon de 3 donne une extrémité d’environ 28 centimètres carrés, et quatre de ces tranches empilées font à peu près 113.

2. Un rayon de 5 et une hauteur de 12

   1. Aire de base : π × 5 × 5 = 78,539816…, soit 78,54
   2. Volume : 78,539816… × 12 = 942,477796…, soit 942,48
   3. Aire latérale : 2 × π × 5 × 12 = 376,991118…, soit 376,99
   4. Aire totale : 2 × 78,539816… + 376,991118… = 534,070751…, soit 534,07

   Celle à garder si vous n’en gardez qu’une, parce que le côté s’y déroule en un rectangle qu’on peut se représenter : 2π × 5 font 31,4159 centimètres de tour, et un rectangle de 31,4159 de large sur 12 de haut fait 376,99 centimètres carrés, soit l’aire latérale. Le volume en millilitres vaut 942,48, donc ce cylindre contient un peu moins d’un litre. Doubler la hauteur à 24 doublerait le volume et l’aire latérale mais laisserait l’aire de base à 78,54, ce qui est la façon la plus nette de voir quelle sortie suit quelle entrée.

3. Un rayon de 10 et une hauteur de 10

   1. Aire de base : π × 10 × 10 = 314,159265…, soit 314,16
   2. Volume : 314,159265… × 10 = 3 141,592654…, soit 3 141,59
   3. Aire latérale : 2 × π × 10 × 10 = 628,318531…, soit 628,32
   4. Aire totale : 2 × 314,159265… + 628,318531… = 1 256,637061…, soit 1 256,64

   Un cylindre aussi haut que large, la forme que la plupart des gens dessinent quand on leur demande d’en dessiner un. Le volume vaut mille π, et comme un centimètre cube est un millilitre, cela fait 3,14 litres. Remarquez que l’aire latérale vaut exactement le double de l’aire de base ici, et que c’est une conséquence de h égal à r et non quelque chose de particulier aux dizaines : le même doublement se produit pour tout rayon et toute hauteur qui coïncident.

4. Un rayon de 2 et une hauteur de 6

   1. Aire de base : π × 2 × 2 = 12,566370…, soit 12,57
   2. Volume : 12,566370… × 6 = 75,398223…, soit 75,4
   3. Aire latérale : 2 × π × 2 × 6 = 75,398223…, soit 75,4
   4. Aire totale : 2 × 12,566370… + 75,398223… = 100,530964…, soit 100,53

   La ligne où deux sorties sont égales : le volume et l’aire latérale valent tous deux 75,4. Ce n’est ni une faute de frappe ni un cas particulier — poser πr²h égal à 2πrh laisse r = 2 quelle que soit la hauteur, donc à ce rayon le volume et l’aire du côté sont le même nombre pour n’importe quelle hauteur choisie. Les unités ne sont pas les mêmes, au cube contre au carré, et l’accord est purement numérique. C’est le genre de chose qu’un lecteur repère sur le panneau de résultats et sur lequel il écrit, donc mieux vaut le rencontrer ici d’abord.

5. Un rayon de 1 et une hauteur de 1

   1. Aire de base : π × 1 × 1 = 3,141592, soit 3,14
   2. Volume : 3,141592 × 1 = 3,141592, soit 3,14
   3. Aire latérale : 2 × π × 1 × 1 = 6,283185…, soit 6,28
   4. Aire totale : 2 × 3,141592 + 6,283185… = 12,566370…, soit 12,57

   La même coïncidence sur une autre paire de colonnes : avec une hauteur de un, le volume égale l’aire de base, parce que multiplier par un ne change rien. Là encore cela vaut pour tout rayon, et là encore seuls les nombres s’accordent, pas les unités. Prise avec la ligne précédente, elle fait un point qui vaut la peine d’être retenu : quand deux colonnes d’un tableau coïncident, la première chose à vérifier est si une entrée se trouve par hasard à une valeur qui force l’égalité, et la seconde est de savoir si les deux colonnes mesurent même le même genre de chose.

Les sorties sont toujours en centimètres cubes et en centimètres carrés, quelle que soit l’unité réglée dans la liste d’entrée. Choisir des pouces change la façon dont vos deux nombres sont interprétés à l’entrée et rien de la façon dont la réponse est affichée, donc un cylindre saisi comme 2 pouces sur 3 revient à 38,61 centimètres cubes et c’est à vous de le reconvertir. C’est délibéré et le tableau de référence suit la même règle, pour que la page ne se contredise jamais. Le rayon et la hauteur sont lus comme un rayon et une hauteur perpendiculaire, et la page ne peut pas voir si ce que vous avez mesuré était le diamètre ou la distance en travers de la surface courbe : les deux passent tels quels et produisent une réponse fausse d’apparence plausible. Les deux décimales sont une largeur d’affichage et non une prétention à la précision : ce sont des mesures d’objets réels, et le dernier chiffre n’a de sens que pour une entrée exacte. L’aire totale est calculée à partir du rayon non arrondi, donc additionner l’aire de base imprimée à l’aire latérale imprimée peut différer du total imprimé d’un centième — c’est le total imprimé qui fait foi. La page suppose le cylindre fermé aux deux bouts ; une conduite ou une boîte ouverte a moins de surface que le chiffre affiché, exactement d’une aire de base. Et elle ne tient aucun compte de l’épaisseur de paroi, donc la contenance d’une citerne est un volume intérieur tandis que la matière qu’il faut est une surface extérieure, deux mesures que la liste ne peut pas exprimer en même temps.

De quelles deux mesures ai-je besoin ?

Du rayon de l’une des extrémités circulaires et de la hauteur perpendiculaire entre les extrémités. Le rayon est la moitié de la largeur, donc un cylindre mesuré en travers du dessus donne 5 pour une boîte de 10 centimètres de diamètre. La hauteur se mesure droit le long du côté et non en travers de la surface courbe, et la différence compte : sur un rayon de 5 et une hauteur de 12, la distance droite vaut 12 mais le plus court chemin par l’extérieur est plus long, et utiliser le plus long surestime le volume.

Pourquoi la réponse est-elle en centimètres alors que j’ai saisi des pouces ?

Parce que les quatre sorties forment un ensemble fixe en centimètres, choisi pour que le panneau de résultats et le tableau de référence en dessous s’accordent toujours. La liste déroulante change la façon dont vos nombres sont compris à l’entrée, pas la façon dont la réponse est écrite. S’il vous faut la réponse dans votre unité, divisez le volume par 16,387 pour obtenir des pouces cubes et les trois aires par 6,4516 pour obtenir des pouces carrés.

Quelle est la différence entre l’aire latérale et l’aire totale ?

L’aire latérale est la surface courbe seule. L’aire totale est la surface courbe plus les deux extrémités circulaires. Pour un cylindre fermé, c’est le total qu’il faut ; pour une conduite, un fût ouvert ou tout objet sans fond, c’est l’aire latérale. La page imprime les deux, plus l’aire de base, pour qu’une question sur les fonds puisse être traitée sans rien soustraire.

Comment passer du volume aux litres ?

En divisant par mille. Un centimètre cube est un millilitre et mille millilitres font un litre, donc un volume de 942,48 centimètres cubes vaut 0,942 litre. La conversion est exacte dans les deux sens et c’est la raison pour laquelle cette page n’a pas besoin d’un mode capacité séparé — le millilitre a été défini comme un centimètre cube au départ.

Pourquoi le volume et l’aire latérale donnent-ils le même nombre ?

Seulement quand le rayon vaut 2. Poser le volume πr²h égal à l’aire latérale 2πrh puis simplifier laisse r = 2, quelle que soit la hauteur, donc à ce rayon les deux colonnes coïncident sur toutes les lignes. La même chose se produit entre le volume et l’aire de base quand la hauteur vaut 1. Les deux grandeurs ne sont égales qu’en valeur : l’une est un volume et l’autre une aire, et elles se mesurent dans des unités différentes.

La page fonctionne-t-elle pour une conduite ou une boîte ouverte ?

Pour le volume et l’aire latérale, oui, et ce sont justement les deux chiffres dont une conduite ou une boîte ouverte a besoin. L’aire totale suppose les deux extrémités fermées, donc pour un récipient ouvert il faut lui retirer une aire de base. Rien dans la page ne connaît non plus l’épaisseur de paroi, donc la contenance d’une citerne est une mesure intérieure et sa matière une mesure extérieure, et les deux demanderaient des rayons différents.

• Cylinder — the solid swept by a circle moving along its axis, with the volume and the three surface areas this page computes, including the argument that the curved side unrolls into a rectangle — Wolfram MathWorld (United States)
• Circle — the cross-section of every cylinder, and the source of the πr² that appears in the volume and in both surface formulas — Wolfram MathWorld (United States)
• Pi — the constant in all four outputs, and the reason three of the four are irrational for almost every input — Wolfram MathWorld (United States)
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022 年版）的通知——Le cinquième point de la liste annexée à cette notification est le programme de mathématiques de l'enseignement obligatoire (édition 2022) ; le volume et l'aire de la surface d'un cylindre ainsi que son patron relèvent du programme de mathématiques de l'enseignement obligatoire, et le texte des programmes ainsi que la répartition par cycle sont ceux de cette annexe — 中华人民共和国教育部