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CalcMax

Calculatrice de carré

Intervalle : 0 cm – 1 000 000 000 cm

Intervalle : 0 cm – 4 000 000 000 cm

Intervalle : 0 cm² – 1 000 000 000 000 000 000 cm²

Résultat

5,0000 cm

Côté

Périmètre
20,0000 cm
Aire
25,0000 cm²
Diagonale
7,0711 cm

Une calculatrice de carré prend l’une des trois mesures d’un carré — le côté, le périmètre ou l’aire — et renvoie les quatre : le côté, le périmètre, l’aire et la diagonale. C’est une forme de question différente de celle de la page du rectangle voisine, et la différence vaut la peine d’être vue nettement. Un rectangle a deux degrés de liberté, donc il faut fournir deux nombres avant que quoi que ce soit puisse être calculé. Un carré en a un : tous les carrés ont la même forme à une taille près, et un seul nombre disant de quelle taille il s’agit règle tout le reste. Ainsi, plutôt que de vous réclamer deux nombres précis, cette page accepte celui que vous avez sous la main. Si vous avez mesuré un côté, mettez-le dans le champ du côté. Si vous connaissez le périmètre parce que vous achetez un cadre, mettez-le dans le champ du périmètre. Si vous connaissez l’aire parce que vous couvrez une surface, mettez-la là. Les trois autres lectures suivent, et la page vous renvoie celle que vous avez fournie, de sorte que la ligne se lise comme un jeu complet. L’arithmétique vaut la peine d’être connue parce qu’elle constitue toute cette page. Le périmètre vaut quatre côtés. L’aire vaut le côté au carré. La diagonale vaut le côté multiplié par la racine carrée de deux, ce qui est le théorème de Pythagore appliqué à un carré : la diagonale est l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont les deux côtés de l’angle droit valent le côté du carré, donc elle vaut la racine carrée de deux côtés au carré, c’est-à-dire le côté multiplié par la racine de deux. Et la parcourir à l’envers est tout aussi simple — divisez un périmètre par quatre pour retrouver le côté, prenez la racine carrée d’une aire pour retrouver le côté, et tout le reste découle du côté. Quatre lectures, une entrée, et seulement trois formules derrière elles.

Des carrés saisis par chacune des trois directions

EntréeCôté (cm)Périmètre (cm)Aire (cm²)Diagonale (cm)
s520257.0711
P520257.0711
A520257.0711
s1411.4142
s0000
s104010014.1421
A1.41425.656922
P31294.2426

Huit carrés, et la première colonne dit quel champ a été rempli — sans elle le tableau serait illisible, puisqu’un côté de 5, un périmètre de 20 et une aire de 25 produisent tous les trois les mêmes quatre lectures. Ce n’est pas trois lignes calculées deux fois : c’est le propos de la page, et les trois premières lignes sont là pour le rendre visible. La quatrième ligne est le carré unité, dont la diagonale vaut 1,4142, qui est la racine carrée de deux elle-même. La sixième ligne est un côté de 10, dont la diagonale vaut 14,1421 — la même racine à plus grande échelle, et le même nombre que le tableau du rectangle imprime pour son carré de 10 sur 10. La septième ligne est celle à retenir : une aire de 2 donne un côté de 1,4142 et une diagonale de exactement 2, parce que le côté est la racine de deux et que la diagonale est le côté multiplié par la racine de deux, et que les deux s’annulent. La dernière ligne est un périmètre de 12, donnant un côté de 3, une aire de 9 et une diagonale de 4,2426, qui est 3√2. La cinquième ligne est un côté de zéro, où chaque colonne vaut zéro et où la réponse est réelle plutôt qu’absente. Chaque nombre est recalculé à partir de son entrée au moment où la page est construite, en centimètres, et les quatre décimales sont les mêmes que celles du panneau de résultats. Les nombres sont repris tels quels : dans le tableau, le séparateur décimal est le point (7.0711 plutôt que 7,0711), parce que les valeurs viennent du calcul et non d’un texte.

Formule

c = P ÷ 4 = √A P = 4c A = c² d = c√2

Côté
La longueur de l’un quelconque des quatre côtés, en centimètres. Les quatre sont égaux, donc il n’y a qu’une seule mesure à prendre. C’est le champ avec lequel la page se charge, parce que le côté est le nombre dont tout le reste est dérivé
Périmètre
La distance sur tout le tour, en centimètres, soit quatre fois le côté. Si vous avez rempli ce champ-là, la page divise par quatre pour retrouver le côté avant de calculer autre chose
Aire
La surface que couvre le carré, en centimètres carrés, soit le côté multiplié par lui-même. Si vous avez rempli ce champ, la page prend sa racine carrée pour retrouver le côté, ce qui explique qu’une aire doive être un nombre positif pour que la page aboutisse à quelque chose
Diagonale
La distance d’un coin au coin opposé, en centimètres, soit le côté multiplié par la racine carrée de deux. Elle n’a pas de champ à elle, parce qu’une diagonale est une conséquence de la taille plutôt qu’une façon de la spécifier — mais elle est imprimée, car c’est la mesure que l’on veut le plus souvent et que l’on attend le moins
√2
La racine carrée de deux, environ 1,4142136. C’est le rapport entre la diagonale d’un carré et son côté, et c’est le même nombre pour tous les carrés jamais tracés — ce qui en a fait le premier nombre irrationnel que quiconque ait remarqué
Quatre décimales
La largeur avec laquelle chaque lecture est écrite. Le côté et le périmètre sont exacts dès que l’entrée l’est, mais la diagonale porte toujours un √2 et ne se termine donc presque jamais, et une aire retrouvée par une racine carrée ramène le même problème jusque dans le côté

Cette page sert les fois où vous avez une mesure d’un carré et où vous en voulez une autre, ce qui arrive plus souvent que ne le suggère la forme deux entrées trois sorties de la page du rectangle. Le cas le plus courant est de connaître l’aire et d’avoir besoin du côté : une pièce annoncée à 36 mètres carrés est un carré de six mètres de côté, un terrain de 500 mètres carrés fait environ 22,36 mètres de large, et un pot de peinture couvrant une surface annoncée vous dit quelle longueur de mur il traitera. Le deuxième cas le plus courant est la diagonale, et c’est celui dont on oublie qu’on peut le demander. Une nappe carrée pour une table ronde se mesure par sa diagonale ; une plaque carrée de matériau que l’on fait passer par une ouverture rectangulaire passe par sa diagonale et non par son côté ; un écran carré annoncé à 32 pouces l’est sur la diagonale, donc ses côtés réels valent 32 divisé par la racine de deux, soit environ 22,6 pouces. Et dans l’autre sens, la diagonale est la façon de vérifier qu’un carré en est vraiment un : si les quatre côtés concordent mais que les deux diagonales non, vous avez un parallélogramme ou un cadre de travers plutôt qu’un carré.

Exemples détaillés

  1. Un côté de 5

    1. Périmètre : 4 × 5 = 20
    2. Aire : 5 × 5 = 25
    3. Diagonale : 5 × √2 = 7,0710678…, soit 7,0711

    L’entrée avec laquelle la page se charge, et la ligne qui correspond exactement au 5 par 5 de la page du rectangle — 25 centimètres carrés, 20 centimètres de tour, une diagonale de 7,0711. Deux pages, un nombre, et c’est le même nombre exprès : un carré est un rectangle dont les côtés sont égaux, donc un désaccord entre les deux serait un défaut dans l’une des deux.

  2. À partir d’un périmètre de 20

    1. Côté : 20 ÷ 4 = 5
    2. Aire : 5 × 5 = 25
    3. Diagonale : 5 × √2 = 7,0710678…, soit 7,0711

    Le même carré saisi par une autre porte, et les quatre lectures reviennent identiques à la ligne du dessus — ce qui est le propos de la page plutôt qu’un doublon dans le tableau. Si vous achetez un cadre et ne connaissez que la longueur totale de moulure, c’est cette entrée qui répond à la question, et le côté, l’aire et la diagonale en sortent tous.

  3. À partir d’une aire de 25

    1. Côté : √25 = 5
    2. Périmètre : 4 × 5 = 20
    3. Diagonale : 5 × √2 = 7,0710678…, soit 7,0711

    La troisième porte d’entrée vers le même carré. C’est l’entrée à employer quand le nombre que vous avez est une mesure de surface — une pièce annoncée à 25 mètres carrés, ou une plaque vendue à l’aire — parce que la racine carrée de 25 vaut exactement 5 et que la page repart de là.

  4. Une aire de 2

    1. Côté : √2 = 1,4142135…, soit 1,4142
    2. Périmètre : 4 × √2 = 5,6568542…, soit 5,6569
    3. Diagonale : √2 × √2 = 2

    La ligne à retenir. Un carré d’aire 2 a un côté de 1,4142 — la racine carrée de deux, qui est toute la raison de la célébrité de ce nombre — et une diagonale de exactement 2, parce que le côté est la racine de deux et que la diagonale est le côté multiplié par la racine de deux, et que les deux racines s’annulent. C’est aussi le carré qui double l’aire d’un carré donné : celui-ci fait deux fois la taille du carré unité, et son côté est la diagonale du carré unité, ce qui est la construction derrière le premier nombre irrationnel que quiconque ait écrit.

  5. Un côté de zéro

    1. Périmètre : 4 × 0 = 0
    2. Aire : 0 × 0 = 0
    3. Diagonale : 0 × √2 = 0

    Un carré sans taille est un point, et les quatre lectures valent zéro. Zéro est une entrée légale plutôt qu’un champ vide, donc une ligne de zéros est une vraie réponse — la page la distingue des trois champs laissés vides, qui n’affichent aucun résultat parce qu’il n’y a rien à partir de quoi travailler.

Limites

La page ne concerne que les carrés : quatre côtés égaux et quatre angles droits. Un rectangle qui ressemble à un carré est une autre forme avec une autre diagonale, et c’est la page du rectangle voisine qui s’en occupe ; un losange a quatre côtés égaux mais ses coins ne sont pas droits, donc sa diagonale est plus courte que le côté multiplié par la racine de deux et cette page ne vous le dira pas. Les lectures sont en centimètres et en centimètres carrés quelle que soit l’unité choisie dans les listes, donc un côté saisi en pouces revient comme une réponse en centimètres que vous devez convertir vous-même. Les quatre décimales sont une largeur d’affichage plutôt qu’une prétention à la précision : le périmètre est exact dès que l’entrée l’est, la diagonale ne l’est presque jamais parce qu’elle porte un √2, et une aire saisie comme un nombre qui n’est pas un carré parfait revient comme un côté avec le même problème. La diagonale est imprimée mais ne peut pas être saisie — elle n’a pas de champ — donc un carré spécifié par sa diagonale doit d’abord être converti à la main. Fournir deux des trois champs à la fois est refusé plutôt que résolu en silence, parce qu’un côté de 5 et un périmètre de 30 décrivent deux carrés différents et que la page préfère le dire que d’en choisir un. Rien ici ne traite un carré aux coins arrondis, un carré tracé sur une surface courbe, ni l’épaisseur d’un carreau ou d’une barre carrée.

Questions fréquentes

Pourquoi un seul champ suffit-il à remplir ?
Parce qu’un carré n’a qu’un seul degré de liberté. Tous les carrés ont la même forme à une taille près, donc un seul nombre disant de quelle taille il s’agit règle tout le reste — contrairement à un rectangle, qui existe en différentes proportions et réclame deux nombres avant que quoi que ce soit puisse être calculé. La page accepte donc la mesure que vous avez et dérive les autres.
Pourquoi n’y a-t-il pas de champ pour la diagonale ?
Parce qu’une diagonale est une conséquence de la taille plutôt qu’une façon de la spécifier. Lui ajouter un champ signifierait une quatrième formule de retour — diviser par la racine de deux pour retrouver le côté — pour une grandeur que presque personne ne mesure directement. Elle est tout de même imprimée, parce que c’est la lecture que l’on veut le plus souvent et que l’on attend le moins, et c’est celle qui sert à vérifier qu’un carré est bien carré.
Pourquoi le côté, le périmètre et l’aire donnent-ils les mêmes quatre lectures ?
Parce qu’ils décrivent le même carré. Saisir un côté de 5, un périmètre de 20 et une aire de 25 sont trois façons de dire la même chose, donc les trois produisent un côté de 5 centimètres, un périmètre de 20 centimètres, 25 centimètres carrés et une diagonale de 7,0711. Le tableau de référence montre ces trois entrées comme des lignes distinctes précisément pour que cela soit visible plutôt que d’avoir à le croire sur parole.
Qu’a de particulier un carré d’aire 2 ?
Son côté est la racine carrée de deux, environ 1,4142, et sa diagonale vaut exactement 2. Cela marche parce que le côté est √2 et que la diagonale est le côté multiplié par √2, donc les deux racines s’annulent — une réponse exacte dans une page où presque tout le reste porte une racine qui ne se termine jamais. C’est aussi le carré dont l’aire vaut le double d’un carré de un sur un, ce qui fait de son côté la diagonale du carré unité, et c’est de cette construction qu’est né le premier nombre irrationnel.
Puis-je saisir des nombres dans deux champs à la fois ?
Non, et la page le refuse plutôt que d’en choisir un. Un côté de 5 et un périmètre de 30 décrivent deux carrés différents, et il n’y a pas de façon honnête de décider lequel vous vouliez dire. Videz les autres champs avant de remplir celui que vous voulez — la page distingue d’ailleurs un champ vide d’un zéro, donc un carré de côté zéro est une vraie réponse alors que trois champs vides ne produisent aucun résultat.
Quelle différence avec la calculatrice de rectangle ?
La page du rectangle prend deux nombres et donne trois réponses ; celle-ci prend un nombre et donne quatre lectures. La différence tient au nombre de degrés de liberté, un contre deux, et elle change la forme du formulaire : le rectangle vous demande une longueur et une largeur, tandis que cette page demande l’unique mesure que vous avez. Un carré saisi sur la page du rectangle donne la même aire, le même périmètre et la même diagonale, donc les deux concordent partout où elles se recouvrent.

Références

Calculatrices liées

Calculatrice de rectangleAire, périmètre et diagonale d’un rectangle.Calculatrice de périmètrePérimètre des figures usuelles à partir de leurs côtés.Calculatrice d’hexagoneAire, périmètre et diagonales d’un hexagone régulier.Calculatrice d’aire de carréAire d’un carré à partir de la longueur de son côté.