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Calculatrice de volume d’une sphère

Intervalle : 0 cm – 1 000 000 000 cm

Intervalle : 0 cm – 1 000 000 000 cm

Intervalle : 0 cm – 1 000 000 000 cm

Résultat

523,5988 cm³

Volume

Une calculatrice de volume d’une sphère prend une mesure d’une balle — son rayon, son diamètre ou sa circonférence — et renvoie l’espace occupé par la balle, en centimètres cubes. C’est la page de la sphère, à côté, avec tout le reste retiré. Cette page-là prend les mêmes trois entrées et répond à cinq questions d’un coup ; celle-ci répond à celle avec laquelle on arrive réellement, à savoir combien une balle contient, déplace ou consomme de matière. La formule est quatre tiers fois π fois le rayon au cube, et sa forme vaut un instant d’attention. Presque toutes les formules de volume de ce groupe sont une base multipliée par une hauteur, parce que presque tous les solides de ce groupe se découpent en couches plates qui s’empilent. Une sphère, non. Ses couches changent de taille à chaque hauteur, celles du milieu sont larges et celles des pôles minuscules, et les additionner est précisément ce pour quoi le calcul intégral a été inventé. Les quatre tiers sont ce que cette somme donne, et la façon satisfaisante de le retenir est de se dire que cela fait de la balle exactement les deux tiers du plus petit cylindre qui l’enserre. Archimède l’a établi et a demandé qu’on grave la sphère et le cylindre sur sa tombe. L’autre chose à savoir est la vitesse à laquelle ce nombre grandit. Le volume va avec le cube du rayon, donc doubler la taille d’une balle multiplie son volume par huit et la tripler le multiplie par vingt-sept. C’est pourquoi une petite variation de diamètre produit une grande variation de ce que contient une cuve, et pourquoi la réponse peut ici devenir très grande très vite.

La place qu’occupe une balle, saisie par chacune des trois mesures

EntréeRayon (cm)Diamètre (cm)Volume de la sphère (cm³)
r510523.5988
d612904.7787
C3.18316.3662135.0949
r10204188.7902
r124.1888
r0.510.5236
r000
d50100523598.7756

Huit balles et quatre colonnes — deux colonnes de moins que la page de la sphère, à côté, qui prend les trois mêmes entrées puis donne en plus l’aire de la surface et la circonférence. La première colonne dit quel champ a été rempli, et sans elle le tableau ne se lirait pas, puisque le rayon et le diamètre sont imprimés sur chaque ligne. La première ligne est la balle avec laquelle la page se charge, et la quatrième est l’une de celles qu’il faut lui comparer : un rayon de 5 contre un rayon de 10, où le rayon a doublé et où le volume est passé de 523,5988 à 4188,7902 — huit fois, ce qui est la loi du cube en une seule étape. La troisième ligne est celle à lire si vous comptez faire ce calcul à la main : saisie comme une circonférence de 20, le volume vaut 135,0949, tandis qu’en élevant au cube le rayon arrondi de 3,1831 imprimé à côté on obtient 135,0950. La cinquième ligne est la boule unité, où le volume vaut 4π/3 et où l’aire de la surface de la page de la sphère pour la même balle vaut 4π — numériquement son tiers. La septième ligne est un rayon nul, où la balle ne contient rien et où la réponse est réelle plutôt que manquante. La dernière ligne est un diamètre de 100, où le volume dépasse le demi-million de centimètres cubes — un demi-mètre cube de balle, et un rappel de la vitesse à laquelle cette grandeur quitte la plage des unités du quotidien. Chaque nombre est recalculé à partir de son entrée au moment où la page est construite, en centimètres, et les quatre décimales sont les mêmes quatre décimales que celles du panneau de résultats. Les nombres sont repris tels quels : dans le tableau, le séparateur décimal est le point (523.5988 plutôt que 523,5988), parce que les valeurs viennent du calcul et non d’un texte.

Formule

V = 4⁄3 × πr³ r = d ÷ 2 r = C ÷ 2π

Rayon
La distance du centre à la surface, en centimètres. Le seul nombre dont le volume soit réellement fait — les deux autres champs ne sont que d’autres façons d’y arriver
Diamètre
La distance traversant droit par le milieu, en centimètres, que la page divise par deux pour obtenir le rayon. Le champ à employer quand la balle est devant vous et qu’une règle posée en travers est la mesure la plus facile à prendre
Circonférence
La distance sur tout le tour, à l’endroit le plus large, en centimètres, que la page divise par 2π pour obtenir le rayon. Le champ à employer quand un mètre ruban par l’extérieur est tout ce dont vous disposez
Volume
La place que la balle occupe, en centimètres cubes. La seule sortie de la page, et la seule grandeur ici qui croisse avec le cube de la taille plutôt qu’avec la taille elle-même
4⁄3 πr³
La formule, et les quatre tiers en sont la partie qui veut dire quelque chose. Ils font de la balle les deux tiers du cylindre qui l’enserre tout juste, ce qui est un fait sur les sphères et non une bizarrerie de l’arithmétique
r³
Le rayon au cube, et la raison pour laquelle cette page peut produire de grands nombres à partir d’entrées modestes. Doubler le rayon multiplie le volume par huit ; il en va de même que la balle soit une bille ou une planète
Quatre décimales
La largeur sous laquelle le relevé est écrit. Le volume porte toujours un π et un cube, donc il n’est jamais exact à moins que le rayon soit nul — les quatre décimales sont une largeur d’affichage et non une prétention à la précision

Cette page sert aux capacités, aux déplacements et à la matière, ce qui couvre à eux trois la plupart de ce qu’on veut d’une balle. Les capacités : combien contiennent une cuve sphérique, un gazomètre ou un château d’eau, combien d’air tient un ballon, combien de glace délivre une boule. Les déplacements : combien d’eau un flotteur ou une coque écarte, ce qui est la même chose que son volume et ce qui détermine s’il flotte et combien il peut porter. La matière : combien d’acier contient un roulement à billes, combien de béton dans le remplissage d’une coupole, combien pèse une boule de pâte ou d’argile une fois qu’on connaît sa densité. C’est aussi la forme d’un bon nombre de choses qui ne sont sphériques qu’approximativement, et l’approximation est en général suffisante — un œuf, une goutte, un grêlon, une planète légèrement renflée à l’équateur. Et il y a l’usage inverse : étant donné un volume qu’un récipient doit contenir, c’est la page qui vous dit de quelle taille la sphère devrait être, puisqu’une racine cubique est tout ce qui sépare les deux.

Exemples détaillés

  1. Une balle de rayon 5

    1. Élevez le rayon au cube : 5³ = 125
    2. Multipliez par π et par quatre tiers : (4 ÷ 3) × π × 125 = 500π ÷ 3
    3. 500π ÷ 3 = 523,5987…, soit 523,5988

    L’entrée avec laquelle la page se charge, et la ligne pour vérifier la formule : le volume vaut 500π/3, donc tout l’ensemble est un multiple propre de π. Cinq centimètres, c’est un peu moins qu’une balle de tennis, et la réponse — un peu plus d’un demi-litre — est une chose utile à avoir en tête, puisque c’est le genre de quantité dont traite une recette ou un petit récipient.

  2. Une balle de diamètre 12

    1. Rayon : 12 ÷ 2 = 6
    2. Élevez le rayon au cube : 6³ = 216
    3. Multipliez par π et par quatre tiers : (4 ÷ 3) × π × 216 = 288π
    4. 288π = 904,7786…, soit 904,7787

    L’entrée vers laquelle se tourner quand la balle est dans vos mains, puisqu’un diamètre est ce que donne une règle posée en travers du milieu et que c’est ainsi que la plupart des balles sont spécifiées. La réponse est 288π, de nouveau un multiple entier de π, ce qui arrive chaque fois que le rayon tombe sur un nombre entier. Comparez-la à la ligne ci-dessus : le rayon a augmenté d’un cinquième, de 5 à 6, et le volume a augmenté de plus des deux tiers, de 523,5988 à 904,7787.

  3. Une balle mesurée à son équateur

    1. Rayon : 20 ÷ (2π) = 3,1830988…
    2. Élevez le rayon au cube : 3,1830988…³ = 32,2519…
    3. Multipliez par π et par quatre tiers : (4 ÷ 3) × π × 32,2519… = 4 000 ÷ 3π²
    4. 4 000 ÷ 3π² = 135,0948…, soit 135,0949

    La ligne à lire si vous comptez refaire ce calcul vous-même, parce que c’est là qu’arrondir trop tôt se paie. La page de la sphère imprime le rayon de cette balle comme 3,1831, ce qui a l’air précis et ne l’est pas : élevez-le au cube et multipliez, et vous obtenez 135,0950. La page annonce 135,0949 et c’est la page qui a raison, parce que la vraie réponse appartient au 20 que vous avez saisi et non au rayon arrondi affiché. Les deux diffèrent sur le dernier chiffre et nulle part ailleurs, ce qui est exactement le genre d’erreur qui survit à un contrôle de vraisemblance.

  4. Une balle de rayon un

    1. Élevez le rayon au cube : 1³ = 1
    2. Multipliez par π et par quatre tiers : (4 ÷ 3) × π × 1 = 4π ÷ 3
    3. 4π ÷ 3 = 4,18879…, soit 4,1888

    La boule unité, et la ligne qui montre ce que sont réellement les quatre tiers : le volume vaut 4π/3, et l’aire de la surface que la page de la sphère imprime pour la même balle vaut 4π. Le volume est numériquement le tiers de l’aire de la surface, ce qui est une coïncidence due au rayon égal à un et non une règle générale — mais c’est un couple de nombres commode à retenir, et il rend les deux formules faciles à distinguer.

  5. Une balle de rayon zéro

    1. Élevez le rayon au cube : 0³ = 0
    2. Multipliez par π et par quatre tiers : (4 ÷ 3) × π × 0 = 0

    Une balle sans taille est un point et ne contient rien. Zéro est une entrée légale plutôt qu’un champ vide, donc c’est une vraie réponse — la page la distingue du fait de laisser les trois champs vides, ce qui n’affiche aucun résultat parce qu’il n’y a rien à partir de quoi travailler.

Limites

La page ne traite que les sphères : tout point de la surface à la même distance du centre. Un œuf, un ballon de rugby ou une planète légèrement aplatie n’en sont pas, et une demi-sphère non plus — c’est une sphère coupée en deux et elle contient exactement la moitié de ce qui est calculé ici, même si son aire de surface n’en est pas la moitié. Le volume ne peut pas être saisi, donc une balle spécifiée par ce qu’elle contient doit d’abord être ramenée à un rayon ailleurs. Le relevé est en centimètres cubes quelle que soit l’unité réglée dans la liste, donc un diamètre saisi en pouces revient en centimètres et c’est à vous de convertir — et comme il s’agit d’un volume, la conversion est un cube : des pouces cubes en centimètres cubes, c’est un facteur d’environ 16,4, pas 2,54. Les quatre décimales sont une largeur d’affichage plutôt qu’une prétention à la précision, puisque le volume porte toujours à la fois un π et un cube. Un seul champ peut être rempli ; en remplir deux est rejeté plutôt que résolu en silence. Rien ici ne traite l’épaisseur de paroi d’une coque creuse, la matière dont une balle est faite, ni son poids, et la page ne donne aucune aire de surface — la page de la sphère, à côté, l’imprime en même temps que le volume pour les trois mêmes entrées.

Questions fréquentes

En quoi est-ce différent de la calculatrice de sphère ?
Les entrées sont identiques — les mêmes trois champs, la même règle du seul champ à remplir. La différence est ce qui revient. La page de la sphère imprime cinq relevés : le volume, l’aire de la surface et les trois longueurs. Celle-ci imprime le volume et rien d’autre, parce que c’est celui avec lequel on arrive d’ordinaire, et que retirer le reste en fait la seule chose à l’écran.
Pourquoi le volume grandit-il tellement plus vite que le diamètre ?
Parce qu’il va avec le cube du rayon tandis que le diamètre va avec le rayon lui-même. Doublez le diamètre d’une balle et son volume est multiplié par huit ; triplez-le et le volume est multiplié par vingt-sept. C’est pourquoi une petite variation de la taille d’une cuve produit une grande variation de ce qu’elle contient, et pourquoi la réponse peut ici être très grande à partir d’une entrée d’apparence modeste.
D’où viennent les quatre tiers ?
Ils font de la balle exactement les deux tiers du plus petit cylindre qui l’enserre — même rayon, et une hauteur de deux fois le rayon. Archimède l’a démontré et a demandé qu’on grave la sphère et le cylindre sur sa tombe. C’est aussi pourquoi la formule porte une fraction du tout : une sphère n’est pas un empilement de couches plates, et le calcul intégral qui additionne ses couches courbes est ce qui produit les quatre tiers.
Mon calcul à moi donne 135,0950 et la page dit 135,0949. Qui a raison ?
La page. Le rayon de cette balle vaut 10/π, soit 3,1830988…, et le rayon imprimé à l’écran est arrondi à 3,1831. C’est en élevant au cube ce chiffre arrondi qu’on obtient 135,0950 — la différence tient au dernier chiffre et vient entièrement d’un arrondi trop précoce. La vraie réponse appartient au nombre que vous avez saisi, et la page conserve le rayon exact en interne jusqu’à la toute fin.
Puis-je retrouver le rayon à partir d’un volume ?
Pas sur cette page — le volume est une sortie, pas une entrée. C’est parfaitement possible, puisque le rayon est la racine cubique de trois fois le volume divisé par quatre π, mais c’est une autre opération et la page ne la fait pas. Si vous savez ce qu’un récipient doit contenir et que vous voulez savoir de quelle taille serait une balle, c’est le calcul à faire séparément.
La réponse doit-elle être en litres ?
La page imprime des centimètres cubes, et il en faut mille pour faire un litre — donc 523,5988 cm³ représentent environ 0,524 litre, et un millilitre est un centimètre cube. Pour de plus grandes sphères les nombres deviennent vite énormes : une balle d’un mètre de diamètre contient plus d’un demi-mètre cube, soit plus de cinq cents litres. La liste d’unités change ce que vous saisissez, pas ce qui sort.

Références

Calculatrices liées

Calculatrice de sphèreRayon, diamètre ou circonférence donnent volume et aire.Calculatrice de volume d’un cylindreVolume d’un cylindre, avec l’aire des bases et du côté.Calculatrice de volume d’un côneVolume d’un cône, avec la génératrice et l’aire totale.Calculatrice de cercleRayon, diamètre, circonférence et aire depuis un seul.