Calculatrice de trapèze

A = ((a + b) ÷ 2) × h P = a + b + c + d x = (c² − d² + Δ²) ÷ (2Δ) h = √(c² − x²)

a, b

Les deux côtés parallèles, en centimètres — les bases. L’une ou l’autre peut être la plus longue ; la page travaille à partir de leur différence et ne se soucie pas de savoir laquelle vous appelez la base supérieure. Leur moyenne, (a + b) ÷ 2, multipliée par la hauteur, donne l’aire, et c’est la formule autour de laquelle toute la page est bâtie

c, d

Les deux côtés non parallèles, en centimètres. Leurs longueurs décident si la figure existe du tout, car c’est à eux deux de couvrir la différence entre les bases. Ils n’ont pas besoin d’être égaux — un trapèze de côtés 5 et 4 est parfaitement ordinaire — et lorsqu’ils le sont, la figure est dite isocèle et la hauteur se réduit à la racine carrée du carré d’un côté moins le carré de la moitié de la différence des bases

Δ

La différence entre les deux bases, |b − a|, en centimètres. C’est la base du triangle que les deux côtés et les deux bases enferment, et c’est la grandeur qui décide dans lequel des trois cas vous vous trouvez : plus petite que ce que les côtés peuvent couvrir, exactement à la limite, ou plus grande que ce qu’ils peuvent atteindre. Quand elle vaut 0 — bases égales — la figure est un parallélogramme et les quatre côtés cessent de déterminer la hauteur, ce qui explique que la page signale une erreur au lieu de répondre

x

L’endroit où la hauteur tombe le long de la différence des bases, en centimètres : la distance d’une extrémité de cette différence au pied de la perpendiculaire. Elle vient de la loi des cosinus appliquée au triangle de côtés c, d et Δ, et la page ne s’en sert que pour arriver à la hauteur. Elle peut sortir de l’intervalle allant de 0 à Δ, ce qui arrive lorsqu’un côté s’incline vers l’extérieur au-delà de l’extrémité de la plus petite base — la figure reste alors un trapèze et l’arithmétique fonctionne toujours

h

La hauteur, en centimètres : la distance perpendiculaire entre les deux bases parallèles, et le nombre dont la formule de l’aire a besoin. Elle vaut la racine carrée de c² − x², et elle est imprimée à quatre décimales. Comme c’est la racine carrée d’une différence, le cas où les côtés ne peuvent pas couvrir la différence des bases est celui où le nombre sous la racine deviendrait négatif — c’est pourquoi la page vérifie d’abord l’inégalité triangulaire au lieu de laisser la racine produire une valeur dépourvue de sens

A, P

L’aire en centimètres carrés et le périmètre en centimètres. L’aire est la moyenne des bases multipliée par la hauteur, ce qui revient à la demi-somme des bases multipliée par la hauteur — un trapèze et un rectangle de même hauteur couvrent la même surface lorsque la largeur du rectangle vaut la moyenne des deux bases. Le périmètre est la somme des quatre côtés, et il ne fait jamais intervenir la hauteur

Employez cette page quand ce que vous avez, ce sont les quatre bords. C’est le cas habituel pour un terrain : une parcelle avec deux côtés parallèles et deux qui ne le sont pas, mesurée en suivant le pourtour au mètre ruban, où les bases et les deux autres côtés sont faciles à mesurer alors que la hauteur perpendiculaire ne l’est pas — il faudrait la parcourir en travers de la parcelle, ce qui, sur une pente ou à travers une culture, est exactement ce qu’on ne peut pas faire. C’est aussi le cas d’un panneau découpé d’après un plan qui donne quatre bords et pas de hauteur, et celui de la vérification d’une figure que quelqu’un d’autre a spécifiée : saisissez les quatre côtés et voyez s’ils décrivent un trapèze. La septième ligne du tableau est celle à regarder pour ce contrôle — des côtés de 4 et 2 avec des bases de 10 et 4 donnent une hauteur de 0, parce que la différence de 6 est exactement ce que les deux côtés totalisent et que la figure s’est repliée à plat. Raccourcissez l’un des deux côtés et la page signale une erreur à la place. Employez la calculatrice d’aire du trapèze quand vous avez les deux bases et la hauteur et pas les côtés, puisqu’elle prend directement ce couple et saute l’étape intermédiaire. Employez la calculatrice d’aire du parallélogramme quand les deux bases sont égales, parce que la figure est alors un parallélogramme et que les quatre côtés de cette page cessent de la déterminer. Et employez la calculatrice d’aire du triangle quand la plus petite base vaut 0 — un triangle est un trapèze dont une base est nulle, et la quatrième ligne du tableau ci-dessous est le triangle rectangle 6-8-10 retrouvé ainsi, avec une aire de 24.

1. Des bases de 4 et 10 avec des côtés de 5 et 5

   1. Différence entre les bases : 10 − 4 = 6
   2. Les deux côtés sont égaux, donc chacun en réclame la moitié : 6 ÷ 2 = 3
   3. Hauteur : √(5² − 3²) = √(25 − 9) = √16 = 4
   4. Moyenne des bases : (4 + 10) ÷ 2 = 7
   5. Aire : 7 × 4 = 28
   6. Périmètre : 4 + 10 + 5 + 5 = 24

   La ligne avec laquelle la page se charge, et celle à vérifier à la main, parce que les nombres sont le triangle 3-4-5 déguisé : un côté de 5 et la moitié de la différence des bases, soit 3, donnent une hauteur de exactement 4. La hauteur est aussi la seule grandeur qu’on ne peut pas lire sur les quatre côtés, et c’est tout l’objet de la page. Comparez l’aire avec celle du rectangle de même hauteur et de largeur 7 — la moyenne des bases — et vous retrouvez les mêmes 28 centimètres carrés, ce qui est la façon la plus nette de voir pourquoi la formule prend la demi-somme des bases plutôt que quelque chose de plus astucieux.

2. Des bases de 7 et 10 avec des côtés de 5 et 4

   1. Différence entre les bases : 10 − 7 = 3
   2. Les deux côtés sont inégaux, donc la différence se partage inégalement : (25 − 16 + 9) ÷ (2 × 3) = 18 ÷ 6 = 3
   3. Hauteur : √(25 − 9) = √16 = 4
   4. Moyenne des bases : (7 + 10) ÷ 2 = 8,5
   5. Aire : 8,5 × 4 = 34
   6. Périmètre : 7 + 10 + 5 + 4 = 26

   Un trapèze quelconque, où les deux côtés non parallèles ont des longueurs différentes et où la hauteur tombe ailleurs qu’au milieu de la différence des bases. La réponse ici est que le côté de 4 centimètres se tient verticalement entre les extrémités droites des deux bases — la distance x tombe sur la totalité de la différence, soit 3, donc l’autre côté n’en prend aucune part — ce qui est le comportement d’un couple de côtés inégaux ; la hauteur se retrouve alors égale à la longueur de ce côté-là. La hauteur vaut tout de même exactement 4, donc cette ligne et la première ont la même hauteur et des aires différentes, 28 et 34 centimètres carrés, uniquement parce que leurs bases diffèrent. C’est un rappel que les quatre côtés d’un trapèze travaillent tous : une même hauteur de 4 repose ici sur deux couples de bases différents, donc c’est bien l’ensemble des quatre, et non la hauteur seule, qui fixe l’aire.

3. Des bases de 0 et 10 avec des côtés de 6 et 8

   1. Différence entre les bases : 10 − 0 = 10
   2. Côtés inégaux : (36 − 64 + 100) ÷ (2 × 10) = 72 ÷ 20 = 3,6
   3. Hauteur : √(36 − 12,96) = √23,04 = 4,8
   4. Moyenne des bases : (0 + 10) ÷ 2 = 5
   5. Aire : 5 × 4,8 = 24
   6. Périmètre : 0 + 10 + 6 + 8 = 24

   Un triangle déguisé en trapèze : avec une base nulle, la figure se referme en triangle, et les nombres ici sont le triangle rectangle 6-8-10, dont l’aire de 24 centimètres carrés est la même réponse que celle que donne la calculatrice d’aire du triangle. L’arithmétique rappelle que la formule du trapèze contient celle du triangle : avec une base à zéro, la moyenne des bases devient la moitié de l’autre base, ce qui est exactement le facteur du triangle. Le périmètre d’une figure ayant un côté de longueur nulle n’est que la somme des trois autres, ce qui fait ici également 24, une coïncidence de ces nombres plutôt qu’une règle.

4. Des bases de 4 et 10 avec des côtés de 4 et 2

   1. Différence entre les bases : 10 − 4 = 6
   2. Les deux côtés totalisent 4 + 2 = 6, exactement la différence
   3. La hauteur : les côtés atteignent tout juste la différence, donc la hauteur vaut 0
   4. Moyenne des bases : (4 + 10) ÷ 2 = 7
   5. Aire : 7 × 0 = 0
   6. Périmètre : 4 + 10 + 4 + 2 = 20

   La limite de ce que la page accepte, et la raison pour laquelle elle vérifie les côtés avant d’extraire une racine carrée. Ici les deux côtés totalisent exactement la différence entre les bases, donc tous les deux s’allongent à plat le long de la base la plus longue, les deux bases se superposent et la figure n’enferme rien. La page répond 0 plutôt que de refuser, parce que ces quatre côtés décrivent bel et bien une figure — une figure plate. Raccourcissez l’un des deux côtés d’un centimètre et il n’existe plus aucun trapèze de ce genre, et c’est ce cas-là qui est signalé comme une erreur, au motif qu’un nombre négatif sous une racine carrée n’est pas une hauteur.

Cette page calcule l’aire, le périmètre et la hauteur d’un trapèze à partir de ses quatre côtés, et rien d’autre. Elle ne donne ni les angles, ni les diagonales, ni la longueur de la ligne moyenne, ni la position de la hauteur le long des bases, alors que les quatre côtés déterminent tout cela — la page ne le rapporte simplement pas, et la diagonale d’un trapèze demanderait en particulier une seconde application de la même arithmétique triangulaire que la page exécute déjà en interne. Elle ne fonctionne pas à l’envers : il n’existe aucune route allant d’une aire vers les côtés qui la produisent, et un trapèze d’aire donnée admet une infinité de descriptions par quatre côtés. Les sorties sont en centimètres et en centimètres carrés quelles que soient les unités saisies, puisque les listes convertissent chaque côté en centimètres avant l’arithmétique. La page suppose que la figure est un trapèze ayant exactement une paire de côtés parallèles et que les deux côtés que vous saisissez comme bases sont cette paire — échangez une base et un côté non parallèle et la page calculera la hauteur d’une autre figure sans signaler d’erreur, parce que quatre nombres formant un triangle valide avec la différence des bases produisent toujours une réponse. Les deux bases sont traitées comme des longueurs qui ne peuvent pas être négatives. Des bases égales sont signalées comme une erreur plutôt que traitées, ce qui est délibéré mais mérite d’être su : la figure est dans ce cas un parallélogramme et sa hauteur n’est réellement pas déterminée par ses quatre côtés, donc une page qui renverrait un nombre en inventerait un. La page ne dit pas dans lequel des trois cas dégénérés vous vous trouvez au-delà du message d’erreur : un trapèze replié de hauteur nulle reçoit une réponse, tandis que des côtés trop courts pour couvrir la différence des bases sont refusés, et l’écart entre les deux vaut un centimètre sur un seul côté. Quatre décimales sont une largeur d’affichage partagée avec les autres pages d’aire de ce sous-groupe, et non une prétention à la précision — un côté mesuré au centimètre près déplace la hauteur de plus que la quatrième décimale. Rien ici ne tient compte des chutes, du trait de scie ni d’un terrain irrégulier, donc l’aire renvoyée est celle de la figure telle que décrite et non la quantité de matériau à commander.

Comment trouver l’aire d’un trapèze à partir de ses quatre côtés ?

Trouvez d’abord la hauteur, puis faites la moyenne des bases et multipliez. Les deux bases diffèrent d’une certaine quantité Δ ; cette différence, jointe aux deux côtés non parallèles, forme un triangle, et la hauteur du trapèze est la hauteur de ce triangle. Pour des bases de 4 et 10 avec des côtés de 5 et 5 : la différence vaut 6, chaque côté en réclame 3, la hauteur vaut √(25 − 9) = 4, la moyenne des bases vaut 7, et l’aire vaut 28 centimètres carrés.

Pourquoi la page refuse-t-elle certains ensembles de quatre côtés ?

Parce que la plupart des ensembles de quatre côtés ne décrivent pas un trapèze. Les deux côtés non parallèles doivent pouvoir couvrir la différence entre les bases, exactement comme les deux côtés les plus courts d’un triangle doivent pouvoir couvrir le plus long. Des bases de 10 et 4 diffèrent de 6, donc des côtés de 4 et 2 atteignent tout juste — la hauteur vaut 0 — tandis que des côtés de 3 et 2 ne peuvent pas couvrir 6 du tout, et aucune figure de ce genre n’existe. La page le signale au lieu de renvoyer un nombre négatif sorti de la racine carrée.

Et si les deux bases ont la même longueur ?

Alors la figure est un parallélogramme, et ses quatre côtés ne la déterminent plus. Des côtés de 5, 5, 6 et 6 décrivent un rectangle de 6 sur 5 de hauteur 5, et aussi une figure inclinée presque à plat de hauteur quasi nulle — mêmes quatre côtés, aires différentes. Cette page signale une erreur plutôt que d’en choisir une à votre place. La calculatrice d’aire du parallélogramme prend une base et une hauteur et répond directement à cette question.

Qu’est-ce qu’un trapèze isocèle et en quoi simplifie-t-il les choses ?

C’est un trapèze dont les deux côtés non parallèles sont égaux. La différence des bases se partage alors équitablement entre les deux, donc chaque côté et la moitié de la différence forment un triangle rectangle, et la hauteur vaut √(côté² − (Δ ÷ 2)²). Avec des bases de 4 et 10 et des côtés égaux, Δ vaut 6, sa moitié vaut 3, et un côté de 5 donne √(25 − 9) = 4. La première ligne du tableau est ce cas, et sa figure est symétrique — les deux angles à la base sont égaux, et les deux diagonales aussi.

Un triangle est-il un cas particulier de trapèze ?

Arithmétiquement oui, lorsque l’une des bases vaut 0. La moyenne des bases devient alors la moitié de la base restante, et la formule de l’aire se change en la moitié d’une base multipliée par la hauteur, qui est la formule du triangle. Saisissez une base supérieure de 0 avec des côtés de 6 et 8 et une base inférieure de 10, et la page renvoie 24 centimètres carrés, la même réponse que celle que donne la calculatrice d’aire du triangle pour un triangle 6-8-10. Savoir si un triangle compte comme un trapèze est une affaire de définition, mais la formule s’en moque.

Pourquoi la hauteur ne fait-elle pas partie des quatre côtés ?

Parce que dans un trapèze ce n’est pas un côté du tout — c’est la distance perpendiculaire entre les deux bases parallèles, et elle se trouve à l’intérieur de la figure plutôt que sur son pourtour. C’est la seule grandeur qu’on ne peut pas obtenir en faisant le tour du bord au mètre ruban, ce qui explique l’utilité d’une page comme celle-ci : elle déduit la hauteur des quatre côtés que vous pouvez mesurer. La hauteur n’est égale au plus court des deux côtés non parallèles que dans le cas dégénéré où ce côté se tient perpendiculairement aux deux bases.

• Trapezoid — the four-sided figure with one pair of parallel sides that this page describes, including the area formula based on the average of the bases and the relations between the sides and the height — Wolfram MathWorld (United States)
• Isosceles Trapezoid — the case where the two legs are equal, where the base difference splits evenly and the height is the square root of the leg squared minus half the difference squared — Wolfram MathWorld (United States)
• Triangle — the figure the two legs and the difference between the bases form, and the source of the triangle inequality that decides whether four given sides describe a trapezoid at all — Wolfram MathWorld (United States)
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022 年版）的通知——Le cinquième point de la liste annexée à cette notification est le programme de mathématiques de l'enseignement obligatoire (édition 2022) ; la reconnaissance du trapèze et le calcul de son aire relèvent du programme de mathématiques de l'enseignement obligatoire, et le texte des programmes ainsi que la répartition par cycle sont ceux de cette annexe — 中华人民共和国教育部