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Calculatrice de surface des solides

Intervalle : 0 cm – 1 000 000 000 cm

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Résultat

131,95 cm²

Aire totale

Une calculatrice d’aire totale des solides donne l’aire de l’extérieur d’un solide : la quantité de matière qu’il faudrait pour le couvrir, la peinture qu’il faudrait pour le recouvrir, le carton qu’il faudrait pour l’emballer. Choisissez la forme et donnez-lui les mesures qu’elle lit — un rayon pour une sphère, un rayon et une hauteur pour un cône ou un cylindre, une longueur, une largeur et une hauteur pour un pavé droit — et la page renvoie un seul nombre en centimètres carrés. Les quatre formes réunies ici couvrent la quasi-totalité des questions scolaires et d’atelier. Une sphère, c’est quatre π fois le rayon au carré. Un cône, c’est π fois le rayon fois le rayon plus la génératrice, cette génératrice étant la distance en ligne droite du sommet jusqu’au bord, obtenue par Pythagore à partir du rayon et de la hauteur. Un cylindre, c’est deux π fois le rayon fois le rayon plus la hauteur, ce qui correspond aux deux disques des extrémités plus à la surface latérale déroulée. Un pavé droit, c’est deux fois la somme des trois paires de faces : longueur fois largeur, longueur fois hauteur, largeur fois hauteur. Quatre formes, quatre formules, et les tableaux de référence ci-dessous disent laquelle est laquelle. Ce qu’il faut savoir avant de commencer, c’est que les quatre champs de longueur sont tous à l’écran en même temps et qu’ils gardent leur contenu quand on change de forme. C’est un choix délibéré plutôt qu’un oubli — un formulaire qui masquerait les champs inutilisés par la forme choisie devrait déplacer les cases sous vos doigts à chaque changement d’avis, et un formulaire qui les garderait en les ignorant jetterait en silence un nombre que vous avez tapé. La page laisse donc chaque champ où il est et ne lit que ceux dont la forme choisie a besoin, et la règle est simple : une sphère lit le rayon et rien d’autre, un cône et un cylindre lisent le rayon et la hauteur, et le pavé droit lit la longueur, la largeur et la hauteur. Le champ du rayon n’est pas lu par le pavé, et les champs de longueur et de largeur ne sont pas lus par les trois autres formes, donc la valeur qui dort dans un champ non lu ne change rien à la réponse. Les tableaux de référence rendent cela concret, puisque leur colonne des formules dit quelle ligne a employé quelle formule. Une dernière chose vaut la peine d’être sue : la réponse est en centimètres carrés quelle que soit l’unité choisie dans les listes, ce qui est la règle constante de ce lot de pages et vaut pour toutes celles qui entourent celle-ci.

Des solides ronds atteints par un rayon et une hauteur

FormuleRayon (cm)Hauteur (cm)Aire totale (cm²)
4πr²3—113.1
4πr²5—314.16
πr(r + l)3475.4
πr(r + l)512282.74
2πr(r + h)34131.95
2πr(r + h)512534.07
4πr²1—12.57
2πr(r + h)1218.85

Huit lignes couvrant la sphère, le cône et le cylindre. La première colonne est tout l’intérêt du tableau : une fois la forme résolue, il ne reste rien sur la ligne pour dire de quel solide il s’agissait, donc la formule tient lieu de nom de forme. Elle fait aussi une chose qu’un nom de forme ne saurait pas faire, à savoir dire lequel des deux autres nombres de la ligne a réellement servi — les deux lignes de la sphère portent un tiret dans la colonne de la hauteur, parce qu’une sphère n’a pas de hauteur et que le champ n’est pas lu du tout. Les deux premières lignes sont la sphère aux rayons 3 et 5, et le rapport entre elles mérite d’être vérifié : cinq tiers au carré font environ 2,78, et 113,1 fois 2,78 font 314,16, qui est la deuxième ligne. L’aire varie comme le carré du rayon, jamais comme le rayon. La troisième ligne est le cône 3-4-5 dont la génératrice tombe sur exactement 5, et la cinquième ligne est le réglage par défaut de la page du cylindre : rayon 3, hauteur 4, aire de 131,95, le même chiffre que cette page-là imprime comme total. La septième ligne est une sphère de rayon 1 à 12,57 centimètres carrés, ce qui fait 4π et constitue le seul chiffre du tableau qui soit une constante célèbre plutôt qu’une mesure. La huitième est un cylindre de rayon 1 et de hauteur 2 à 18,85, ce qui fait 6π. Chaque chiffre est recalculé à partir de son rayon et de sa hauteur au moment où la page est construite, en centimètres, et les tirets sont imprimés tels quels. Les nombres sont repris tels quels : dans le tableau, le séparateur décimal est le point (113.1 plutôt que 113,1), parce que les valeurs viennent du calcul et non d’un texte.

Des pavés droits atteints par une longueur, une largeur et une hauteur

Longueur (cm)Largeur (cm)Hauteur (cm)Aire totale (cm²)
544112
12322
22224
101010600
0.50.50.51.5
34024

Six boîtes, et la première ligne est celle avec laquelle la page se charge quand le pavé droit est sélectionné. La deuxième ligne est le plus petit pavé en nombres entiers, un sur deux sur trois, à 22 centimètres carrés — l’arithmétique y est assez courte pour être faite de tête, ce qui en fait la ligne avec laquelle vérifier la formule : 2 × (2 + 3 + 6) = 22. La troisième ligne est un cube de deux centimètres de côté à 24, et la sixième ligne est une feuille plate de trois sur quatre de hauteur nulle, également à 24. Cette paire est la chose la plus utile de ce tableau, parce que les deux solides ne se ressemblent en rien et partagent un nombre : le cube a six faces de quatre, et la feuille a deux faces de douze et quatre qui se sont effondrées. Une aire de surface seule ne détermine pas une forme, et c’en est la démonstration la moins coûteuse. La quatrième ligne est un cube de dix centimètres de côté à 600 centimètres carrés, la taille d’une boîte de ramette de papier, et la cinquième fait un demi-centimètre de côté, là où les décimales commencent à compter. Chaque chiffre est exact, puisque la formule du pavé ne contient pas de π, et tous les six sont recalculés au moment où la page est construite. Les nombres sont repris tels quels : dans le tableau, le séparateur décimal est le point (1.5 plutôt que 1,5), parce que les valeurs viennent du calcul et non d’un texte.

Formule

Sphère : S = 4πr² Cône : S = πr(r + g), g = √(r² + h²) Cylindre : S = 2πr(r + h) Pavé droit : S = 2(Ll + Lh + lh)

Forme
Le solide que vous cherchez à couvrir. C’est elle qui décide laquelle des quatre formules s’exécute, et donc lesquels des champs de longueur ci-dessous sont lus — une sphère n’emploie que le rayon, tandis que le pavé droit emploie la longueur, la largeur et la hauteur et ignore complètement le rayon
r
Le rayon, en centimètres : la distance du centre d’une sphère à sa surface, ou du centre de la face circulaire à son bord pour un cône ou un cylindre. Il est lu par trois des quatre formes et ignoré par le pavé droit
h
La hauteur, en centimètres : la distance perpendiculaire de la base à la face opposée pour un pavé droit, de la base jusqu’au sommet pour un cône, ou entre les deux faces circulaires pour un cylindre. Ignorée par la sphère, qui n’a pas de hauteur
g
La génératrice du cône, en centimètres : la distance en ligne droite du sommet jusqu’au bord du disque de base, en descendant le long de la paroi. Elle est plus longue que la hauteur dès que le cône n’est pas plat. Elle est calculée à partir du rayon et de la hauteur par Pythagore, puisque le rayon, la hauteur et la génératrice forment un triangle rectangle — un cône de rayon 3 et de hauteur 4 a donc une génératrice de exactement 5
L et l
Les deux dimensions du pavé droit dans le plan horizontal, en centimètres : la longueur L et la largeur l. Il faut les distinguer du symbole de la génératrice employé plus haut, car les formules du cône et du pavé circulent souvent ensemble et la même lettre y joue deux rôles dans beaucoup de notations — c’est précisément le genre de confusion que la colonne des formules des tableaux de référence permet de lever
Ll, Lh, lh
Les trois produits qui donnent l’aire d’une paire de faces du pavé droit, en centimètres carrés. Le pavé a six faces réparties en trois paires, et chaque paire vaut l’un de ces trois produits, ce qui explique que la formule double leur somme au lieu d’additionner six termes séparés
π
Le rapport de la circonférence d’un cercle à son diamètre, environ 3,14159. Il apparaît dans trois des quatre formules et non dans celle du pavé, ce qui explique qu’une aire de pavé droit tombe souvent sur un nombre exact tandis que celle d’une sphère ne tombe presque jamais
Centimètres carrés
L’unité de la réponse, toujours, quelle que soit l’unité choisie dans les listes. Une aire de surface est une grandeur à deux dimensions, donc l’unité est celle de l’entrée élevée au carré — un rayon en centimètres donne une aire en centimètres carrés, et il n’y a aucune étape cubique nulle part sur cette page
Deux décimales
La largeur avec laquelle la réponse est écrite. Deux plutôt que quatre parce qu’il s’agit de mesures d’objets et non de coordonnées sur un plan : un rayon relevé à la règle est déjà incertain bien au-delà de la troisième décimale

La plupart du temps la question porte sur de la matière, et la forme vous dit quelle formule vous voulez. Une balle, un globe ou un ballon est une sphère, et la question est alors de savoir combien de tissu ou de peinture le recouvre. Un chapeau de fête, un entonnoir ou un tas de sable conique est un cône, et la génératrice est la mesure qu’on oublie — ce n’est pas la hauteur du cône mais la distance le long de sa paroi, et un cône de rayon 3 et de hauteur 4 a une génératrice de exactement 5, ce qui est Pythagore sous sa plus petite forme en nombres entiers. Une boîte de conserve, un tuyau ou un pilier est un cylindre, et la formule correspondante est celle qu’on peut retrouver plutôt que mémoriser : deux extrémités de πr² chacune plus une surface latérale qui se déroule en un rectangle de 2πr de large et de h de haut. Une caisse, un carton ou une pièce est un pavé droit, et les six faces réparties en trois paires sont toute l’idée. Un avertissement vaut pour les quatre formes : l’aire de la surface et le volume ne sont pas proportionnels, et doubler toutes les longueurs multiplie l’aire par quatre et le volume par huit, ce qui explique qu’un grand animal perde sa chaleur plus vite qu’un petit et qu’une petite boîte coûte proportionnellement plus de carton que son contenu ne le laisse croire.

Exemples détaillés

  1. Un cylindre de rayon 3 et de hauteur 4

    1. Les deux extrémités : 2 × π × 3 × 3 = 56,548667…
    2. La surface latérale déroulée : 2 × π × 3 × 4 = 75,398223…
    3. Total : 56,548667… + 75,398223… = 131,946891…, soit 131,95
    4. Les champs de longueur et de largeur ne sont pas lus par le cylindre, et les 5 et 4 qui y dorment ne changent rien

    La forme avec laquelle la page se charge, et la ligne à comparer à la page du cylindre, qui renvoie 131,95 comme aire totale de la surface pour le même rayon et la même hauteur. Deux pages, deux outils, un seul chiffre — elles exécutent la même formule, et les voir concorder est tout l’intérêt. Le contrôle qui ne demande pas de calculatrice : les deux extrémités font environ 28 chacune et la surface latérale se déroule en un rectangle d’environ 18,8 de large sur 4 de haut, donc le total doit tomber un peu au-dessus de 130.

  2. Un cône de rayon 3 et de hauteur 4

    1. Génératrice : √(3² + 4²) = √25 = 5
    2. Base : π × 3 × 3 = 28,274333…
    3. Surface latérale : π × 3 × 5 = 47,123889…
    4. Total : 28,274333… + 47,123889… = 75,398223…, soit 75,4

    Le triangle 3-4-5 qui fait son travail habituel : avec un rayon de 3 et une hauteur de 4, la génératrice vaut exactement 5, donc l’arithmétique reste propre de bout en bout. C’est aussi le même 75,4 que la page du cylindre renvoie comme surface latérale pour un rayon de 3 et une hauteur de 4, ce qui est une coïncidence entre deux solides différents plutôt qu’une formule partagée — la paroi du cône et la paroi du cylindre sont deux surfaces distinctes qui tombent ici sur le même nombre.

  3. Une sphère de rayon 3

    1. Quatre disques : 4 × π × 3 × 3 = 36π = 113,097335…
    2. Soit 113,1 après arrondi
    3. Seul le rayon est lu ; les champs de hauteur, de longueur et de largeur sont ignorés par la sphère

    L’aire d’une sphère vaut exactement quatre fois celle de sa plus grande section, et c’est le fait qui mérite d’être retenu à son sujet — un disque de rayon 3 fait 28,27, et quatre de ces disques font 113,1. Le champ de hauteur contient encore le 4 de la forme précédente et la page n’y prête aucune attention, ce qui est le comportement décrit dans l’introduction et la raison pour laquelle il y est décrit.

  4. Un pavé droit de 5 sur 4 sur 4

    1. Dessus et dessous : 2 × 5 × 4 = 40
    2. Avant et arrière : 2 × 5 × 4 = 40
    3. Les deux côtés : 2 × 4 × 4 = 32
    4. Total : 40 + 40 + 32 = 112 centimètres carrés, résultat exact

    La seule des quatre formes dont la réponse soit régulièrement exacte, et la seule qui ignore le rayon. Comme la longueur et la hauteur se trouvent être égales ici, deux des trois paires de faces ont la même taille, ce qui rend la somme facile à suivre : 40, 40 et 32. Le rayon de 3 qui dort dans son champ ne joue aucun rôle.

  5. Un cube de 2 sur 2 sur 2, et un pavé de 3 sur 4 sur 0

    1. Dessus et dessous : 2 × 3 × 4 = 24
    2. Avant et arrière : 2 × 3 × 0 = 0
    3. Les deux côtés : 2 × 4 × 0 = 0
    4. Total : 24 centimètres carrés

    La paire à regarder ensemble, parce qu’un cube de deux centimètres de côté et une feuille plate de trois sur quatre totalisent tous les deux 24 centimètres carrés. Le cube fait 2 × 2 × 2 et donne 2 × (4 + 4 + 4) = 24 ; le second a une hauteur nulle, donc quatre de ses six faces se sont effondrées à rien et les deux qui restent sont le dessus et le dessous. Même nombre, solides entièrement différents, et un rappel qu’une aire de surface ne suffit pas à elle seule à déterminer une forme.

Limites

La réponse est toujours en centimètres carrés, quelle que soit l’unité choisie dans les listes. Choisir des pouces change la façon dont vos nombres sont interprétés à l’entrée et rien du tout à la façon dont la réponse est affichée. Les quatre champs de longueur restent à l’écran pour toutes les formes, et ceux que la forme choisie ne lit pas sont ignorés plutôt qu’effacés, donc un rayon laissé là par une sphère ne change rien à un pavé. La page ne vous empêchera pas de laisser un champ à une valeur qui convenait à la forme précédente, et elle ne vous dira pas qu’elle ne s’en est pas servie. La colonne des formules des tableaux de référence est le seul endroit de la page qui dise quels nombres sont entrés dans une ligne, et c’est pour cela qu’elle est là. Les deux décimales sont une largeur d’affichage plutôt qu’une prétention à la précision. L’aire du cône emploie la génératrice et non la hauteur perpendiculaire, et la page calcule elle-même la génératrice à partir du rayon et de la hauteur, donc un cône mesuré le long de sa paroi inclinée ne peut pas être saisi tel quel. Les pages du cylindre et du cône ailleurs sur ce site renvoient des chiffres pour certaines des mêmes entrées, et elles concordent avec cette page parce qu’elles exécutent les mêmes formules — un désaccord serait un défaut et non une divergence d’opinion. Rien ici ne traite une forme qui n’est pas l’une des quatre, un récipient ouvert dont les extrémités manquent, ni un solide percé d’un trou.

Questions fréquentes

Quels champs chaque forme emploie-t-elle réellement ?
La sphère lit le rayon et rien d’autre. Le cône et le cylindre lisent le rayon et la hauteur. Le pavé droit lit la longueur, la largeur et la hauteur, et ignore le rayon. Chaque champ reste à l’écran et garde ce qu’il contient, donc un nombre laissé là par une forme regardée plus tôt ne fait rien. La colonne des formules des tableaux de référence est le moyen le plus rapide de voir quels nombres sont entrés dans une ligne donnée.
Qu’est-ce que la génératrice et comment la mesurer ?
C’est la distance en ligne droite du sommet du cône jusqu’au bord du disque, en descendant le long de la paroi, et elle est plus longue que la hauteur verticale sauf si le cône est plat. Vous n’avez pas à la mesurer : la page la calcule à partir du rayon et de la hauteur par le théorème de Pythagore, puisque le rayon, la hauteur et la génératrice forment un triangle rectangle. Un cône de rayon 3 et de hauteur 4 a une génératrice de exactement 5.
Pourquoi la réponse est-elle en centimètres carrés alors que j’ai saisi des pouces ?
Parce que la réponse est une sortie fixe en centimètres carrés, choisie pour que le panneau de résultats et les tableaux de référence en dessous concordent toujours. Les listes changent la façon dont vos mesures sont comprises à l’entrée, pas la façon dont la réponse est écrite. Pour convertir, divisez le résultat par 6,4516 pour obtenir des pouces carrés — ou élevez le facteur de conversion au carré, puisqu’une aire varie comme le carré d’une longueur.
Pourquoi un cube de 2 cm de côté a-t-il la même aire qu’une feuille de 3 sur 4 ?
Parce que les deux totalisent 24 centimètres carrés, et il n’y a rien de plus à dire : le cube a six faces de 4 chacune, et la feuille plate a deux faces de 12 et quatre qui se sont effondrées à rien parce que sa hauteur est nulle. Une aire de surface seule n’identifie pas une forme, et le second solide est un cas dégénéré que la page calcule volontiers plutôt qu’une erreur.
Les pages du cylindre et du cône donnent-elles les mêmes réponses que celle-ci ?
Pour les chiffres qui se recouvrent, oui, et c’est voulu plutôt qu’accidentel — les trois pages exécutent les mêmes formules. Un cylindre de rayon 3 et de hauteur 4 a ici une aire totale de 131,95, et la page du cylindre imprime le même 131,95 comme aire totale, parce que les deux additionnent les deux mêmes extrémités à la même surface latérale déroulée.
Puis-je calculer la peinture ou l’emballage qu’il me faut ?
Oui, pour un solide fermé, et c’est l’usage le plus courant de la page. Deux points de vigilance : la réponse est la totalité de l’extérieur, donc un récipient ouvert demande de retrancher une face, et le chiffre ne tient compte ni des recouvrements, ni des chutes, ni de l’épaisseur, ce qui explique qu’une estimation pratique doive être arrondie vers le haut plutôt que reprise telle quelle. L’aire est en centimètres carrés, donc divisez par dix mille pour obtenir des mètres carrés.

Références

Calculatrices liées

Calculatrice de volume d’un cylindreVolume d’un cylindre, avec l’aire des bases et du côté.Calculatrice de volume d’un côneVolume d’un cône, avec la génératrice et l’aire totale.Calculatrice de sphèreRayon, diamètre ou circonférence donnent volume et aire.Calculatrice de volume d’un pavéVolume et aire d’un pavé droit à partir des arêtes.