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Calculatrice de volume d’un pavé

Intervalle : 0 cm – 1 000 000 000 cm

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Résultat

80,0000 cm³

Volume

Aire totale
112,0000 cm²

Cette calculatrice de volume d’un pavé prend la longueur, la largeur et la hauteur d’une boîte rectangulaire et renvoie deux nombres : l’espace que la boîte renferme, en centimètres cubes, et l’aire totale de ses six faces, en centimètres carrés. On demande les deux parce qu’on veut en général les deux à la fois — ce que la boîte contient, et la matière qu’il faut pour la fabriquer ou la recouvrir. Le volume est la longueur multipliée par la largeur multipliée par la hauteur, la seule formule d’ici que tout le monde connaît sans qu’on la lui donne : c’est le nombre de cubes unité qui tiennent à l’intérieur. L’aire totale vaut deux fois la somme des trois paires de faces, parce que les faces opposées d’un pavé sont identiques : il n’y a donc que trois rectangles distincts à calculer, et chacun apparaît deux fois. Les deux grandeurs ne se comportent pas de la même façon quand la boîte change de taille, et cette différence est la chose la plus utile de la page. Multipliez un pavé par deux dans chaque direction et son aire totale est multipliée par quatre tandis que son volume est multiplié par huit. C’est pourquoi un grand contenant contient proportionnellement beaucoup plus qu’un petit tout en demandant proportionnellement moins de matière par unité de contenu, et c’est aussi pourquoi un animal deux fois plus long qu’un autre ne pèse pas deux fois plus. Le tableau plus bas donne deux lignes voisines exprès : 3, 4 et 5 passent à 6, 8 et 10, l’aire totale de 94 à 376 et le volume de 60 à 480. Les unités méritent un mot, parce que c’est là qu’on se trompe le plus souvent. Chacun des trois champs accepte des centimètres, des mètres, des millimètres, des pouces ou des pieds, et les deux réponses reviennent en centimètres — au cube pour le volume, au carré pour l’aire. Un pavé mesuré en pouces donne donc un volume qu’il faut diviser par 16,387064 pour être lu en pouces cubes, et non par 2,54 ni par 6,4516. Un volume se convertit par le cube du facteur de longueur : se tromper de facteur est l’erreur à surveiller. Les trois dimensions de la boîte rectangulaire sont obligatoires. Cette page n’a aucune disposition où vous en fournissez deux et où elle en déduit la troisième, et elle n’a pas de liste déroulante pour choisir une forme — c’est un pavé droit et rien d’autre. Si la figure est un cylindre, un cône ou une sphère, c’est une autre page ; si c’est un bac rond ou rectangulaire, la page de l’aquarium prend les trois mêmes mesures et répond en litres et en gallons. Une remarque sur l’ordre des résultats : le volume est la première ligne et l’aire totale la seconde, quelle que soit celle pour laquelle vous êtes venu. C’est parce que la page porte le nom du volume, et parce que le volume est la grandeur dont la formule est unique et connue de tous, tandis que l’aire totale est celle qu’on doit chercher.

Des boîtes courantes : le volume et l’aire totale à partir des trois arêtes

Longueur (cm)Largeur (cm)Hauteur (cm)Volume du pavé (cm³)Aire totale (cm²)
11116
3456094
54480112
6810480376
1010101000600
1286576432
20151030001300
0.50.50.50.1251.5

Huit boîtes et cinq colonnes : trois dimensions à l’entrée, deux grandeurs à la sortie. La deuxième ligne et la quatrième forment la paire qui porte le propos de la page — 3, 4 et 5 doublés en 6, 8 et 10, avec le volume qui passe de 60 à 480 tandis que l’aire totale ne passe que de 94 à 376. La troisième ligne est le jeu avec lequel la page se charge, 5, 4 et 4, et c’est aussi le cas que la page de l’aire totale traite pour son option prisme, 112 des deux côtés. La première ligne est la boîte unité, de volume un et d’aire six, la plus petite boîte qui existe et une référence utile quand on lit une aire. La cinquième ligne est le cube, et les sixième et septième sont des boîtes plus plates et plus allongées qui contiennent nettement plus : les comparer au cube montre qu’une boîte paie sa forme, et pas seulement sa taille. La sixième contient 576 centimètres cubes derrière 432 centimètres carrés de surface, soit trois quarts de centimètre carré par centimètre cube, là où le cube s’en tient à six dixièmes — donc le cube est la boîte la plus économe pour ce qu’elle contient, et chaque pas qui l’en écarte coûte du carton. La dernière ligne est un cube d’un demi-centimètre, dont le volume s’écrit avec ses trois décimales, 0,125, parce que l’arithmétique est exacte plutôt qu’arrondie aux quatre décimales que l’affichage autorise. Les nombres sont repris tels quels : dans le tableau, le séparateur décimal est le point (0.125 plutôt que 0,125), parce que les valeurs viennent du calcul et non d’un texte — et les milliers ne sont pas groupés (1000 plutôt que 1 000).

Formule

V = L × l × h A = 2(Ll + Lh + lh)

L
La longueur de la boîte en centimètres — n’importe laquelle des trois arêtes, du moment que les deux autres sont la largeur et la hauteur. Un pavé ne se soucie pas du nom posé sur telle ou telle arête
l
La largeur, en centimètres. Avec la longueur, elle fixe le rectangle de la base, qui est la face sur laquelle la boîte repose
h
La hauteur, en centimètres : de combien la boîte s’élève au-dessus de sa base. C’est la troisième direction, celle qui transforme un rectangle d’aire donnée en un solide de volume donné
Llh
Le volume — trois longueurs multipliées. C’est le nombre de cubes d’un centimètre de côté qui tiendraient à l’intérieur, ce qui est exactement le sens d’un centimètre cube
Ll, Lh, lh
Les trois rectangles distincts parmi les six faces : la base, la face avant et la face latérale. Les trois autres faces sont ces trois mêmes rectangles, ce qui explique que la formule de l’aire n’ait pas à additionner six aires séparées
2(Ll + Lh + lh)
L’aire totale, en centimètres carrés. Le facteur deux traduit le fait que les faces opposées d’un pavé sont identiques, et c’est l’étape qu’on oublie quand on additionne six faces en comptant deux fois chaque paire
Quatre décimales
La largeur avec laquelle les lectures sont imprimées. Les deux grandeurs sont exactes dès que les trois longueurs le sont, donc les quatre décimales sont une largeur d’affichage et non le signe d’une approximation — 0,125 s’écrit en entier

L’emballage et l’expédition sont le cas le plus évident. Le volume d’un colis est ce sur quoi un transporteur facture, et l’aire totale est le carton qu’il faut pour fabriquer la boîte — les deux nombres dont une entreprise a besoin avant d’arrêter un format de carton, le volume étant aussi ce qui décide si un objet donné y entre. Le rangement vient ensuite : ce que contient une caisse, un tiroir, un bac de rangement, une boîte d’archives ou une étagère, et quelle surface son extérieur occupera sur un mur. Les matériaux sont le troisième cas : l’aire totale est ce qu’une boîte doit recevoir en peinture, en film, en doublure ou en revêtement, donc un devis au mètre carré commence par cette formule, tandis que le volume est ce qu’il faut y verser quand le remplissage se vend au volume. En construction et en génie civil, c’est le béton d’une semelle rectangulaire, les déblais d’une fouille rectangulaire, l’eau d’une cuve ou d’un bassin rectangulaire et le remblai d’un massif — autant de fois la même multiplication, et mettre les trois dimensions dans la même unité est la partie qui rate vraiment. En fabrication, c’est la matière d’un bloc usiné, la capacité d’une trémie et le volume d’un lopin avant façonnage. En sciences, c’est la masse volumique de tout ce qu’on peut tailler en pavé, puisqu’elle est la masse divisée par le volume, et le volume d’une cellule d’échantillon. En classe, c’est la démonstration que volume et aire totale sont deux choses différentes issues des trois mêmes nombres : on monte une boîte en cubes d’un centimètre, on compte les cubes pour le volume, on compte les carrés à l’extérieur pour l’aire, et le fait que les deux comptes ne grandissent pas au même rythme quand on double la boîte est toute la leçon. Et dans l’arithmétique de tous les jours, c’est savoir si un meuble passera par une porte, quelle terre demande un carré potager surélevé, et si la boîte du placard est assez grande pour ce qu’on veut y mettre.

Exemples détaillés

  1. Une boîte de 5 sur 4 sur 4

    1. Le rectangle de base : 5 × 4 = 20
    2. Les deux autres rectangles : 5 × 4 = 20 et 4 × 4 = 16
    3. Additionnez les trois et doublez : 2 × (20 + 20 + 16) = 112 centimètres carrés
    4. Multipliez les trois longueurs : 5 × 4 × 4 = 80 centimètres cubes

    Les dimensions avec lesquelles la page se charge, et le cas que la page de l’aire totale reprend pour son exemple — les deux pages impriment 112, ce qui vaut la peine d’être vérifié : elles y arrivent par deux chemins différents et un désaccord entre elles serait un défaut dans l’une des deux. Remarquez que deux des trois dimensions sont égales ici, donc deux des trois faces distinctes sont le même rectangle.

  2. Une boîte de 3 sur 4 sur 5

    1. Les trois rectangles : 3 × 4 = 12, 3 × 5 = 15 et 4 × 5 = 20
    2. Somme et doublement : 2 × (12 + 15 + 20) = 94 centimètres carrés
    3. Multipliez les trois : 3 × 4 × 5 = 60 centimètres cubes

    Le jeu de dimensions classique, et la moitié basse de la démonstration que cette page fait vraiment. À comparer avec la ligne juste en dessous : doubler chaque arête ne donne pas seulement une boîte plus grande, cela donne une autre forme de réponse.

  3. La même boîte doublée : 6 sur 8 sur 10

    1. Les trois rectangles : 6 × 8 = 48, 6 × 10 = 60 et 8 × 10 = 80
    2. Somme et doublement : 2 × (48 + 60 + 80) = 376 centimètres carrés
    3. Multipliez les trois : 6 × 8 × 10 = 480 centimètres cubes

    Chaque arête doublée, donc l’aire totale vaut quatre fois les 94 de la ligne précédente et le volume huit fois ses 60. C’est la chose la plus utile de la page : doubler une boîte ne double ni ce qu’elle contient ni la matière dont elle est faite, et les deux ne grandissent même pas au même rythme l’un que l’autre. C’est la même relation qui rend un grand contenant moins cher au litre qu’un petit.

  4. Une boîte de douze sur huit sur six

    1. Les trois rectangles : 12 × 8 = 96, 12 × 6 = 72 et 8 × 6 = 48
    2. Somme et doublement : 2 × (96 + 72 + 48) = 432 centimètres carrés
    3. Multipliez les trois : 12 × 8 × 6 = 576 centimètres cubes

    Une boîte plus plate et plus allongée, à comparer avec le cube du tableau. Elle contient 576 centimètres cubes pour 432 centimètres carrés de surface, soit trois quarts de centimètre carré de carton par centimètre cube contenu ; le cube, lui, en contient 1 000 pour 600 de surface, soit six dixièmes. De toutes les boîtes d’un volume donné, le cube est celle qui a le moins de surface, et chaque écart coûte de la matière — ce qui explique qu’un carton cubique soit le plus économe et qu’une boîte plate de même capacité ne le soit pas.

  5. Une boîte sans hauteur : 5 sur 5 sur 0

    1. Les trois rectangles : 5 × 5 = 25, 5 × 0 = 0 et 5 × 0 = 0
    2. Somme et doublement : 2 × (25 + 0 + 0) = 50 centimètres carrés
    3. Multipliez les trois : 5 × 5 × 0 = 0 centimètre cube

    Une boîte aplatie en une feuille. Le volume est nul, ce qui est juste et ne signifie pas que la page a échoué à répondre, et l’aire totale n’est pas nulle — elle vaut 50, les deux faces qui sont encore là. Zéro est une valeur légale dans les trois champs : mesurer zéro est une mesure, et seul le fait de laisser un champ vide est le cas où il n’y a rien pour travailler.

Limites

Cette page calcule un pavé droit et rien d’autre : ni cylindre, ni cône, ni sphère, ni pyramide, ni solide irrégulier, et elle n’accepte pas un volume pour remonter à une arête manquante. Les trois dimensions sont obligatoires et aucune ne peut être négative. Les deux réponses reviennent en centimètres — au cube pour le volume, au carré pour l’aire — quelle que soit l’unité réglée dans chaque champ, parce que la conversion se fait à l’entrée. Un pavé mesuré en pouces donne donc un volume qu’il faut diviser par 16,387064 pour être lu en pouces cubes : un volume se convertit par le cube du facteur de longueur, et diviser par 2,54 ou par 6,4516 par analogie avec une longueur ou une aire est l’erreur à éviter. Il n’y a pas de sortie pour la diagonale qui traverse la boîte de part en part, et la diagonale qu’un lecteur peut avoir en tête d’une fiche technique d’écran est la diagonale d’une face, qui est une autre longueur. Rien ici ne traite une boîte aux coins arrondis, une boîte ouverte, ni l’épaisseur de la matière dont elle est faite — une boîte sans couvercle demande moins de matière que le chiffre imprimé ici, et la différence est la face que vous avez laissée de côté. Les quatre décimales sont une largeur d’affichage ; l’arithmétique elle-même est exacte dès que les trois entrées le sont, donc un nombre comme 0,125 s’écrit en entier plutôt qu’arrondi. Et rien ici ne convertit entre centimètres cubes et litres : la page de l’aquarium prend les trois mêmes mesures et répond en litres et en gallons si c’est cela que vous cherchez.

Questions fréquentes

Pourquoi doubler chaque arête multiplie-t-il le volume par huit ?
Parce que chacune des trois longueurs est doublée et qu’elles sont multipliées entre elles, donc le facteur deux entre trois fois : deux fois deux fois deux font huit. L’aire totale ne double que deux fois, puisqu’une aire est un produit de deux longueurs, donc elle est multipliée par quatre. Cet écart explique qu’un grand contenant contienne bien plus qu’un petit en consommant proportionnellement moins de matière, et qu’une petite boîte de même forme ne soit jamais une bonne affaire à l’échelle.
J’ai saisi des pouces. Pourquoi le volume est-il en centimètres cubes ?
Parce que la conversion se fait à l’entrée et non à la sortie. Vos pouces sont transformés en centimètres et les deux réponses reviennent en centimètres. Pour lire le volume en pouces cubes, divisez par 16,387064 — c’est 2,54 au cube. Diviser par 2,54, comme on le ferait pour une longueur, donne une réponse fausse d’un facteur d’environ quarante.
Laquelle des trois dimensions est la hauteur ?
Celle que vous traitez comme verticale — un pavé ne se soucie pas du nom posé sur telle ou telle arête, parce que le volume comme l’aire totale sont symétriques en les trois. La page emploie le mot hauteur au sens de la hauteur d’une figure, et non de celle d’un réservoir ou d’une personne, mais l’arithmétique ne change pas si vous en échangez deux.
Est-ce la même chose que la page du volume d’aquarium ?
La géométrie est identique et les trois mesures sont les mêmes trois, mais les réponses ne le sont pas. Cette page-là traite la figure comme un contenant et répond en litres et en gallons, avec un plafond de dimensions qu’un bac peut raisonnablement avoir. Celle-ci traite la figure comme un solide géométrique et répond en centimètres cubes avec l’aire totale en plus, ce qui est ce qu’on veut quand la boîte est un objet matériel plutôt qu’un récipient.
Puis-je obtenir l’aire totale seule, ou une autre forme ?
La page de l’aire totale prend une sphère, un cône, un cylindre ou un prisme droit et ne renvoie que la surface extérieure, donc elle couvre ce pavé parmi trois autres figures. Son option prisme est la même formule que celle d’ici, et les deux s’accordent : un pavé de 5 sur 4 sur 4 affiche 112 des deux côtés. Si vous voulez une seule figure à la fois sans rien avoir à choisir, cette page est le chemin le plus court.
Pourquoi n’y a-t-il pas de diagonale pour la boîte ?
Parce que la diagonale à laquelle la plupart des gens pensent, et celle que ce site donne déjà ailleurs, est la diagonale d’une face plane — le chiffre annoncé pour les écrans. Un pavé possède aussi une diagonale qui le traverse d’un coin au coin opposé, et c’est une autre longueur avec une autre formule. Imprimer l’une sous le nom simple de diagonale rendrait l’étiquette fausse sur l’une des deux pages, donc celle-ci s’abstient.

Références

Calculatrices liées

Calculatrice de surface des solidesSurface des sphères, des cônes, des cylindres et des prismes.Calculatrice de volume d’aquariumVolume d’un aquarium en litres à partir des dimensions.Calculatrice de volume d’un cylindreVolume d’un cylindre, avec l’aire des bases et du côté.Calculatrice de rectangleAire, périmètre et diagonale d’un rectangle.