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CalcMax

Calculatrice de rectangle

Intervalle : 0 cm – 1 000 000 000 cm

Intervalle : 0 cm – 1 000 000 000 cm

Résultat

12,0000 cm²

Aire

Périmètre
14,0000 cm
Diagonale
5,0000 cm

Une calculatrice de rectangle prend la longueur et la largeur d’un rectangle et en renvoie trois mesures : l’aire, le périmètre et la diagonale. Rien sur cette page ne surprendra quiconque est passé par l’école, et c’est justement l’intérêt — le rectangle est la figure où les trois genres de mesure dont s’occupe toute cette famille de pages se distinguent le plus nettement, parce que les trois partent des deux mêmes nombres et que les trois réagissent différemment quand ces nombres changent. L’aire est la longueur multipliée par la largeur, et elle répond à la question de la surface que le rectangle couvre. Le périmètre est deux fois la longueur plus la largeur, et il répond à la question du bord qu’il possède, qui est celle que l’on se pose quand on achète un cadre ou une bande de bordure. La diagonale est la racine carrée de la longueur au carré plus la largeur au carré, et elle répond à la question de la distance d’un coin au coin opposé, qui est celle que l’on se pose quand on vérifie si quelque chose passera par une porte ou traversera une pièce. Les deux premières de ces formules sont celles de l’école. La troisième est le théorème de Pythagore, et il vaut la peine de remarquer que c’est lui qui travaille ici : la diagonale découpe le rectangle en deux triangles rectangles, la longueur et la largeur en sont les deux côtés de l’angle droit, et la diagonale en est l’hypoténuse, ce qui explique que la réponse soit la racine carrée d’une somme de carrés et non quelque chose de plus simple. Si vous connaissez déjà deux côtés d’un triangle rectangle, vous savez déjà faire cette page ; sinon, la page du théorème de Pythagore à côté est l’endroit où cela est exposé pour lui-même.

Rectangles courants, du 4 sur 3 au rectangle aplati

Longueur (cm)Largeur (cm)Aire (cm²)Périmètre (cm)Diagonale (cm)
4312145
5525207.0711
6424207.2111
125603413
10101004014.1421
100505000300111.8034
00000
700147

Huit rectangles, et la première ligne est celui avec lequel la page se charge. La colonne à lire attentivement est celle du périmètre, parce qu’elle se répète : la première ligne et la dernière arrivent toutes deux à 14, et la deuxième et la troisième à 20. Ce n’est pas une erreur d’arithmétique dans le tableau, c’est le fait qu’un périmètre ne détermine pas une forme — le 5 sur 5 et le 6 sur 4 ont autant de bord et des aires et des diagonales tout à fait différentes, et c’est pourquoi la page demande deux nombres plutôt qu’un. La quatrième ligne est le rectangle 5-12-13, le seul ici dont les trois sorties soient des nombres entiers, et celui à garder à côté du 4 sur 3 comme second contrôle. La cinquième ligne est un carré de 10 sur 10, dont la diagonale vaut 14,1421 — une racine carrée qui ne se termine pas, et la bonne réponse pour un carré de cette taille. La sixième ligne est volontairement grande, pour montrer l’aire qui s’échappe des deux autres : à 100 sur 50, l’aire vaut 5 000 tandis que le périmètre ne vaut que 300 et la diagonale 111,8034, parce que l’aire suit le carré de la taille alors que les deux autres suivent la taille elle-même. La dernière ligne est un rectangle aplati à largeur nulle, où l’aire vaut 0 et où le périmètre vaut encore 14. Chaque nombre est recalculé à partir de sa longueur et de sa largeur au moment où la page est construite, en centimètres, et les quatre décimales sont celles du panneau de résultats. Les nombres sont repris tels quels : dans le tableau, le séparateur décimal est le point (7.0711 plutôt que 7,0711), parce que les valeurs viennent du calcul et non d’un texte, et les milliers ne sont pas groupés (5000 plutôt que 5 000).

Formule

A = l × w P = 2(l + w) d = √(l² + w²)

Longueur
Le plus long des deux côtés, en centimètres. La page ne vérifie pas que c’est bien le plus long — intervertir les deux cases donne exactement les trois mêmes réponses, parce que toutes les formules d’ici traitent la longueur et la largeur de la même façon
Largeur
L’autre côté, en centimètres, à angle droit avec la longueur. Avec la longueur, elle fixe le rectangle entièrement : deux nombres indépendants sont ce dont un rectangle a besoin, là où un carré en demande un et un triangle trois
Aire
La surface que le rectangle couvre, en centimètres carrés, soit la longueur multipliée par la largeur. C’est la seule des trois sorties qui croît avec le carré de la taille plutôt qu’avec la taille — doublez les deux côtés et l’aire est multipliée par quatre
Périmètre
La distance sur tout le tour, en centimètres : deux fois la longueur plus la largeur, une fois pour chacune des deux paires de côtés. C’est la mesure qu’il faut pour tout ce qui longe le bord, et celle qui en dit le moins sur la forme, puisque beaucoup de rectangles différents partagent un même périmètre
Diagonale
La distance en droite ligne d’un coin au coin opposé, en centimètres. C’est l’hypoténuse du triangle rectangle formé par la longueur et la largeur, et c’est toujours le plus long segment de droite qui tienne dans le rectangle
l² + w²
La somme des deux carrés, prise avant la racine carrée et non après. C’est la formule du théorème de Pythagore sous la forme que le rectangle utilise, et c’est la raison pour laquelle la diagonale est un peu plus longue que la longueur sans jamais atteindre la longueur plus la largeur
Quatre décimales
La largeur d’écriture de chaque sortie. L’aire et le périmètre sont exacts dès que les deux entrées le sont, mais la diagonale ne l’est presque jamais : c’est une racine carrée, elle porte donc en général une suite de chiffres, et quatre décimales sont une largeur d’affichage et non une affirmation de précision

Les trois sorties répondent à trois questions pratiques différentes sur le même objet, et savoir laquelle on veut représente la plus grande part du travail. Le revêtement de sol, la peinture, le gazon et le tissu s’achètent à l’aire : c’est donc la colonne à lire quand le rectangle est une surface. Les plinthes, les bordures, les encadrements, les clôtures et les finitions s’achètent à la longueur : c’est donc le périmètre — et il vaut la peine de savoir que le périmètre seul ne dit pas la forme, si bien qu’une pièce de 4 sur 3 et une bande de 7 sur 0 demandent la même longueur de plinthe, ce qui est également vrai et inutile. La diagonale intervient quand le rectangle doit passer par quelque chose ou entrer dans quelque chose : une ouverture de porte, un cadre photo que l’on vérifie d’équerre, un écran annoncé par sa diagonale plutôt que par ses côtés, ou le plus long objet droit qui tiendra à plat dans une caisse. C’est aussi le moyen le plus rapide de vérifier qu’un rectangle est bien d’équerre — mesurez les deux diagonales de tout ce qui est censé être rectangulaire et, si elles sont égales, les coins sont à 90 degrés, un truc que les menuisiers utilisent sur les pièces et les encadreurs sur les passe-partout.

Exemples détaillés

  1. Un rectangle de 4 sur 3

    1. Aire : 4 × 3 = 12
    2. Périmètre : 2 × (4 + 3) = 14
    3. Diagonale : √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5

    L’entrée avec laquelle la page se charge, et le seul rectangle dont les trois réponses sont de petits nombres entiers. C’est le triangle 3-4-5 replié en deux le long de son hypoténuse, et c’est pourquoi tout tombe juste : la diagonale de ce rectangle est l’un des plus anciens triangles rectangles entiers qui existent. Si vous ne devez vérifier à la main qu’une seule ligne de cette page, vérifiez celle-ci — chaque étape est une arithmétique que l’on peut faire sans calculatrice.

  2. Un carré, 5 sur 5

    1. Aire : 5 × 5 = 25
    2. Périmètre : 2 × (5 + 5) = 20
    3. Diagonale : √(5² + 5²) = √50 = 7,0710678…, que l’on arrondit à 7,0711

    Un rectangle dont les côtés se trouvent être égaux, c’est-à-dire un carré, sans qu’il faille une page à part : mettez le même nombre dans les deux cases et les trois formules donnent les bonnes réponses. La diagonale vaut 5√2, et c’est une racine carrée qui ne se termine jamais — c’est pourquoi la page du carré à côté imprime le même 7,0711 pour un côté de 5. Deux pages, un seul nombre, et c’est le même nombre exprès.

  3. Un rectangle de 6 sur 4

    1. Aire : 6 × 4 = 24
    2. Périmètre : 2 × (6 + 4) = 20
    3. Diagonale : √(36 + 16) = √52 = 7,2111025…, que l’on arrondit à 7,2111

    La ligne à comparer avec la précédente : ce rectangle est plus allongé et plus étroit que le 5 sur 5, il couvre un peu moins de surface — 24 contre 25 — et il a exactement le même périmètre de 20, mais sa diagonale est 7,2111 contre 7,0711. Autant de bord, une autre forme, et la diagonale est la sortie qui s’en aperçoit. C’est toute la raison pour laquelle un périmètre seul décrit mal un rectangle.

  4. Le rectangle 5-12-13

    1. Aire : 12 × 5 = 60
    2. Périmètre : 2 × (12 + 5) = 34
    3. Diagonale : √(144 + 25) = √169 = 13

    L’autre triangle rectangle entier de cette page, et un plus grand. Un rectangle 5-12-13 mérite d’être retenu comme second contrôle à côté du 3-4-5, parce qu’il est assez grand pour qu’une erreur d’échelle se voie : un rectangle de 12 mètres sur 5 est une pièce plausible, et sa diagonale de 13 mètres exactement est une mesure que l’on peut vérifier au mètre ruban plutôt qu’avec une formule.

  5. Un rectangle sans largeur

    1. Aire : 7 × 0 = 0
    2. Périmètre : 2 × (7 + 0) = 14
    3. Diagonale : √(49 + 0) = 7

    Une largeur de zéro est acceptée, et les trois sorties qu’elle donne sont toutes correctes et toutes signifient quelque chose de différent. Le rectangle s’est aplati en un segment : il ne couvre aucune surface, donc l’aire vaut 0 ; il n’a plus vraiment de diagonale, donc celle-ci se confond avec la longueur, à 7 ; et le périmètre reste 2 × 7 = 14, qui est la distance parcourue sur toute la longueur du segment puis au retour. Un périmètre pour une forme sans aire ressemble à une erreur et n’en est pas une.

Limites

Cette page ne concerne que les rectangles : quatre côtés, quatre angles droits, côtés opposés égaux. Un parallélogramme qui n’est pas un rectangle a la même forme à deux entrées et trois sorties mais une diagonale différente, et la page du parallélogramme à côté est celle qui traite ce cas. Les sorties sont en centimètres et en centimètres carrés quelle que soit l’unité réglée dans la liste, si bien qu’une longueur saisie en pouces revient sous forme d’une réponse en centimètres que vous devez convertir vous-même. Quatre décimales sont une largeur d’affichage et non une prétention de précision : l’aire et le périmètre sont exacts dès que les entrées le sont, mais la diagonale est une racine carrée et ses deux derniers chiffres n’ont pas de sens si les entrées n’étaient pas exactes au départ. La page ne vérifie pas laquelle des deux entrées est la plus longue, et elle n’en a pas besoin — toutes les formules d’ici sont symétriques en la longueur et la largeur, donc les intervertir donne les trois mêmes réponses sans aucun avertissement. Une largeur de zéro est acceptée et produit un jeu de réponses réel, quoique dégénéré ; la page n’y voit pas une case vide. Rien ici ne traite un rectangle aux coins arrondis, un rectangle tracé sur une surface courbe, ni l’épaisseur d’une planche ou d’une poutre rectangulaire, qui est une troisième dimension pour laquelle cette page n’a aucun champ.

Questions fréquentes

Cela change-t-il quelque chose de mettre l’un ou l’autre côté dans la case de la longueur ?
Non. Toutes les formules de cette page traitent la longueur et la largeur de la même façon — l’aire les multiplie, le périmètre les additionne, et la diagonale les élève au carré puis les additionne — donc intervertir les deux cases donne exactement les trois mêmes réponses. La page ne vérifie pas laquelle est la plus longue, et elle n’en a pas besoin. Si vous trouvez plus simple de toujours mettre le plus grand nombre en premier, c’est une habitude et non une obligation.
Pourquoi la diagonale est-elle plus longue que la longueur mais plus courte que la longueur plus la largeur ?
Parce que c’est l’hypoténuse du triangle rectangle que la diagonale découpe, donc la racine carrée de la longueur au carré plus la largeur au carré. Élever au carré, additionner puis prendre la racine donne toujours quelque chose entre les deux : plus grand que l’un ou l’autre côté pris seul, parce qu’on a ajouté une quantité positive avant de prendre la racine, et plus petit que la somme des deux, parce que le carré d’une somme est plus grand que la somme des carrés. L’écart entre la diagonale et la longueur plus la largeur est ce que l’on gagne à couper en travers plutôt qu’à faire le tour.
Le périmètre est le même pour deux rectangles différents. Est-ce un bug ?
Non, et le tableau est arrangé pour le montrer deux fois : 4 sur 3 et 7 sur 0 ont tous deux un périmètre de 14, et 5 sur 5 et 6 sur 4 ont tous deux un périmètre de 20. Un périmètre fixe la quantité de bord d’un rectangle mais pas sa forme — beaucoup de rectangles différents partagent un même périmètre, avec des aires et des diagonales différentes. Si vous devez décrire un rectangle complètement, il vous faut deux nombres, et c’est exactement pourquoi la page en demande deux.
Puis-je m’en servir pour vérifier qu’un coin est d’équerre ?
Oui, et c’est le plus vieux truc qui existe. Mesurez les deux diagonales de ce que vous vérifiez. Si elles sont égales, les quatre coins sont des angles droits et vous avez un rectangle ; sinon, vous avez un parallélogramme ou une forme dont un coin est plié, et la diagonale la plus longue est du côté de l’angle obtus. Pour une grande pièce, il est plus facile de comparer deux diagonales mesurées que d’essayer de mesurer un angle de 90 degrés, et c’est pourquoi les constructeurs font ainsi.
Pourquoi une largeur de zéro donne-t-elle un périmètre de 14 au lieu de rien ?
Parce qu’un rectangle aplati reste une forme, simplement dégénérée. L’écraser à largeur nulle le change en un segment de longueur 7, qui ne couvre aucune surface : l’aire vaut donc 0 et la diagonale se confond avec la longueur. La formule du périmètre ne s’en soucie pas : deux fois la longueur plus la largeur fait deux fois 7, c’est-à-dire la distance le long du segment puis au retour, une fois pour chacun des deux grands côtés qui sont maintenant l’un sur l’autre. La réponse est réelle, et la page traite le zéro comme une entrée et non comme une case vide.
En quoi est-ce différent de la calculatrice de carré ?
Un carré est un rectangle dont les côtés sont égaux, donc tout ce qui est ici fonctionne sur un carré — mettez le même nombre dans les deux cases et les trois réponses sont bonnes. La différence est le sens de la question. Cette page prend deux nombres et donne des réponses ; la page du carré prend au choix le côté, le périmètre ou l’aire et en déduit le reste, parce qu’un carré n’a qu’un seul degré de liberté là où un rectangle en a deux. Servez-vous de cette page quand vous connaissez les deux côtés, et de celle du carré quand vous connaissez une mesure et que vous voulez les autres.

Références

Calculatrices liées

Calculatrice de carréCôté, périmètre ou aire d’un carré, et sa diagonale.Calculatrice d’aire de parallélogrammeAire et périmètre d’un parallélogramme quelconque.Calculatrice de périmètrePérimètre des figures usuelles à partir de leurs côtés.Calculatrice d’aire de trapèzeAire d’un trapèze à partir des deux bases et de la hauteur.