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Calculatrice de la formule de Héron

Intervalle : 0 cm – 1 000 000 000 cm

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Résultat

6,0000 cm²

Aire

Périmètre
12,0000 cm
Demi-périmètre
6,0000 cm

Une calculatrice de la formule de Héron prend les trois longueurs des côtés d’un triangle et renvoie l’aire qu’il couvre, la distance qui l’entoure et le demi-périmètre, c’est-à-dire la moitié du périmètre, la quantité autour de laquelle la formule est écrite. La page existe à cause d’un manque dans lequel bute quiconque mesure un vrai triangle : la formule d’aire la plus directe, la moitié de la base multipliée par la hauteur, réclame une hauteur, et la hauteur est justement la seule chose qu’un mètre ruban ne donne pas. C’est une perpendiculaire abaissée d’un sommet sur le côté opposé ; on ne peut pas la suivre au ruban sans caler une équerre contre le triangle, et sur un triangle tracé sur du papier ou jalonné au sol il est presque toujours plus simple de mesurer les trois côtés et de s’arrêter là. La formule de Héron est la réponse à ce problème : avec les trois côtés et rien d’autre, l’aire tombe. On l’attribue à Héron d’Alexandrie, qui l’a consignée au premier siècle, et c’est l’un des résultats les plus anciens encore en usage courant — elle servait à arpenter des terrains, où les trois côtés sont exactement ce que donne une chaîne d’arpenteur. La formule s’écrit autour du demi-périmètre, la moitié de la somme des trois côtés, et la raison de ce détour mérite qu’on s’y arrête au lieu de la sauter : en appelant p ce demi-périmètre, l’aire est la racine carrée de p multiplié par p moins a, par p moins b, par p moins c. Les quatre facteurs doivent être positifs pour que le résultat soit un nombre réel, et ce n’est pas un hasard de l’algèbre — c’est l’inégalité triangulaire déguisée, parce que p moins le plus long côté est positif exactement lorsque les deux autres côtés réunis dépassent ce plus long côté. Trois longueurs qui ne peuvent pas se refermer donnent un nombre négatif sous la racine et aucun triangle, et la page vous arrête avant, avec un message, plutôt que de vous rendre un résultat indéfini. Le demi-périmètre est affiché dans le panneau au lieu d’être gardé en coulisse, parce que c’est le nombre auquel comparer les côtés : si le demi-périmètre n’est pas plus grand que le plus long côté, les trois longueurs que vous avez saisies ne forment pas un triangle.

Des triangles donnés par leurs trois côtés, des entiers jusqu’au cas dégénéré

Côté a (cm)Côté b (cm)Côté c (cm)Demi-périmètre (cm)Aire (cm²)Périmètre (cm)
3456612
55681216
666915.588518
7891226.832824
2344.52.90479
112204
51213153030
91017183636

Huit triangles, et la première ligne est celle que la page charge au départ. La cinquième colonne est celle qui se lit de haut en bas : elle n’est nulle qu’à la sixième ligne, où les côtés valent 1, 1 et 2 et où le triangle s’est aplati en un segment, et c’est exactement la limite que la page laisse passer. Un pas de plus vers l’extérieur — 1, 1 et 2,1 — et aucun triangle n’existe, ce à quoi sert le garde-fou. Trois lignes sont des recoupements avec les pages voisines, toutes retombant sur le même chiffre par des saisies différentes : 3, 4 et 5 donne 6, la même aire que la page de l’aire du triangle atteint avec une base de 3 et une hauteur de 4 ; 6, 5 et 5 donne 12 et un périmètre de 16, ce qui correspond à la page du triangle isocèle pour une base de 6 et des côtés de 5 ; et 6, 6 et 6 donne 15,5885, ce qui correspond à la fois à la page du triangle équilatéral pour un côté de 6 et à celle du triangle isocèle pour une base et un côté de 6. Trois pages, trois descriptions d’un même triangle, une seule aire chaque fois. Les deux dernières lignes ont l’air d’une erreur et n’en sont pas : 5-12-13 a une aire de 30 et un périmètre de 30, et 9-10-17 a 36 et 36. Le premier est un triplet pythagoricien et le second ne l’est pas, ce qui est l’indice que l’accord est une coïncidence propre à ces deux figures et non une règle — les deux nombres sont des centimètres carrés et des centimètres, et ils se sépareraient à l’instant où les côtés seraient mesurés dans une autre unité. Chaque case est recalculée à partir de ses trois côtés au moment où la page est construite, en centimètres, et les quatre décimales sont les mêmes que celles du panneau de résultats. Les nombres sont repris tels quels : dans le tableau, le séparateur décimal est le point (15.5885 plutôt que 15,5885), parce que les valeurs viennent du calcul et non d’un texte.

Formule

p = (a + b + c) ÷ 2 A = √(p(p − a)(p − b)(p − c)) P = a + b + c

Côté a
La première des trois longueurs de côté, en centimètres. Les trois cases sont interchangeables — échanger le côté que vous appelez a et celui que vous appelez b ne change rien au résultat —, vous pouvez donc les saisir dans l’ordre où vous les avez mesurés
Côté b
La deuxième longueur de côté, en centimètres. Avec les deux autres elle doit satisfaire l’inégalité triangulaire : chaque côté doit être plus court que les deux autres réunis, faute de quoi les trois longueurs ne peuvent pas se refermer en un triangle
Côté c
La troisième longueur de côté, en centimètres. Cela vaut la peine de saisir le plus long côté dans n’importe quelle case puis de lire le demi-périmètre : celui-ci doit lui être supérieur, et cette seule comparaison est une vérification plus rapide que de refaire les trois soustractions
Demi-périmètre
La moitié de la distance qui entoure le triangle, en centimètres : les trois côtés additionnés puis divisés par deux. Il est affiché comme un résultat et non gardé comme étape de calcul, parce que c’est la quantité autour de laquelle la formule est écrite et parce qu’il sert en même temps de contrôle que les trois côtés peuvent se rejoindre
Aire
La surface que couvre le triangle, en centimètres carrés, obtenue à partir de la racine carrée du demi-périmètre multiplié par les trois écarts entre lui et chaque côté. C’est la seule sortie qui exige les trois saisies : le périmètre se contente de les additionner et le demi-périmètre de diviser la somme par deux
Périmètre
La distance sur tout le tour, en centimètres : les trois côtés additionnés. Il figure ici parce que les deux grandeurs sont faciles à confondre quand l’une est une étape à l’intérieur de l’autre, et parce que c’est un périmètre qu’on achète quand on commande une bordure ou un profilé
√
La racine carrée, appliquée au produit des quatre facteurs. Presque tout triangle donne une aire irrationnelle, si bien qu’un triplet de côtés qui produit un nombre entier — 3, 4 et 5 donnant 6, par exemple — est l’exception à remarquer et non la règle

Sortez cette page chaque fois que vous avez mesuré les trois côtés et pas la hauteur, ce qui est le cas le plus fréquent en pratique. Le terrain est l’exemple classique : une parcelle aux limites droites s’arpente en chaînant les côtés, et l’aire en découle directement — découpez une parcelle irrégulière en triangles et faites passer chacun d’eux par ici. Les matériaux en feuille sont l’autre cas : un gousset triangulaire, une étagère d’angle ou une voile se commandent par leurs trois bords, et l’aire est ce qui vous dit quelle feuille il vous faut et quel poids elle ajoutera. En classe, c’est le moyen d’obtenir une aire quand la hauteur est difficile à placer ou tomberait hors de la figure, ce qui arrive sur tout triangle obtus : la perpendiculaire issue du sommet le plus large tombe au-delà du côté opposé, vous ne pouvez donc pas la mesurer le long de la matière. La page est aussi la voie honnête quand un triangle est donné par trois longueurs venues d’ailleurs — un export de CAO, une liste de découpe, un plan coté sur ses bords —, puisqu’il n’y a rien à convertir et rien à remesurer. Deux points de vigilance. D’abord, les trois côtés doivent pouvoir se refermer : si le plus long dépasse les deux autres réunis, aucun triangle n’existe et la page le dit au lieu de rendre un nombre, car le calcul voudrait la racine carrée d’un négatif. Ensuite, des mesures réelles ne satisfont jamais l’inégalité exactement. Une parcelle dont les côtés sont annoncés 10, 4 et 6 mètres ne peut pas être un triangle, mais la même parcelle mesurée au centimètre près donnera quelque chose comme 10,01, 3,99 et 6,00, et l’aire sera minuscule — c’est le calcul qui vous dit que les trois points sont presque alignés, et non que la formule a échoué.

Exemples détaillés

  1. Côtés de 3, 4 et 5

    1. Périmètre : 3 + 4 + 5 = 12
    2. Demi-périmètre : 12 ÷ 2 = 6
    3. Les trois écarts : 6 − 3 = 3, 6 − 4 = 2, 6 − 5 = 1
    4. Aire : √(6 × 3 × 2 × 1) = √36 = 6

    Le triangle 3-4-5, celui avec lequel on trace un angle droit sur un chantier, et le cas le plus net où le résultat est un nombre entier. C’est aussi le recoupement entre cette page et la page de l’aire du triangle : une base de 3 avec une hauteur de 4 y donne 6, et les trois côtés donnent 6 ici. Même triangle, deux jeux de saisies, une seule aire. Le fait que la racine carrée tombe juste est une propriété de ce triplet et non de la formule — presque tous les autres triplets laissent un irrationnel derrière eux.

  2. Côtés de 6, 5 et 5

    1. Périmètre : 6 + 5 + 5 = 16
    2. Demi-périmètre : 16 ÷ 2 = 8
    3. Les trois écarts : 8 − 6 = 2, 8 − 5 = 3, 8 − 5 = 3
    4. Aire : √(8 × 2 × 3 × 3) = √144 = 12

    Un triangle isocèle de base 6 et de deux côtés de 5, exactement ce que la page du triangle isocèle voisine charge au départ, et il rend le même 12 et le même périmètre de 16. C’est le deuxième des recoupements de cette famille : la page du triangle isocèle arrive à son aire par une base et un côté, celle-ci y arrive par les trois côtés, et les deux tombent d’accord jusqu’au dernier chiffre. Remarquez que le demi-périmètre de 8 dépasse confortablement le plus long côté, 6 : c’est la vérification que ces trois longueurs se referment bien.

  3. Côtés de 6, 6 et 6

    1. Périmètre : 6 + 6 + 6 = 18
    2. Demi-périmètre : 18 ÷ 2 = 9
    3. Les trois écarts : 9 − 6 = 3, trois fois de suite
    4. Aire : √(9 × 3 × 3 × 3) = √243 = 15,588457…, ce qui s’arrondit à 15,5885

    Le cas équilatéral, et la troisième voie vers le nombre 15,5885 : la page du triangle équilatéral l’obtient à partir d’un seul côté de 6, celle du triangle isocèle à partir d’une base de 6 et de deux côtés de 6, et celle-ci à partir de trois côtés de 6. Trois pages, trois façons de décrire le même triangle, une seule aire. La racine de 243 vaut 9√3, et c’est de là que la racine carrée de trois, que la page du triangle équilatéral porte dans sa constante, refait surface ici.

  4. Côtés de 5, 12 et 13

    1. Périmètre : 5 + 12 + 13 = 30
    2. Demi-périmètre : 30 ÷ 2 = 15
    3. Les trois écarts : 15 − 5 = 10, 15 − 12 = 3, 15 − 13 = 2
    4. Aire : √(15 × 10 × 3 × 2) = √900 = 30

    La ligne qui saute aux yeux : l’aire vaut 30 et le périmètre aussi. Ce ne sont pas les mêmes grandeurs et elles ne sont même pas dans la même unité — l’une est en centimètres carrés, l’autre en centimètres —, il se trouve simplement que ce triangle-là donne deux fois le même nombre. 5-12-13 est un triplet pythagoricien, donc le triangle est rectangle, et les triangles rectangles sont ceux qui ont le plus de chances de tomber sur des nombres entiers puisque les carrés de leurs côtés sont entiers eux aussi.

  5. Côtés de 9, 10 et 17

    1. Périmètre : 9 + 10 + 17 = 36
    2. Demi-périmètre : 36 ÷ 2 = 18
    3. Les trois écarts : 18 − 9 = 9, 18 − 10 = 8, 18 − 17 = 1
    4. Aire : √(18 × 9 × 8 × 1) = √1 296 = 36

    La deuxième ligne où l’aire et le périmètre affichent le même nombre, et celle-ci n’est pas un triangle rectangle : 9 au carré plus 10 au carré font 181, alors que 17 au carré fait 289. L’accord entre 36 et 36 ne vient donc pas d’un angle droit, et c’est précisément ce qui le rend intéressant à signaler. Deux lignes d’un même tableau qui font la même chose, c’est exactement ce qui donne à la première l’air d’une règle ; celle-ci est la preuve que ce n’en est pas une.

  6. Côtés de 1, 1 et 2

    1. Périmètre : 1 + 1 + 2 = 4
    2. Demi-périmètre : 4 ÷ 2 = 2
    3. Les trois écarts : 2 − 1 = 1, 2 − 1 = 1, 2 − 2 = 0
    4. Aire : √(2 × 1 × 1 × 0) = √0 = 0

    Le cas limite exact, et il passe au lieu d’être refusé : 1 plus 1 font exactement 2, le triangle s’est donc aplati en un segment, les deux petits côtés bout à bout. L’aire est réellement nulle et le périmètre réellement égal à 4, un résultat de zéro est donc ici correct et non le signe d’un échec. Poussez le troisième côté à 2,1 et la page refuse, parce que les deux petits côtés ne peuvent alors plus se rejoindre et qu’aucun triangle n’existe.

Limites

Les trois nombres doivent pouvoir former un triangle : chaque côté plus court que les deux autres réunis. S’ils n’y arrivent pas, la page s’arrête et le dit au lieu de rendre un nombre, parce que la formule voudrait la racine carrée d’un négatif. Le cas limite exact, où le plus long côté égale les deux autres réunis, passe et donne une aire de zéro, ce qui est la réponse honnête pour un triangle aplati en un segment. Les sorties sont en centimètres et en centimètres carrés quelle que soit l’unité choisie dans la liste déroulante : des côtés saisis en pouces reviennent donc en centimètres. Les quatre décimales sont une largeur d’affichage et non une prétention à la précision, et avec trois côtés mesurés l’erreur de chacun se propage dans l’aire — un triangle mesuré au millimètre près peut très bien avoir une aire incertaine dès la troisième décimale, le dernier chiffre affiché ne doit donc pas être lu comme significatif. La formule de Héron est en outre une mauvaise compagne pour les triangles très plats : quand un côté est presque aussi long que les deux autres réunis, l’un des quatre facteurs devient minuscule et la racine carrée amplifie tout l’arrondi déjà présent dans les mesures ; l’aire d’un triangle en lame de couteau est donc à traiter comme approximative, quel que soit le nombre de chiffres affichés. La page est bidimensionnelle et n’a aucun champ pour l’épaisseur d’un triangle matériel : elle ne peut donc pas donner le volume d’un prisme ni le poids d’une plaque.

Questions fréquentes

Pourquoi utiliser cette page plutôt que la moitié de la base multipliée par la hauteur ?
Parce qu’une hauteur est difficile à mesurer et que les trois côtés sont faciles. La hauteur est une perpendiculaire abaissée d’un sommet sur le côté opposé : la mesurer oblige à caler une équerre contre le triangle, et sur un triangle obtus elle tombe entièrement en dehors de la figure. Un ruban le long de chaque côté ne demande aucun de ces soins, et la formule de Héron transforme ces trois relevés en aire sans qu’aucune hauteur n’intervienne. Si vous avez déjà une base et une hauteur, passez plutôt par la page de l’aire du triangle : le calcul y est plus court.
Qu’est-ce que le demi-périmètre et pourquoi est-il affiché ?
C’est la moitié du périmètre, les trois côtés additionnés puis divisés par deux, et c’est la quantité autour de laquelle la formule de Héron est écrite : l’aire est la racine carrée de p multiplié par p moins a, par p moins b, par p moins c. Il est affiché plutôt que gardé comme étape de calcul parce qu’il sert aussi de contrôle. Si le demi-périmètre n’est pas plus grand que le plus long côté, les trois longueurs ne peuvent pas former un triangle, et cette seule comparaison vous épargne les trois soustractions.
Que se passe-t-il si les trois côtés ne peuvent pas former un triangle ?
La page s’arrête et vous le dit, au lieu de rendre un nombre. Trois longueurs ne se referment que si chacune est plus courte que les deux autres réunies ; quand ce n’est pas le cas, l’un des quatre facteurs sous la racine carrée devient négatif et il n’existe aucune aire réelle. Le message nomme le plus long côté et ce que les deux autres totalisent, vous voyez donc de combien vos mesures s’écartent. Le seul cas qui passe est la limite exacte, où le plus long côté égale les deux autres réunis : ce triangle s’est réellement aplati en un segment et son aire nulle est une vraie réponse.
D’où vient le nom de cette formule ?
De Héron d’Alexandrie, qui l’a consignée au premier siècle, ce qui en fait l’un des résultats les plus anciens encore utilisés au quotidien. Elle a été écrite pour l’arpentage, où les trois côtés d’une parcelle sont exactement ce que donne une chaîne d’arpenteur et où la hauteur ne se mesure pas. On la trouve parfois appelée formule de Héron d’Alexandrie du nom complet de son auteur, que les sources orthographient de plusieurs façons.
L’aire et le périmètre donnent le même nombre sur certains triangles. Est-ce une règle ?
Non, et le tableau de référence montre pourquoi. Le triangle 5-12-13 a une aire de 30 et un périmètre de 30, et le triangle 9-10-17 aussi, avec 36 et 36 — mais ce sont des grandeurs différentes dans des unités différentes, des centimètres carrés contre des centimètres, et l’égalité dépend entièrement de l’unité dans laquelle les longueurs ont été prises. Mesurez le même triangle en mètres et le périmètre est divisé par cent tandis que l’aire est divisée par dix mille : les deux nombres se séparent. Cela vaut la peine d’être su avant de lire la coïncidence comme une propriété des triangles.
Quelle est la précision de l’aire si j’ai mesuré les côtés au ruban ?
Moindre que ne le suggèrent les quatre décimales, et l’erreur grandit sur les triangles plats. Chaque côté mesuré porte sa propre incertitude dans les quatre facteurs, et quand un côté est presque aussi long que les deux autres réunis, un facteur devient très petit et la racine carrée amplifie l’arrondi déjà présent dans vos nombres. Arrondissez la réponse en accord avec la mesure : si les côtés sont bons au millimètre près, l’aire est bonne à environ trois chiffres significatifs, quoi que le panneau affiche ensuite.

Références

Calculatrices liées

Calculatrice d’aire de triangleAire d’un triangle par la base et la hauteur.Calculatrice de triangle équilatéralAire, hauteur et périmètre d’un triangle équilatéral.Calculatrice de triangle isocèleAire, hauteur et angles d’un triangle isocèle.Calculatrice de périmètrePérimètre des figures usuelles à partir de leurs côtés.