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Calculatrice de volume d’un cône

Intervalle : 0 cm – 1 000 000 000 cm

Intervalle : 0 cm – 1 000 000 000 cm

Résultat

37,70 cm³

Volume

Génératrice
5,00 cm
Aire latérale
47,12 cm²
Aire totale
75,40 cm²

Cette calculatrice de volume d’un cône prend les deux nombres qui déterminent un cône — le rayon de sa base et sa hauteur — et renvoie son volume en même temps que les trois autres mesures qu’on veut généralement connaître : la génératrice, c’est-à-dire la longueur de la pente le long du côté, l’aire latérale de la surface courbe, et l’aire totale base comprise. Un cône est la forme qu’on obtient en prenant un cercle et en tirant son centre hors du plan, et ces deux nombres sont exactement ce dont ce mouvement a besoin : le rayon de la base dit de quelle largeur est le cercle, la hauteur dit de combien le sommet a été soulevé. Changez l’un ou l’autre et vous avez un autre cône, ce qui explique pourquoi les deux champs sont obligatoires et pourquoi la zone de résultats reste vide plutôt que de protester quand l’un des deux est vide. Le volume vaut un tiers de l’aire de la base multipliée par la hauteur. Ce tiers est la partie intéressante. Un cône sur une base circulaire, et un cylindre sur la même base avec la même hauteur, sont liés de la façon la plus simple possible : le cône contient exactement un tiers de ce que contient le cylindre. Il en va de même d’une pyramide et du prisme dans lequel elle s’inscrit. Cela ne se voit pas en regardant l’un ou l’autre solide, et c’était un vrai résultat quand il a été démontré pour la première fois — MathWorld le rattache à Eudoxe, avec des démonstrations plus tardives d’Archimède et d’Euclide au livre XII des Éléments. Trois des quatre réponses reposent sur des nombres qui ne finissent jamais. Le volume, l’aire latérale et l’aire totale contiennent tous π, donc un résultat qui tombe juste est l’exception, et les deux décimales affichées sont l’endroit où les chiffres s’arrêtent et non l’endroit où le nombre s’arrête. La quatrième est différente : la génératrice est la distance en ligne droite du sommet jusqu’au bord de la base en suivant la pente, donc c’est l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit sont le rayon et la hauteur, et elle tombe juste chaque fois que ces deux-là forment un triplet de nombres entiers — la page se charge avec trois et quatre, qui donnent une génératrice de cinq exactement. Les valeurs par défaut sont donc celles avec lesquelles vérifier la page, puisque chacune de ses étapes se fait de tête. Deux choses sur les réponses méritent d’être sues avant de s’en servir. Tout est donné en centimètres, en centimètres carrés et en centimètres cubes, quelle que soit l’unité choisie dans les listes déroulantes à côté des deux champs ; ces listes changent la façon dont vos nombres sont lus à l’entrée et rien du tout dans la façon dont la réponse est écrite. Et les réponses sont calculées directement à partir de votre rayon et de votre hauteur, jamais l’une à partir de l’autre : l’aire totale n’est donc pas l’aire latérale plus la base, c’est la même formule évaluée en une seule étape, et un lecteur qui la reconstitue à partir de l’aire latérale affichée peut trouver un dernier chiffre différent.

Des cônes qu’on rencontre couramment, et ce qu’ils mesurent

Rayon (cm)Hauteur (cm)Volume du cône (cm³)Génératrice (cm)Aire latérale (cm²)Aire totale (cm²)
512314.1613204.2282.74
3437.7547.1275.4
68301.5910188.5301.59
10101047.214.14444.29758.45
2625.136.3239.7452.3
7.5201178.121.36503.28680
111.051.414.447.58
122.092.247.0210.17

Huit cônes, avec les deux entrées dans les deux premières colonnes et les quatre réponses après. La deuxième ligne est l’entrée avec laquelle la page se charge — rayon trois, hauteur quatre — et c’est la ligne par laquelle commencer, parce que trois et quatre donnent une génératrice de cinq exactement et que chaque chiffre s’y vérifie à la main. La première ligne est le même triplet de nombres entiers un cran plus grand, cinq et douze donnant une génératrice de treize et un volume de presque exactement un litre. La troisième ligne est celle qui se fait signaler comme une erreur : son volume et son aire totale valent tous deux 301,59, ce qui est une vraie coïncidence de ces dimensions et non une colonne dupliquée — le volume tombe sur 96π et l’aire totale tombe aussi sur 96π, et ce sont des grandeurs de nature différente, des centimètres cubes contre des centimètres carrés. La quatrième ligne a le rayon égal à la hauteur, ce qui rend la génératrice égale au rayon multiplié par racine de deux et constitue le cas ordinaire d’une réponse qui ne finit pas. La cinquième ligne est un cône haut et étroit et la sixième un cône large à rayon décimal, et toutes deux donnent des génératrices irrationnelles, qui s’arrondissent à 6,32 et à 21,36. La septième ligne est un petit cône de rayon un et de hauteur un, dont le volume dépasse à peine un centimètre cube. La huitième est le même rayon avec la hauteur doublée, ce qui double le volume et laisse l’aire latérale changée d’un facteur qui n’est pas deux — cela vaut un coup d’œil, parce que ça montre que doubler une dimension ne double pas la surface courbe. Les quatre réponses sont recalculées à partir du rayon et de la hauteur au moment où la page est construite, et toutes sont en centimètres. Les nombres sont repris tels quels : dans le tableau, le séparateur décimal est le point (314.16 plutôt que 314,16), parce que les valeurs viennent du calcul et non d’un texte.

Formule

V = πr²h ÷ 3 g = √(r² + h²) Aire latérale = πrg Aire totale = πr(g + r)

r
Le rayon de la base circulaire, en centimètres. Obligatoire, et zéro est accepté : un cône de rayon zéro est un segment vertical posé sur une pointe
h
La hauteur perpendiculaire, du centre de la base droit vers le haut jusqu’au sommet, en centimètres. Obligatoire, et ce n’est pas la génératrice — les deux sont deux nombres différents sur tout cône sauf le cas dégénéré où la hauteur est nulle
g
La génératrice, distance du sommet au bord de la base en suivant la pente. Certains manuels l’appellent apothème. C’est l’hypoténuse du triangle formé par le rayon, la hauteur et le côté, donc elle est toujours plus longue que chacun des deux. C’est la seule des quatre sorties qui soit régulièrement exacte, puisque un rayon et une hauteur entiers peuvent donner une génératrice entière
V
Le volume en centimètres cubes, un tiers de l’aire de la base multipliée par la hauteur. Ce tiers est toute la différence entre cette page et la page du cylindre, où la même expression n’a pas de diviseur
Aire latérale
L’aire de la surface courbe seule, π fois le rayon fois la génératrice. Elle ne comprend pas la base. À noter qu’elle utilise la génératrice et non la hauteur, ce qui est l’erreur de substitution la plus fréquente sur cette forme
Aire totale
La surface courbe plus la base circulaire, ce qui se simplifie en π fois le rayon fois la génératrice plus le rayon. Elle est calculée à partir du rayon et de la génératrice en une seule étape plutôt qu’en additionnant les deux aires, donc elle n’est pas toujours l’aire latérale affichée plus πr²
Deux décimales
La largeur avec laquelle chaque sortie est écrite. Le volume et les deux aires sont irrationnels pour presque toutes les entrées ; la génératrice est exacte chaque fois que le rayon et la hauteur forment un triplet pythagoricien, ce qui explique les zéros terminaux des valeurs par défaut de la page

Les cas évidents sont ceux où vous avez un cône sous les yeux et où il vous faut un nombre à son sujet. Un tas de gravier ou de grain en forme de cône, dont vous pouvez mesurer la largeur au sol et la hauteur alors que la pente est enfouie dans la matière. Une toiture conique ou une flèche, où c’est la surface inclinée qu’il faut couvrir et où la génératrice est le nombre sur lequel se facture la couverture. Un entonnoir, une trémie, un gobelet en papier, un chapeau de fête — le volume dit ce que ça contient et l’aire latérale dit la matière qu’il faut pour le fabriquer, et ce sont deux questions différentes avec deux réponses différentes sur la même page. La troisième question à laquelle la page répond est comparative. Choisir entre un cône et un cylindre est une vraie décision en matière de contenants et de stockage, et la comparaison se fait toujours par le même facteur trois : le cylindre de même base et de même hauteur contient exactement trois fois plus, donc une trémie conique d’une empreinte donnée contient le tiers de ce que contient une trémie cylindrique. Deux habitudes valent la peine d’être prises. La génératrice est toujours la plus longue des trois longueurs du triangle qui descend le long du côté, donc une génératrice plus courte que la hauteur signifie que les deux champs ont été remplis à l’envers — la génératrice est celle qu’on mesurerait le long de l’extérieur, elle ne peut pas être la plus petite. Et l’aire latérale est toujours inférieure à l’aire totale, puisque le total est la latérale plus la base : une aire totale plus petite que l’aire latérale est le signe que quelque chose a été soustrait au lieu d’être ajouté.

Exemples détaillés

  1. Un rayon de trois et une hauteur de quatre

    1. Génératrice : √(3² + 4²) = √25 = 5
    2. Volume : π × 3² × 4 ÷ 3 = π × 36 ÷ 3 = 12π = 37,6991…, soit 37,70
    3. Aire latérale : π × 3 × 5 = 15π = 47,1239…, soit 47,12
    4. Aire totale : π × 3 × (5 + 3) = 24π = 75,3982…, soit 75,40

    L’entrée avec laquelle la page se charge, et la seule de cette série où chaque étape se fait de tête : trois et quatre donnent une hypoténuse de cinq exactement, donc la génératrice est un nombre entier et les deux aires sont des multiples entiers de π. Remarquez l’arithmétique du volume — l’aire de la base vaut neuf π et son tiers multiplié par quatre fait douze π, ce qui explique que la réponse soit un peu sous trente-huit plutôt qu’un peu au-dessus de cent. Un cône de cette taille contient environ trente-huit millilitres, ce qui est utile à savoir quand un résultat paraît faux d’un facteur trois.

  2. Un rayon de cinq et une hauteur de douze

    1. Génératrice : √(25 + 144) = √169 = 13
    2. Volume : π × 25 × 12 ÷ 3 = 100π = 314,1592…, soit 314,16
    3. Aire latérale : π × 5 × 13 = 65π = 204,2035…, soit 204,20
    4. Aire totale : π × 5 × (13 + 5) = 90π = 282,7433…, soit 282,74

    L’autre triplet de nombres entiers bien connu, et un cône plus haut et plus étroit que celui par défaut. Notez comme le volume est proche d’un nombre rond : cent π valent 314,16, donc un cône de rayon cinq et de hauteur douze contient presque exactement un litre. C’est le genre de coïncidence qui sert de contrôle quand on travaille en centimètres — cent π centimètres cubes, c’est cent fois le volume d’un cube d’un centimètre multiplié par π, et les nombres à l’écran doivent être un peu au-dessus de trois cents.

  3. Un rayon de six et une hauteur de huit, où deux réponses coïncident

    1. Génératrice : √(36 + 64) = √100 = 10
    2. Volume : π × 36 × 8 ÷ 3 = 96π = 301,5928…, soit 301,59
    3. Aire latérale : π × 6 × 10 = 60π = 188,4955…, soit 188,50
    4. Aire totale : π × 6 × (10 + 6) = 96π = 301,5928…, soit 301,59

    La ligne du tableau plus bas qui se fait signaler comme une erreur. Le volume et l’aire totale sont le même nombre, 301,59, et c’est de l’arithmétique et non une colonne dupliquée : le volume tombe sur 96π et l’aire totale tombe aussi sur 96π, parce qu’avec une génératrice de dix l’expression πr(g + r) devient π × 6 × 16, soit le même quatre-vingt-seize π que la fraction du volume. Les deux ne sont pas des grandeurs de même nature — l’une est en centimètres cubes et l’autre en centimètres carrés — donc la coïncidence est dans les chiffres et nulle part ailleurs. Elle vient de ce que ce cône particulier a une génératrice égale à huit avec un rayon et une hauteur qui forment un triplet ; ce n’est pas une règle, et les lignes voisines ne la partagent pas.

  4. Un rayon égal à la hauteur

    1. Génératrice : √(100 + 100) = √200 = 14,1421…, soit 14,14
    2. Volume : π × 100 × 10 ÷ 3 = 1 000π ÷ 3 = 1 047,1975…, soit 1 047,20
    3. Aire latérale : π × 10 × 14,14214 = 444,2883…, soit 444,29
    4. Aire totale : π × 10 × (14,14214 + 10) = 758,4479…, soit 758,45

    Un cône aussi haut que large au rayon près, ce qui rend le triangle isocèle et la génératrice exactement égale au rayon multiplié par racine de deux. Cette racine est irrationnelle, donc c’est le cas ordinaire : une génératrice qui ne finit pas et deux aires qui la suivent. C’est aussi le cas où la formule du volume se lit le plus facilement — mille π sur trois — et celui où un lecteur qui a oublié le tiers tombera sur 3 141,59, soit exactement trois fois trop. Le facteur trois est l’erreur la plus fréquente sur cette page.

  5. Une hauteur nulle

    1. Génératrice : √(16 + 0) = 4, c’est-à-dire le rayon, parce que le sommet n’a pas été soulevé du tout
    2. Volume : π × 16 × 0 ÷ 3 = 0, puisqu’il n’y a aucune hauteur pour lui en donner
    3. Aire latérale : π × 4 × 4 = 16π = 50,2655…, soit 50,27
    4. Aire totale : π × 4 × (4 + 4) = 32π = 100,5310…, soit 100,53

    Une entrée légale qui produit une ligne surprenante : le volume est nul et les trois autres réponses ne le sont pas. Un cône de hauteur nulle est un disque plat — il n’y a rien au-dessus de la base, donc il ne contient rien, mais sa surface courbe n’a pas disparu, elle s’est aplatie en un second disque de la taille de la base, et l’aire totale des deux faces vaut le double d’un seul disque. Cela vaut la peine d’être vu une fois, parce qu’un volume nul accompagné de trois réponses non nulles ressemble à un calcul à moitié échoué et n’en est pas un. C’est aussi l’entrée qui prend en défaut le raccourci arithmétique décrit plus haut : l’aire totale vaut ici πr² + πr², soit exactement le double de l’aire latérale, et une page qui additionnerait les deux obtiendrait la même réponse sur cette ligne et une autre sur la première.

Limites

Toutes les sorties sont en centimètres, en centimètres carrés et en centimètres cubes, quels que soient les réglages des listes déroulantes d’entrée. Choisir des pouces change la façon dont vos nombres sont lus à l’entrée et rien dans les résultats, donc un cône saisi en pouces revient avec un volume en centimètres cubes. C’est délibéré et le tableau de référence suit la même convention, mais cela signifie que la réponse demande une conversion si vous la vouliez dans l’unité saisie. Le volume est donné en centimètres cubes et non en litres ou en millilitres, qui sont une autre unité de la même grandeur ; s’il vous faut des litres, divisez par mille, et s’il vous faut des millilitres, le nombre de centimètres cubes est le nombre de millilitres. Trois des quatre réponses contiennent π et sont donc irrationnelles pour presque toutes les entrées : deux décimales sont une troncature et non une réponse complète. Les quatre réponses sont calculées directement à partir de votre rayon et de votre hauteur et jamais l’une à partir de l’autre, donc l’aire totale n’est pas toujours l’aire latérale affichée plus l’aire de la base affichée — c’est la même expression évaluée en une étape, et la reconstituer à partir de l’aire latérale imprimée peut différer au dernier chiffre. Cette page prend deux mesures et en donne quatre ; elle ne remonte pas d’un volume vers un rayon, et elle n’a pas de champ pour la génératrice, donc un cône dont vous pouvez mesurer la pente mais dont la hauteur est enfouie dans la matière ne peut pas y être saisi tel quel. La hauteur est la hauteur perpendiculaire et non la génératrice, et la page ne peut pas voir que les deux ont été confondues : mettre une génératrice dans le champ de la hauteur donne quatre réponses toutes cohérentes entre elles et toutes fausses. Au moins une des deux entrées doit être non nulle pour une réponse qui ait un sens, même si les deux peuvent être nulles si c’est l’arithmétique qui vous intéresse et non la forme. Enfin, il s’agit d’un cône circulaire droit dont le sommet est à l’aplomb du centre de la base ; un cône penché sur le côté, ou dont la base est une ellipse, est un autre solide et les formules d’ici ne s’y appliquent pas.

Questions fréquentes

Pourquoi le volume est-il divisé par trois ?
Parce qu’un cône contient exactement le tiers de ce que contient un cylindre de même base et de même hauteur. Prenez l’aire de la base, multipliez par la hauteur, et vous avez le volume de ce cylindre ; le cône en est le tiers. La même relation vaut entre une pyramide et le prisme dans lequel elle s’inscrirait, et c’est le facteur le plus souvent oublié de ce calcul — un résultat trois fois trop grand vient presque toujours d’une division par trois manquante et non d’une faute d’arithmétique.
La hauteur et la génératrice, est-ce la même chose ?
Non, et c’est la confusion que cette forme invite le plus souvent. La hauteur se mesure droit vers le haut, du centre de la base au sommet. La génératrice se mesure le long de la surface, du sommet jusqu’au bord, donc c’est l’hypoténuse du triangle formé par le rayon, la hauteur et le côté, et elle est toujours plus longue que chacune des deux autres. Le volume utilise la hauteur. L’aire latérale utilise la génératrice. Les confondre donne une réponse fausse d’un facteur qui dépend de l’élancement du cône, et la page ne peut pas le détecter.
Comment calcule-t-on la génératrice ?
C’est la racine carrée du rayon au carré plus la hauteur au carré, c’est-à-dire le théorème de Pythagore appliqué au triangle qui descend le long du côté du cône. Un rayon de trois et une hauteur de quatre donnent une génératrice de cinq exactement, et c’est pourquoi ce sont les nombres avec lesquels la page se charge : chaque étape se vérifie de tête. La plupart des couples de nombres ne tombent pas si rondement, et la génératrice est alors un nombre irrationnel arrondi à deux décimales.
Pourquoi l’aire totale n’est-elle pas simplement l’aire latérale plus la base ?
En arithmétique exacte, elle l’est, et la page utilise la forme combinée πr(g + r) plutôt que d’additionner deux morceaux arrondis séparément. La différence se voit dans les chiffres imprimés : l’aire latérale est arrondie à deux décimales avant que vous ne la voyiez, donc l’ajouter vous-même à l’aire de la base peut tomber à un centième de la réponse donnée par la page. Le chiffre de la page est celui calculé à partir du rayon et de la génératrice en une seule étape, et c’est celui auquel se fier.
Pourquoi la réponse est-elle en centimètres alors que j’ai saisi des pouces ?
Parce que cette page donne tout en centimètres, en centimètres carrés et en centimètres cubes quels que soient les réglages, pour que les résultats et le tableau de référence en dessous s’accordent toujours. La liste déroulante change la façon dont votre nombre est compris à l’entrée. Pour convertir, divisez les longueurs par 2,54, les aires par 6,4516 et le volume par 16,3871 ; ou bien gardez la conversion pour la fin et changez l’unité de la réponse, ce qui demande en général moins de travail.
Le rayon ou la hauteur peuvent-ils être nuls ?
Oui, et les deux donnent de vraies réponses plutôt que des réponses vides. Mettre la hauteur à zéro aplatit le cône en un disque : le volume est nul parce qu’il n’y a rien au-dessus de la base, mais la surface courbe est simplement devenue un second disque, donc l’aire latérale égale l’aire de la base et l’aire totale vaut le double. Mettre le rayon à zéro réduit le cône à un segment vertical : le volume et les deux aires sont nuls, tandis que la génératrice égale la hauteur. Mettre les deux à zéro donne zéro partout.

Références

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