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Calculatrice de volume d’une pyramide

Intervalle : 0 cm² – 1 000 000 000 000 000 000 cm²

Intervalle : 0 cm – 1 000 000 000 cm

Résultat

48,00 cm³

Volume

Cette calculatrice de volume d’une pyramide prend l’aire de la base et la hauteur de la pyramide et renvoie le volume qu’elle renferme : aire de la base fois hauteur, divisé par trois. C’est la plus courte formule de ce site et celle dont la constante surprend le plus. Trois pyramides identiques tiennent exactement dans un prisme de même base et de même hauteur, quel que soit le polygone de la base — un carré, un triangle, un hexagone — et c’est de là que vient la division par trois : c’est aussi pourquoi le volume d’une pyramide vaut le tiers de ce que contiendrait une boîte de même emprise au sol et de même hauteur. Cette relation vaut la peine d’être retenue, parce qu’elle transforme une question difficile en une question facile : si vous savez calculer le volume du prisme, vous connaissez déjà celui de la pyramide. La page demande la base sous forme d’aire et non sous forme de longueurs d’arêtes, et c’est délibéré. La base d’une pyramide peut être n’importe quel polygone — un carré, un triangle, un abat-jour hexagonal, la base à cinq côtés d’une tente — et la formule n’utilise la base qu’à travers son aire, donc demander deux arêtes restreindrait la page aux bases rectangulaires sans raccourcir l’arithmétique d’un pouce. Cela signifie aussi que la page ne peut pas donner d’apothème, la distance du sommet au milieu d’une arête en suivant une face : cette distance dépend de la forme de la base et pas seulement de son aire, et une base longue et fine et une base compacte de même aire ont des apothèmes très différents. Calculer l’aire de la base est en général une étape à part, et les calculatrices d’aire du rectangle, du carré, du triangle et du cercle sont toutes sur ce site ; cette page reprend le résultat de cette étape et fait la partie à trois dimensions. Deux exemples fixent la sensation des nombres. Une pyramide dont la base fait 36 centimètres carrés et la hauteur quatre a un volume de 48 centimètres cubes, et un prisme de même base et de même hauteur en contient trois fois plus, 144. Et la plus grande pyramide jamais construite, la grande pyramide de Gizeh, a une base d’environ 52 900 mètres carrés — 230 mètres de côté — et une hauteur d’environ 146,6 mètres, ce qui donne à peu près 2,6 millions de mètres cubes de pierre. C’est l’échelle à laquelle la division par trois cesse d’être une curiosité pour devenir la différence entre un tas de roche et une montagne. Le tableau plus bas va d’une base d’un centimètre carré jusqu’à cette pyramide, et la dernière ligne est la plus petite réponse légitime de la page : une pyramide sans base ou sans hauteur n’a pas de volume, ce qui est un résultat et non une erreur.

Des pyramides, d’une base d’un centimètre carré à la grande pyramide de Gizeh

Aire de la base (cm²)Hauteur (cm)Volume de la pyramide (cm³)
36448
110.33
1009300
48348
10012400
25001210000
529000000146602585046666666.67
000

Sept pyramides et une vide. La première ligne est la taille avec laquelle la page se charge. La troisième ligne est celle avec laquelle tester l’arithmétique, parce que tous ses nombres sont exacts : une base de 100 centimètres carrés et une hauteur de 9 donnent un volume de 300, et une boîte de même base et de même hauteur en contient 900 — le prisme vaut toujours exactement trois fois la pyramide, sur chaque ligne de ce tableau. La deuxième ligne est celle où la division par trois se montre : une base de 1 et une hauteur de 1 donnent 0,33, soit un tiers, et c’est la raison pour laquelle cette page imprime deux décimales plutôt que quatre. Les cinquième et sixième lignes sont la même pyramide à deux échelles, et la dernière ligne est la grande pyramide de Gizeh, dont la base de 529 000 000 centimètres carrés fait 52 900 mètres carrés — 230 mètres de côté — et dont la hauteur de 14 660 centimètres fait 146,6 mètres. Cette ligne est en centimètres cubes parce que c’est l’unité de la page ; divisée par un million, elle donne 2,585 millions de mètres cubes de pierre. La ligne finale est entièrement à zéro, ce qui est une pyramide sans base ou sans hauteur et une réponse plutôt qu’une erreur. Chaque cellule est recalculée à partir de sa ligne au moment où la page est construite, en centimètres carrés et en centimètres cubes. Les nombres sont repris tels quels : dans le tableau, le séparateur décimal est le point (0.33 plutôt que 0,33), parce que les valeurs viennent du calcul et non d’un texte — et les milliers ne sont pas groupés (2500 plutôt que 2 500).

Formule

V = A × h ÷ 3

A
L’aire de la base, en centimètres carrés. C’est une aire et non un couple de longueurs d’arêtes parce que la base peut être n’importe quel polygone : la formule n’utilise la base qu’à travers la surface qu’elle couvre, donc une base carrée de 36 centimètres carrés et une base hexagonale de 36 centimètres carrés donnent le même volume à la même hauteur. Calculer cette aire est une étape séparée, et les calculatrices d’aire du rectangle, du triangle, du cercle et des polygones réguliers sont toutes sur ce site
h
La hauteur, en centimètres : la distance perpendiculaire de la base au sommet, et non la distance le long d’une arête oblique. C’est la seule mesure d’une pyramide qui ne se prenne pas au mètre ruban le long de la surface, et c’est celle qu’on rate — la longueur d’une arête d’angle est toujours plus grande que la hauteur, parce que c’est l’hypoténuse d’un triangle dont les autres côtés sont la hauteur et la moitié de la base
V
Le volume, en centimètres cubes. C’est le tiers de ce que contiendrait un prisme de même base et de même hauteur, ce qui est tout le contenu de la formule : trois copies de la pyramide remplissent exactement le prisme, quelle que soit la forme de la base. Il est imprimé à deux décimales plutôt qu’à quatre parce que la division par trois est la seule opération de cette famille qui transforme des nombres entiers en décimales répétitives — une base de 1 et une hauteur de 1 donnent 0,3333, et la lecture utile est de savoir que c’est un tiers
÷ 3
La constante qui fait d’une pyramide une pyramide. Elle vient du fait que trois pyramides congrues s’assemblent en un prisme de même base et de même hauteur, donc la pyramide vaut exactement le tiers du prisme — pas approximativement, et pas seulement pour les bases carrées. C’est la même division que sur la page du volume d’un cône, puisqu’un cône est une pyramide dont la base se trouve être un cercle

Servez-vous de cette page quand vous avez une pyramide, que vous voulez savoir ce qu’elle contient ou quelle matière elle représente, et que vous pouvez donner un nombre pour sa base sous forme d’aire. Cette dernière condition est celle qui décide si c’est la bonne page. Si la base est un carré ou un rectangle et que vous connaissez ses deux côtés, l’arithmétique est assez courte pour se faire de tête et les calculatrices d’aire de ce site vous donneront la base en une étape ; si la base est un hexagone ou un pentagone, ou un contour irrégulier mesuré autrement, c’est ici que cette aire se saisit. La formule est aussi le contrôle de bon sens le plus rapide sur n’importe quel objet en forme de pyramide : quelle que soit la base, la forme contient le tiers de ce que contiendrait une boîte de même emprise et de même hauteur. Cela vaut la peine d’être appliqué avant de croire un chiffre — une toiture pyramidale sur 100 mètres carrés d’emprise et 9 mètres de haut renferme 300 mètres cubes d’espace, là où la même toiture poussée en une boîte à sommet plat en renfermerait 900, et l’écart entre ces deux nombres est la raison pour laquelle les toitures pyramidales ont la tête qu’elles ont. Deux usages plus modestes méritent d’être signalés. Découper une pyramide dans une matière pleine est une question de volume perdu : une pyramide taillée dans un bloc laisse les deux tiers du bloc derrière elle, ce qui est la différence la plus nette entre tailler une forme dans la matière et la couler. Et remplir une pyramide — une trémie, un silo à grain, un tas de gravier en cône, un sablier — c’est cette page avec la base comme aire du plancher, où la réponse est la capacité et où la même réponse serait celle d’une page de cône pour une forme ronde. Si votre pyramide n’a pas les côtés droits, ou si le sommet ne se trouve pas au-dessus du milieu de la base, la page s’applique quand même : la formule n’utilise que la hauteur perpendiculaire et l’aire de la base, et une pyramide penchée de même base et de même hauteur contient exactement autant qu’une pyramide droite, ce qui est un fait vraiment surprenant et bien utile.

Exemples détaillés

  1. Une base de 36 centimètres carrés et une hauteur de 4

    1. Base fois hauteur : 36 × 4 = 144
    2. Divisez par trois : 144 ÷ 3 = 48

    L’entrée avec laquelle la page se charge, et la ligne qui montre la relation sur laquelle la formule est bâtie : un prisme de même base et de même hauteur contiendrait 144 centimètres cubes, et la pyramide en contient exactement le tiers. Les deux nombres valent la peine d’être retenus, parce que passer de l’un à l’autre est une seule multiplication ou division et que le chiffre du prisme est en général bien plus facile à contrôler contre la taille de l’objet.

  2. Une base de 1 et une hauteur de 1

    1. Base fois hauteur : 1 × 1 = 1
    2. Divisez par trois : 1 ÷ 3 = 0,33333…, soit 0,33

    La pyramide unité, et la raison pour laquelle cette page imprime deux décimales là où celle du pavé en imprime quatre. Un divisé par trois fait 0,3333 à quatre décimales, ce qui ressemble à une mesure tombée sur trois dixièmes de millième ; 0,33 se lit pour ce que c’est, le tiers de quelque chose. Tout l’argument de la largeur plus étroite est là : la division par trois est la seule opération de cette famille qui produise régulièrement une décimale répétitive, et davantage de chiffres n’y ajoutent aucune information.

  3. Une base de 100 et une hauteur de 9

    1. Base fois hauteur : 100 × 9 = 900
    2. Divisez par trois : 900 ÷ 3 = 300

    La ligne avec laquelle vérifier toute la page, parce que ses trois nombres sont exacts et que la version prisme y est évidente : une boîte de base 100 centimètres carrés et de hauteur 9 contient 900 centimètres cubes, et la pyramide en contient 300. Si une toiture en forme de pyramide couvrait 100 mètres carrés sur 9 mètres de haut, elle renfermerait 300 mètres cubes d’espace, le genre de chiffre qui décide de l’air qu’un bâtiment doit chauffer.

  4. La grande pyramide de Gizeh

    1. Aire de la base en centimètres carrés : 230 m × 230 m = 52 900 m², soit 529 000 000 cm²
    2. Hauteur en centimètres : 146,6 m = 14 660 cm
    3. Base fois hauteur : 529 000 000 × 14 660 = 7 755 139 999 999,999…, soit 7,75514 × 10¹²
    4. Divisez par trois : 7 755 140 000 000 ÷ 3 = 2 585 046 666 666,666…, soit 2 585 046 666 666,67

    La plus grande des pyramides égyptiennes, avec sa base d’origine d’environ 230 mètres de côté et sa hauteur d’origine d’environ 146,6 mètres. La réponse est en centimètres cubes parce que c’est l’unité de la page, et ce n’est pas un chiffre qu’on lit directement : divisez par un million et vous obtenez 2,585 millions de mètres cubes, soit environ 2,6 millions de mètres cubes de pierre. C’est la ligne où la division par trois mérite d’être remarquée — la boîte qui contiendrait la pyramide renferme 7,76 millions de mètres cubes, exactement trois fois la pyramide, donc même emprise et même hauteur donnent trois fois le volume.

Limites

La base doit être plate et les côtés doivent monter droit depuis ses arêtes jusqu’à un sommet unique : une pyramide à profil en escalier, comme les premières pyramides égyptiennes et les ziggourats, est un empilement de boîtes et de dalles plutôt qu’une pyramide, et cette formule s’y trompera largement. Un tronc de pyramide — une pyramide coupée en haut, ce que sont en réalité la plupart des toitures et des trémies — n’est pas non plus cette forme ; son volume demande l’aire du haut et celle du bas, et cette page n’a qu’un champ de base. La hauteur doit être la distance perpendiculaire du plan de la base au sommet, et non la distance le long d’une arête ou d’une face oblique ; mesurer l’arête oblique est la façon la plus courante d’obtenir un chiffre trop grand, et il est beaucoup trop grand sur une pyramide élancée plutôt qu’un peu. L’aire de la base est une entrée et non quelque chose que la page calcule, donc une base mesurée par deux arêtes doit d’abord être convertie en aire, et une base irrégulière doit être mesurée par la méthode qui lui convient. La page ne peut donner ni apothème, ni aire totale, ni longueur d’arête, parce qu’aucun de ces éléments ne se déduit de la seule aire de la base : une base longue et fine et une base compacte de même aire ont des apothèmes, des aires totales et des arêtes différents. La sortie est en centimètres cubes quels que soient les réglages des deux listes, donc une base saisie en mètres carrés revient en centimètres cubes et c’est à vous de convertir — un million de centimètres cubes par mètre cube, ou un millionième de mètre cube par centimètre cube. Les deux décimales sont une largeur d’affichage et non une prétention à la précision : c’est honnête pour une pyramide mesurée, mais très grossier pour une grande, où les deux derniers chiffres avant la virgule sont les seuls qui aient un sens. La page suppose que le sommet se trouve quelque part au-dessus de la base sans se soucier d’où : une pyramide droite et une pyramide penchée de même base et de même hauteur ont le même volume, ce qui est exact et vaut la peine d’être su plutôt qu’une limite. Elle n’a rien à dire non plus sur le poids, le coût de la matière ou les chutes produites en taillant la forme dans un bloc plein, autant de choses qui se déduisent du volume mais dont aucune n’est imprimée ici.

Questions fréquentes

Pourquoi le volume d’une pyramide est-il le tiers du prisme qui l’entoure ?
Parce que trois pyramides de même base et de même hauteur tiennent exactement dans le prisme, sans vide et sans recouvrement, quel que soit le polygone de la base. Ce n’est pas une approximation et ce n’est pas propre aux bases carrées — une pyramide à base triangulaire et une pyramide à base hexagonale valent toutes deux exactement le tiers du prisme qui les contiendrait. Le même tiers apparaît sur la page du volume d’un cône, puisqu’un cône est une pyramide dont la base est un cercle.
Saisit-on les côtés de la base ou son aire ?
Son aire. La formule n’utilise la base qu’à travers la surface qu’elle couvre, donc les deux arêtes d’une base rectangulaire seraient une façon inutilement étroite de poser la question. Saisir l’aire permet aussi à la page de traiter des bases qu’elle ne saurait pas décrire autrement : une base hexagonale, une base triangulaire, ou un contour irrégulier mesuré d’une autre manière. Si votre base est un rectangle ou un carré, les calculatrices d’aire du rectangle et du carré de ce site vous donneront l’aire en une étape.
Quelle hauteur faut-il mesurer ?
La hauteur perpendiculaire : la distance en ligne droite du plan de la base jusqu’au sommet, mesurée à angle droit de la base. Ni la longueur d’une arête oblique, ni la distance montant au milieu d’une face. L’arête oblique est toujours plus longue que la hauteur — c’est l’hypoténuse d’un triangle dont les autres côtés sont la hauteur et la moitié de la diagonale de la base — donc la mesurer donne une réponse trop grande, et sur une pyramide élancée beaucoup trop grande.
Combien de pierre contient la grande pyramide de Gizeh ?
Sa base d’origine faisait environ 230 mètres de côté, soit 52 900 mètres carrés, et sa hauteur d’origine environ 146,6 mètres. L’aire de la base fois la hauteur divisée par trois donne à peu près 2,6 millions de mètres cubes. La comparaison utile est avec la boîte qui la contiendrait, laquelle en renferme trois fois plus — 7,76 millions — et cet écart est tout l’intérêt de la division : même emprise et même hauteur, un tiers du volume.
La page peut-elle donner l’apothème ou l’aire totale ?
Non, et la raison tient à l’entrée. L’apothème est la distance du sommet au milieu d’une arête, et il dépend de la forme de la base et pas seulement de son aire : une base longue et fine de 100 centimètres carrés et une base compacte de même aire ont des apothèmes et des aires totales très différents. Pour calculer l’un ou l’autre, la page devrait connaître le contour de la base, ce qui est exactement ce qu’évite le fait de demander une aire plutôt que deux arêtes.
Une pyramide penchée contient-elle moins qu’une pyramide droite ?
Non, exactement autant, du moment que l’aire de la base et la hauteur perpendiculaire sont les mêmes. La formule n’utilise que ces deux nombres et ne demande jamais où se trouve le sommet au-dessus de la base, donc une pyramide dont le faîte penche d’un côté contient précisément autant qu’une autre dressée au-dessus du milieu. C’est un vrai résultat et non un effet d’arrondi, et c’est la même raison qui fait qu’une pile de pièces contient autant qu’elles soient alignées ou non.

Références

Calculatrices liées

Calculatrice de volume d’un côneVolume d’un cône, avec la génératrice et l’aire totale.Calculatrice de volume d’un pavéVolume et aire d’un pavé droit à partir des arêtes.Calculatrice de volume d’un cylindreVolume d’un cylindre, avec l’aire des bases et du côté.Calculatrice de volume d’une sphèreVolume d’une sphère à partir du rayon ou du diamètre.