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Calculatrice d’aire de trapèze

Intervalle : 0 cm – 1 000 000 000 cm

Intervalle : 0 cm – 1 000 000 000 cm

Intervalle : 0 cm – 1 000 000 000 cm

Résultat

32,0000 cm²

Aire

La calculatrice d’aire d’un trapèze prend les deux côtés parallèles et la distance qui les sépare, et renvoie la surface couverte par la figure, en centimètres carrés. Un trapèze est un quadrilatère dont une paire de côtés opposés est parallèle — ces deux côtés sont les bases, et tout le reste en découle. La formule est la moyenne des deux bases multipliée par la hauteur, et c’est la moyenne qui mérite qu’on s’y arrête, parce qu’elle explique pourquoi cette page est plus générale que celles qui l’entourent. Prenez un trapèze, copiez-le, faites pivoter la copie d’un demi-tour et recollez les deux le long d’un des côtés obliques : vous obtenez un parallélogramme dont la base est la somme des deux bases et dont la hauteur n’a pas changé. La part du trapèze est la moitié de ce parallélogramme, ce qui revient à dire : la moyenne des deux bases multipliée par la hauteur. Quand les deux bases se trouvent être égales, la moyenne ne change rien et la formule se réduit à base fois hauteur — c’est le parallélogramme. Quand l’une des deux vaut zéro, la moyenne vaut la moitié de l’autre et la formule se réduit à celle du triangle. Un trapèze n’est donc pas une figure bizarre qui aurait eu besoin de sa propre règle : c’est le cas général, et les deux autres sont ce qu’il devient aux extrémités. Une chose à savoir avant de commencer vous fera gagner un temps surprenant : peu importe quelle base va dans quelle case. La formule additionne les deux avant toute autre opération, si bien qu’un trapèze posé sur son grand côté et le même trapèze posé sur son petit côté donnent le même résultat, et qu’une base supérieure plus longue que la base inférieure n’est pas une erreur — cela signifie simplement que la figure est à l’envers. Le mot qui demande vraiment de l’attention est hauteur. Il s’agit de la distance perpendiculaire entre les deux bases, pas de la longueur de l’un des côtés obliques, pour la même raison que sur la page du triangle.

L’aire d’un trapèze d’après ses deux côtés parallèles et la distance qui les sépare

Base supérieure (cm)Base inférieure (cm)Hauteur (cm)Aire (cm²)
610432
59642
37210
88540
010420
124756
2236
191050

Huit trapèzes et quatre colonnes, et deux de ces lignes sont la raison d’être de la page. La quatrième est la ligne du parallélogramme : deux bases de 8 avec une hauteur de 5 donnent 40, ce que la page du parallélogramme affiche pour la même figure — ce tableau et celui-là se rejoignent donc sur cette ligne. La cinquième est la ligne du triangle : une base supérieure de 0 avec une base inférieure de 10 et une hauteur de 4 donne 20, et c’est le même 20 que la page du triangle renvoie si vous y saisissez une base de 10 et une hauteur de 4. Lus ensemble, ces deux lignes disent qu’un trapèze est le cas général et que les autres figures en sont les extrémités. La première ligne est le couple avec lequel la page s’ouvre, et la sixième en est l’image inversée : une base supérieure de 12 au-dessus d’une base inférieure de 4, c’est une figure posée sur son côté le plus long, et intervertir les deux entrées mène tout autant à 56 — essayez et regardez la réponse refuser de changer. La septième est un petit parallélogramme, deux bases de 2 avec une hauteur de 3, que la formule générale traite sans aucun cas particulier. Chaque valeur est recalculée à partir de ses trois entrées au moment de la construction de la page, en centimètres, et les quatre décimales sont les mêmes que celles du panneau de résultats.

Formule

A = (a + b) ÷ 2 × h

a
L’un des deux côtés parallèles, en centimètres. Peu importe lequel vous appelez a et lequel vous appelez b — les deux sont additionnés, donc les intervertir donne le même résultat
b
L’autre côté parallèle, en centimètres. Il peut être plus long ou plus court que a ; une base supérieure plus longue que la base inférieure n’est que la figure à l’envers
h
La distance perpendiculaire entre les deux bases, en centimètres — mesurée à angle droit sur les deux, jamais le long d’un côté oblique
(a + b) ÷ 2
La moyenne des deux bases, et toute l’astuce de la formule. L’aire d’un trapèze se comporte comme celle d’un rectangle dont la largeur serait la moyenne de ses deux bases
Deux
Le diviseur, et la raison pour laquelle cette page contient les deux autres figures. Quand les bases sont égales, la division par deux et la moyenne s’annulent et l’on retrouve base fois hauteur ; quand une base est nulle, la moyenne vaut la moitié de l’autre et la division par deux du triangle réapparaît
Aire
La surface que le trapèze enferme, en centimètres carrés — toujours cette unité, quelles que soient les listes déroulantes
Quatre décimales
La largeur avec laquelle le résultat est écrit. La moitié de la somme de deux bases est exacte pour des centimètres entiers, donc une fraction n’apparaît que si les entrées en portent déjà une

Tout ce qui a la forme d’un trapèze et se chiffre ou se couvre à l’aire. Les toitures sont le cas classique et la raison pour laquelle la figure a un nom dans le vocabulaire de tous les corps de métier : une toiture à quatre pans, un pignon vu de côté, le trapèze entre deux lucarnes relèvent tous de cette formule, et la couverture se commande au mètre carré. Le terrain est l’autre usage ancien. Une parcelle avec deux côtés parallèles et deux qui ne le sont pas est un trapèze, et une parcelle qui a plus de côtés se découpe généralement en trapèzes et en triangles — c’est ainsi que les géomètres mesurent les fonds irréguliers depuis bien avant l’existence des calculatrices. Au-delà de ces deux cas, c’est la même figure qui revient partout où un objet est plus large d’un bout que de l’autre : une allée en biseau, une bande de terrain entre deux routes qui divergent, un panneau acoustique, un tronçon de gaine qui s’élargit, un plateau de table trapézoïdal, le parement d’un barrage, un canal d’évacuation. Elle vaut aussi la peine d’être connue pour une raison qui n’a rien à voir avec les trapèzes. Comme le cas des bases égales donne le parallélogramme et le cas de la base nulle donne le triangle, cette seule formule couvre l’aire de tout quadrilatère ayant une paire de côtés parallèles — si vous ne retenez que celle-ci, vous avez les deux autres sans effort supplémentaire, et le rectangle avec. C’est en ce sens que cette page est la page générale.

Exemples détaillés

  1. Une base supérieure de 6, une base inférieure de 10 et une hauteur de 4

    1. On additionne les deux bases : 6 + 10 = 16
    2. On divise par deux pour obtenir la largeur moyenne : 16 ÷ 2 = 8
    3. On multiplie par la hauteur : 8 × 4 = 32

    Le couple avec lequel la page s’ouvre. C’est aussi la ligne qui montre que l’ordre des bases n’a pas d’importance : mettez 10 dans la case du haut et 6 dans celle du bas, et vous retrouvez 32. Les deux sont additionnées avant toute autre opération, si bien que ces cases ne sont pas vraiment un haut et un bas — ce sont simplement les deux côtés parallèles.

  2. Une base supérieure de 12, une base inférieure de 4 et une hauteur de 7

    1. On additionne les deux bases : 12 + 4 = 16
    2. On divise par deux : 16 ÷ 2 = 8
    3. On multiplie par la hauteur : 8 × 7 = 56

    Un trapèze dont la base supérieure est plus longue que la base inférieure, ce qui n’est pas une erreur et ne change rien d’important à la figure — cela veut simplement dire qu’elle est posée sur son côté le plus long. Comme les deux bases sont additionnées avant toute autre opération, saisir 4 en haut et 12 en bas donne les mêmes 56. Essayez dans les deux sens et regardez la réponse refuser de changer.

  3. Une base supérieure de 8 et une base inférieure de 8

    1. On additionne les deux bases : 8 + 8 = 16
    2. On divise par deux : 16 ÷ 2 = 8
    3. On multiplie par la hauteur : 8 × 5 = 40

    La ligne du parallélogramme. Quand les deux bases sont égales, il ne reste rien à moyenner et la formule fait ce que fait la page du parallélogramme : base fois hauteur, soit 40. La division par deux et la moyenne s’annulent exactement, et c’est pourquoi cette page contient cette figure au lieu de la concurrencer.

  4. Une base supérieure de 0 et une base inférieure de 10

    1. On additionne les deux bases : 0 + 10 = 10
    2. On divise par deux : 10 ÷ 2 = 5
    3. On multiplie par la hauteur : 5 × 4 = 20

    La ligne du triangle, et l’autre extrémité de la formule. Une base supérieure nulle signifie que la figure a été resserrée jusqu’à un point : c’est un triangle de base 10 et de hauteur 4, et la page du triangle donne 20 pour exactement ces deux nombres. La moyenne de 0 et de 10 vaut 5, soit la moitié de la base, c’est-à-dire la division par deux du triangle qui arrive par l’autre bout.

  5. Une base supérieure de 1, une base inférieure de 9 et une hauteur de 10

    1. On additionne les deux bases : 1 + 9 = 10
    2. On divise par deux : 10 ÷ 2 = 5
    3. On multiplie par la hauteur : 5 × 10 = 50

    Une bande étroite posée sur une beaucoup plus large, ce à quoi ressemblent réellement un terrain en biseau ou une gaine qui s’élargit. La moyenne de 1 et de 9 vaut 5, et 5 est aussi la moyenne de 0 et de 10 — c’est le même fait que dans la ligne précédente, vu depuis un autre couple de nombres. Rien ici n’a eu besoin d’une décimale, et rien n’a été arrondi.

Limites

Cette page calcule l’aire et rien d’autre. Elle ne donne ni le périmètre, ni les côtés obliques, ni la hauteur, ni les angles, et elle ne remonte pas d’une aire vers une mesure manquante — une aire seule ne détermine pas un trapèze, il n’y a donc rien vers quoi remonter. La hauteur est la distance perpendiculaire entre les deux bases et non la longueur d’un côté oblique ; si la seule mesure dont vous disposez court le long d’un des bords inclinés, ce n’est pas le bon nombre pour cette case. Les deux bases et la hauteur doivent être dans la même unité, et le résultat est toujours en centimètres carrés quelles que soient les listes déroulantes : une figure mesurée en pouces ressort en centimètres carrés et doit être divisée par 6,4516 pour se lire en pouces carrés. La figure doit avoir exactement une paire de côtés parallèles : un quadrilatère quelconque sans côté parallèle doit être découpé en triangles, et une figure à deux paires de côtés parallèles est un parallélogramme, que cette page calcule encore mais qui a sa propre page. Un trapèze tracé sur une surface courbe sort du champ, tout comme le volume d’un solide à faces trapézoïdales.

Questions fréquentes

Est-ce que l’ordre des bases a une importance ?
Non, et cela vaut la peine de le savoir avant de commencer. La formule additionne les deux avant toute autre opération : une base de 6 et une base de 10 donnent le même résultat dans un sens comme dans l’autre. Une base supérieure plus longue que la base inférieure n’est pas non plus une faute — cela signifie simplement que le trapèze est posé à l’envers.
Qu’est-ce que la hauteur, exactement ?
La distance perpendiculaire entre les deux côtés parallèles, mesurée à angle droit sur les deux. Ce n’est pas la longueur de l’un des côtés obliques, qui est toujours plus long dès que la figure penche. C’est le même avertissement que sur la page du triangle, et pour la même raison : saisir un côté oblique donne une aire plus grande qui paraît parfaitement plausible.
Pourquoi la page du parallélogramme existe-t-elle si celle-ci le couvre ?
Parce que la plupart des gens qui cherchent l’aire d’un parallélogramme ne se le représentent pas comme un trapèze à deux bases égales, et leur imposer ce détour est un effort sans contrepartie. Les deux pages s’accordent exactement : donnez à celle-ci deux bases de 8 et une hauteur de 5, vous obtenez 40, ce que la page du parallélogramme affiche pour la même figure. Ce recouvrement est volontaire, et le tableau de chaque page a une ligne posée sur ce point.
Que se passe-t-il si une des bases vaut zéro ?
Alors le trapèze a été resserré jusqu’à un point, c’est un triangle, et le résultat est juste. Une base supérieure de 0 avec une base inférieure de 10 et une hauteur de 4 donne 20 — les mêmes 20 que la page du triangle donne pour une base de 10 et une hauteur de 4, puisque c’est la même figure. Zéro est traité comme une vraie valeur et non comme une case vide ; laisser une case vide est autre chose et n’affiche aucun résultat.
Peut-on retrouver une base manquante à partir de l’aire ?
Pas à partir de l’aire seule. Une aire ne détermine pas un trapèze — il existe une infinité de trapèzes de même aire et de côtés très différents —, il n’y a donc rien vers quoi remonter. Si vous connaissez l’aire, la hauteur et l’une des bases, alors l’autre base se déduit bien de la formule par réarrangement, mais c’est un calcul à faire à la main plutôt qu’une chose que cette page propose.
Est-ce que cela marche pour une figure à deux paires de côtés parallèles ?
Cela donne le bon nombre, oui, parce qu’une figure à deux paires de côtés parallèles est un parallélogramme — et l’on a montré que cette formule se réduit à base fois hauteur quand les deux bases sont égales, ce qui est exactement le cas du parallélogramme. Mais une telle figure a sa propre page, et l’utiliser est généralement plus clair que de traiter un rectangle comme un trapèze.

Références

Calculatrices liées

Calculatrice de trapèzeAire, périmètre et hauteur d’un trapèze quelconque.Calculatrice d’aire de parallélogrammeAire et périmètre d’un parallélogramme quelconque.Calculatrice d’aire de triangleAire d’un triangle par la base et la hauteur.Calculatrice de rectangleAire, périmètre et diagonale d’un rectangle.