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CalcMax

Calculatrice de triangle équilatéral

Intervalle : 0 cm – 1 000 000 000 cm

Résultat

15,5885 cm²

Aire

Périmètre
18,0000 cm
Hauteur
5,1962 cm

Une calculatrice de triangle équilatéral prend la longueur d’un côté et renvoie trois mesures : l’aire que couvre le triangle, la distance qui en fait le tour, et la hauteur qui descend d’un sommet jusqu’au milieu du côté opposé. C’est la plus simple des pages consacrées au triangle, pour une raison qu’il vaut la peine d’énoncer clairement, parce que c’est toute la raison d’être de cet outil : le triangle équilatéral est le seul type de triangle qu’un seul nombre suffit à déterminer entièrement. Donnez trois côtés à un triangle quelconque et sa forme est fixée ; donnez-lui deux côtés et l’angle qu’ils forment, et elle est fixée aussi ; donnez-lui un seul côté et il existe une infinité de triangles ayant ce côté, depuis une échardes jusqu’à une figure presque aussi large que longue. Le triangle équilatéral échappe à cela parce que sa forme est fixée d’avance — trois côtés égaux, trois angles de 60 degrés — si bien que la longueur du côté est la seule chose qui reste à choisir, et qu’elle met toute la figure à l’échelle. C’est pourquoi la page ne comporte qu’un seul champ, et pourquoi doubler le côté double le périmètre tandis que l’aire est multipliée par quatre. Le calcul découle d’un seul fait : abaisser la hauteur partage le triangle en deux triangles rectangles, chacun ayant le côté pour hypoténuse et la moitié du côté pour base, et le théorème de Pythagore donne la hauteur comme racine de trois sur deux multiplié par le côté. L’aire est alors la moitié de la base multipliée par la hauteur, ce qui revient à racine de trois sur quatre multiplié par le côté au carré. Ces deux constantes, √3 ÷ 2 et √3 ÷ 4, méritent d’être reconnues au premier coup d’œil, parce qu’elles sont les deux nombres dont cette figure est faite et que la formule ci-dessous n’est rien d’autre que ces deux nombres appliqués au côté. La hauteur est affichée comme une mesure à part entière et pas seulement comme une étape vers l’aire, car c’est le nombre dont un dessin a besoin et celui qu’un lecteur voudra le plus probablement ensuite.

Triangles équilatéraux d’un côté nul à un côté de dix

Côté (cm)Aire (cm²)Périmètre (cm)Hauteur (cm)
615.5885185.1962
10.43330.866
21.732161.7321
33.897192.5981
510.8253154.3301
7.524.35722.56.4952
1043.3013308.6603
0000

Huit triangles, et la première ligne est celle avec laquelle la page se charge. Lisez les troisième et quatrième colonnes de haut en bas et remarquez ce qui ne change pas : la hauteur vaut toujours 0,866 du côté et le périmètre toujours son triple, si bien que ces deux colonnes sont le côté multiplié par un nombre fixe. La deuxième colonne est l’exception, et les deuxième et troisième lignes le montrent le mieux — passer d’un côté de 1 à un côté de 2 double le périmètre et la hauteur mais multiplie l’aire par quatre, parce que l’aire suit le carré de la longueur tandis que les deux autres suivent la longueur elle-même. La troisième ligne est celle où la page a l’air de contenir une coquille : un triangle de côté 2 a une aire de 1,7321 et une hauteur de 1,7321. Les deux valent la racine carrée de trois pour ce côté, puisque diviser le côté par deux annule la division par deux de la hauteur et que l’élever au carré annule la division par quatre de l’aire, et ce sont malgré tout deux quantités différentes — l’une en centimètres carrés, l’autre en centimètres. C’est la seule ligne du tableau où les deux colonnes s’accordent, et c’est une coïncidence propre à cette longueur de côté et non une colonne calculée deux fois. La première ligne est aussi celle où les autres pages consacrées au triangle rejoignent celle-ci : un côté de 6 donne 15,5885, la valeur que la page de la formule de Héron atteint à partir de 6, 6, 6 et celle du triangle isocèle à partir d’une base de 6 et de côtés de 6. Chaque nombre est recalculé à partir de son côté au moment où la page est construite, en centimètres, et les quatre décimales sont les mêmes que celles du panneau de résultats. Les nombres sont repris tels quels : dans le tableau, le séparateur décimal est le point (15.5885 plutôt que 15,5885), parce que les valeurs viennent du calcul et non d’un texte.

Formule

A = (√3 ÷ 4) × s² P = 3s h = (√3 ÷ 2) × s

Côté
La longueur de l’un des trois côtés, en centimètres. C’est la seule entrée de la page, parce qu’un triangle équilatéral a ses trois côtés égaux et ses trois angles fixés à 60 degrés, ce qui ne laisse que la taille à décider
Aire
La surface que couvre le triangle, en centimètres carrés, soit racine de trois divisé par quatre, multiplié par le côté au carré. La constante vaut environ 0,433, un nombre utile à retenir : un triangle équilatéral couvre un peu plus de quatre dixièmes du carré construit sur son côté
Périmètre
La distance sur tout le tour, en centimètres : trois fois le côté, puisque les trois sont égaux. C’est la seule des trois sorties qui soit toujours exacte quand le côté l’est, ce qui en fait la valeur à laquelle confronter les deux autres
Hauteur
La distance d’un sommet jusqu’au milieu du côté opposé, en centimètres, soit racine de trois sur deux multiplié par le côté. Elle est aussi appelée la hauteur issue d’un sommet, et c’est la même droite quel que soit le sommet de départ, parce que la figure est symétrique
√3
La racine carrée de trois, environ 1,7320508. Elle apparaît dans l’aire comme dans la hauteur, et ce n’est pas un artefact d’arrondi : partager le triangle en deux laisse un triangle rectangle dont les côtés ne peuvent pas être tous entiers à la fois, si bien que le nombre impair doit ressortir quelque part
Quatre décimales
La largeur avec laquelle chaque sortie est écrite. L’aire et la hauteur portent presque toujours la racine carrée de trois et ne tombent donc presque jamais juste ; le périmètre est exact, et l’afficher sur quatre décimales est une largeur fixe et non une prétention de précision

Cette page sert à tout ce qui est fait de triangles équilatéraux, et ces objets sont plus nombreux que le nom ne le suggère. Les fermes de charpente, les cadres de bicyclette, les treillis de pont et les équerres d’étagère y font appel, parce que le triangle est le seul polygone qu’on ne peut pas déformer sans changer la longueur d’un côté — poussez un cadre carré sur le côté et il s’aplatit, et c’est précisément pour cela qu’un portail porte une barre diagonale. Si vous découpez des triangles dans une plaque, c’est l’aire qui vous dit combien y tiennent, et c’est la hauteur qui vous dit de quelle hauteur fera une rangée : disposés pointe en haut par rangées, deux rangées se recouvrent d’exactement une hauteur, si bien que la hauteur est l’espacement entre les rangées et non l’aire. Si vous pliez une bande pour en faire une forme, le périmètre est la longueur de bande qu’il vous faut avant de compter le raccord. Et si vous vérifiez un dessin, la hauteur y occupe une place fixe — elle coupe la figure en deux triangles rectangles identiques et rencontre le côté opposé exactement en son milieu — si bien qu’une hauteur calculée qui ne laisse pas deux moitiés égales signifie que le triangle du dessin n’est pas équilatéral, quoi qu’en dise l’étiquette. Un avertissement de calcul a sa place ici plutôt que dans les petites lignes : la hauteur affichée sur cette page est déjà arrondie à quatre décimales, si bien que la remultiplier à la main donne une aire qui diffère d’un chiffre sur la dernière décimale. Les deux valeurs du panneau sont chacune correctes ; ce qui se perd, c’est le chiffre, dans l’aller-retour par la hauteur affichée.

Exemples détaillés

  1. Un côté de 6

    1. Périmètre : 3 × 6 = 18
    2. Hauteur : (√3 ÷ 2) × 6 = 5,196152…, qui s’arrondit à 5,1962
    3. Aire : (√3 ÷ 4) × 36 = 15,588457…, qui s’arrondit à 15,5885

    L’entrée avec laquelle la page se charge, et la ligne à retenir, parce que c’est celle où les autres pages consacrées au triangle rejoignent celle-ci : un triangle dont les trois côtés valent 6 a une aire de 15,5885 ici, et la même valeur de 15,5885 sort de la page du triangle isocèle avec une base de 6 et des côtés de 6, ainsi que de la page de la formule de Héron avec 6, 6, 6. Trois chemins vers la même figure, et les trois s’accordent jusqu’à la dernière décimale. Le piège arithmétique est visible ici aussi : 6 × 5,1962 ÷ 2 vaut 15,5886, un chiffre au-dessus de l’aire ci-dessus, et ce chiffre se perd dans l’arrondi de la hauteur et non dans l’une ou l’autre formule.

  2. Un côté de 1

    1. Périmètre : 3 × 1 = 3
    2. Hauteur : (√3 ÷ 2) × 1 = 0,8660254…, qui s’arrondit à 0,866
    3. Aire : (√3 ÷ 4) × 1 = 0,4330127…, qui s’arrondit à 0,433

    Le triangle unité, et la ligne où les deux constantes se retiennent le plus facilement : un triangle équilatéral de côté 1 a une hauteur de 0,8660 et une aire de 0,4330. Face au carré construit sur le même côté, dont l’aire vaut 1, le triangle couvre un peu moins de la moitié du terrain pour la même arête, ce qui est la façon la plus claire de voir d’où vient racine de trois sur quatre. Deux des trois valeurs s’affichent sans leurs zéros de queue, la quatrième décimale étant nulle dans les deux cas.

  3. Un côté de 2

    1. Périmètre : 3 × 2 = 6
    2. Hauteur : (√3 ÷ 2) × 2 = 1,7320508…, qui s’arrondit à 1,7321
    3. Aire : (√3 ÷ 4) × 4 = 1,7320508…, qui s’arrondit à 1,7321

    La ligne qui ressemble à une faute de frappe et n’en est pas une : l’aire et la hauteur affichent toutes deux 1,7321. Les deux valent la racine carrée de trois pour ce côté — diviser le côté par deux annule la division par deux de la hauteur, et l’élever au carré annule la division par quatre de l’aire — mais l’une est 1,7321 centimètres carrés et l’autre 1,7321 centimètres. Ce sont deux quantités différentes qui partagent une même valeur numérique à cette seule longueur de côté, et cela ne se reproduit à aucune autre ligne du tableau.

  4. Un côté de 10

    1. Périmètre : 3 × 10 = 30
    2. Hauteur : (√3 ÷ 2) × 10 = 8,660254…, qui s’arrondit à 8,6603
    3. Aire : (√3 ÷ 4) × 100 = 43,301270…, qui s’arrondit à 43,3013

    Un triangle de dix centimètres, à peu près la taille d’une équerre de charpente. La hauteur de 8,6603 représente 86,6 pour cent du côté, et ce rapport ne change jamais : la hauteur d’un triangle équilatéral vaut toujours 0,866 de son côté, quelle que soit la taille. Si vous disposez ces triangles en rangées pointe en haut, c’est le nombre dont il faut espacer les rangées, chaque rangée recouvrant celle du dessous d’exactement une hauteur.

  5. Un côté de 0

    1. Périmètre : 3 × 0 = 0
    2. Hauteur : (√3 ÷ 2) × 0 = 0
    3. Aire : (√3 ÷ 4) × 0 = 0

    Zéro est une entrée légale et non un champ vide. Un triangle de côté nul s’est réduit à un seul point et ses trois mesures sont nulles, si bien qu’une ligne de zéros est une vraie réponse. Laisser le champ vide est un autre cas : quand il n’y a rien dedans, la page n’affiche aucun résultat, parce qu’il n’y a rien à partir de quoi travailler.

Limites

Cette page ne concerne que les triangles équilatéraux : trois côtés égaux et trois angles de 60 degrés. Un triangle simplement isocèle, ou rectangle, ou de toute autre forme ayant un côté de cette longueur, ne peut pas être décrit par ce seul nombre, et la page vous en donnera les valeurs du triangle équilatéral au lieu de vous dire que la figure à laquelle vous pensez en est une autre. Si vous connaissez deux côtés d’un triangle quelconque, la page de l’aire du triangle prend une base et une hauteur et celle de la formule de Héron prend les trois côtés. Les sorties sont en centimètres et en centimètres carrés quelle que soit la valeur du sélecteur d’unité, si bien qu’un côté saisi en pouces revient sous forme de réponse en centimètres. Les quatre décimales sont une largeur d’affichage et non une prétention de précision, et elles sont généreuses pour un côté mesuré. La hauteur et l’aire sont affichées indépendamment : l’aire provient de la hauteur non arrondie, si bien que remultiplier à la main la hauteur affichée tombe un chiffre à côté sur la quatrième décimale, ce qui est une différence d’arrondi et non une erreur dans l’une des deux valeurs. La page est bidimensionnelle d’un bout à l’autre et ne comporte aucun champ pour l’épaisseur d’un triangle matériel : elle ne peut donc pas vous donner le volume d’un prisme triangulaire ni le poids d’une plaque triangulaire.

Questions fréquentes

Pourquoi une seule mesure suffit-elle à décrire un triangle équilatéral ?
Parce que la forme est fixée avant même de commencer. Un triangle équilatéral a ses trois côtés de même longueur et ses trois angles à 60 degrés, si bien que la seule chose qui reste à choisir est sa taille, et que la longueur du côté s’en charge. Un triangle quelconque n’a pas consommé cette liberté : un seul côté laisse une infinité de formes, et il faut trois côtés, ou deux côtés et l’angle qu’ils forment, pour que le triangle soit déterminé.
Comment la hauteur est-elle calculée, et d’où vient la racine carrée de trois ?
Abaisser la hauteur depuis un sommet coupe le triangle en deux triangles rectangles identiques. Chacun a le côté pour hypoténuse et la moitié du côté pour base, si bien que le théorème de Pythagore donne la hauteur comme racine du côté au carré moins un quart du côté au carré, soit racine de trois sur deux multiplié par le côté. Ce nombre impair n’est pas un artefact d’arrondi : c’est ce qui reste quand on partage en deux une figure dont tous les côtés sont égaux.
Multiplier la hauteur affichée par la moitié de la base ne redonne pas exactement l’aire affichée. Pourquoi ?
Parce que la hauteur du panneau est déjà arrondie à quatre décimales, tandis que l’aire a été calculée à partir de la hauteur non arrondie puis arrondie de son côté. Pour un côté de 6, la hauteur s’affiche 5,1962, la moitié de la base vaut 3, et le produit fait 15,5886, alors que l’aire s’affiche 15,5885. Les deux valeurs sont justes ; c’est le quatrième chiffre qui se perd dans l’aller-retour, et non dans l’un ou l’autre des calculs. Si vous avez besoin de l’aire exacte, servez-vous de la ligne de l’aire plutôt que de la reconstruire.
Quelle proportion du côté la hauteur représente-t-elle ?
Toujours 0,866 du côté, soit environ 86,6 pour cent, quelle que soit la taille du triangle. Cela découle de la même racine de trois sur deux : agrandir le côté met la hauteur à l’échelle dans les mêmes proportions, si bien que le rapport entre les deux ne change jamais. C’est le nombre à utiliser quand on dispose des triangles en rangées, puisque chaque rangée de triangles pointe en haut recouvre celle du dessous d’exactement une hauteur.
Comment l’aire se compare-t-elle à celle d’un carré de même côté ?
Le carré est plus grand, avec 1 unité d’aire contre environ 0,433 pour le triangle lorsque le côté vaut 1. Le triangle consomme moins de matière pour la même arête, mais il a aussi un périmètre plus court pour cette aire, si bien que la comparaison n’a de sens qu’exprimée en matière par unité d’arête. En pratique, on choisit un triangle pour sa rigidité et non pour son aire : un triangle ne peut pas être déformé sans que la longueur d’un côté change, ce qui n’est pas le cas d’un carré.
Le côté peut-il valoir zéro, et est-ce la même chose qu’un champ vide ?
Zéro est une vraie entrée et les trois valeurs reviennent à zéro, ce qui est la réponse honnête pour un triangle sans taille. Un champ vide est autre chose : quand rien n’y est saisi, la page n’affiche aucun résultat, parce qu’il n’y a rien à partir de quoi travailler. Cette distinction compte pendant la frappe, car vider le champ pour retaper un nombre ne doit pas faire clignoter une ligne de zéros.

Références

Calculatrices liées

Calculatrice d’aire de triangleAire d’un triangle par la base et la hauteur.Calculatrice de la formule de HéronAire d’un triangle à partir des trois côtés, par Héron.Calculatrice de triangle isocèleAire, hauteur et angles d’un triangle isocèle.Calculatrice de triangleCôté, angles et aire d’un triangle à partir de deux côtés.