Calculatrice de triangle

c = √(a² + b² − 2ab × cos C) A = ½ × a × b × sin C A + B + C = 180°

a, b

Les deux côtés que vous connaissez, en centimètres. Ils sont interchangeables — la page ne se soucie pas de savoir lequel vous appelez a et lequel b, et les échanger ne fait qu’échanger les deux angles qu’elle imprime. Tous deux doivent être supérieurs à zéro, puisqu’un côté nul ne laisserait aucun triangle

C

L’angle entre les deux côtés connus, en degrés, en radians ou en grades. On l’appelle l’angle compris parce qu’il est enfermé par les deux côtés que vous avez donnés, et c’est le seul angle que la page vous laisse spécifier. Il peut valoir n’importe quoi de 0 à 180 degrés ; à exactement 0 ou 180 le triangle s’aplatit en une ligne et la page répond tout de même, avec un angle de 0 et un autre de 180

c

Le troisième côté, en centimètres, opposé à l’angle C. Il vient de la loi des cosinus, qui est le théorème de Pythagore muni d’un terme correctif pour les triangles qui ne sont pas rectangles : quand C vaut 90 degrés le cosinus est nul et le terme disparaît, laissant a² + b² = c². C’est la réponse principale de la page, parce que toutes les autres lectures en dépendent

A, B

Les deux angles que vous n’avez pas donnés, en degrés. Chacun vient de la loi des cosinus appliquée de nouveau au triangle devenu entièrement connu, le troisième côté étant pris avant arrondi, et les deux s’additionnent ensuite à 180 avec C jusqu’à la dernière décimale. Un triangle presque rectangle peut malgré tout tomber sur exactement 90 une fois les angles arrondis à deux décimales et être signalé comme rectangle — la classification est faite à partir des nombres que la page imprime, et non de ceux qui les sous-tendent

½ × a × b × sin C

L’aire en centimètres carrés : la moitié du produit des deux côtés connus par le sinus de l’angle qui les sépare. C’est la formule de l’aire réduite au cas où l’angle est connu, puisque la hauteur qu’il faudrait autrement vaut b × sin C — ce qui explique que les mêmes 3 et 4 donnent une aire de 6 à angle droit et seulement 5,1962 à 60 degrés, à côtés inchangés

A + B + C = 180°

La somme des angles, qui est ce qui rend la classification possible : les trois angles étant connus, le plus grand décide si le triangle est acutangle, rectangle ou obtusangle, et le plus grand angle est toujours opposé au plus long côté. La classification lit les deux angles que la page imprime et prend le troisième comme 180 moins ces deux-là, donc le badge juge les nombres affichés à l’écran — arrondi compris — et ne peut pas les contredire sur un artefact d’arrondi

Employez cette page quand ce que vous avez, ce sont deux côtés et l’angle compris entre eux, ce qui est le cas courant de tout ce qui se mesure ou se spécifie en place : deux bords d’une parcelle avec le coin entre eux, deux étrésillons qui se rejoignent sous un angle connu, un chevron de toit décrit par une portée et une pente, un triangle de tissu coupé dans un coin. C’est aussi la bonne page lorsque la question porte sur la forme du triangle plutôt que sur sa taille — savoir si un coin est d’équerre, si un triangle est acutangle, si un ensemble de trois côtés peut seulement former un triangle obtusangle. Comme la page imprime le type, elle répond au contrôle que fait un menuisier avec un triangle 3-4-5 : saisissez des côtés de 3 et 4 avec un angle de 90 et la réponse revient rectangle ; saisissez les mêmes côtés avec un angle de 92 et elle revient obtusangle, avec un troisième côté déjà trop long pour un angle droit. Employez la calculatrice de la formule de Héron quand vous avez trois côtés et aucun angle, ce qui est l’autre sens. Employez la calculatrice d’aire de triangle quand vous avez une base et une hauteur perpendiculaire, puisque cette page-là n’a besoin d’aucune trigonométrie. Employez la calculatrice du théorème de Pythagore quand l’angle est connu comme droit et que vous voulez la route simple a² + b² = c², ou quand vous avez un triangle rectangle avec un côté et l’hypoténuse. Et employez les pages du triangle équilatéral ou du triangle isocèle quand le triangle présente une symétrie particulière, puisque ces pages prennent moins de nombres et donnent les angles sans les demander.

1. Des côtés de 3 et 4 avec un angle droit

   1. Le cosinus de 90° vaut 0, donc le terme correctif disparaît : c = √(3² + 4²) = √25 = 5
   2. Aire : ½ × 3 × 4 × sin 90° = ½ × 12 × 1 = 6
   3. Périmètre : 3 + 4 + 5 = 12
   4. Angle A, opposé au côté de 3 : cos A = (4² + 5² − 3²) ÷ (2 × 4 × 5) = 32 ÷ 40 = 0,8, donc A = 36,87°
   5. Angle B : 180 − 90 − 36,87 = 53,13°
   6. Le plus grand angle vaut 90°, donc la page signale un triangle rectangle

   Le triangle 3-4-5, et la ligne qui rend la classification utile : la page reconnaît l’angle droit et le dit, plutôt que de vous laisser le vérifier. Les deux angles de 36,87 et 53,13 sont le couple qui réapparaît dans tous les triangles 3-4-5 et, par l’autre bout de la même arithmétique, dans le losange dont les diagonales valent 6 et 8. C’est aussi la démonstration la plus nette que la loi des cosinus contient le théorème de Pythagore : à 90 degrés le terme correctif est nul et les deux formules sont la même phrase.

2. Des côtés de 5 et 5 avec un angle de 60 degrés

   1. Le cosinus de 60° vaut 0,5 : c = √(25 + 25 − 2 × 5 × 5 × 0,5) = √(50 − 25) = √25 = 5
   2. Le troisième côté tombe égal aux deux que vous avez donnés, donc les trois côtés valent 5
   3. Aire : ½ × 5 × 5 × sin 60° = 12,5 × 0,866025… = 10,8253
   4. Périmètre : 5 + 5 + 5 = 15
   5. Trois côtés égaux laissent trois angles égaux : (180 − 60) ÷ 2 = 60, donc la page imprime 60 pour les deux angles restants
   6. Le plus grand angle vaut 60°, donc la page signale un triangle acutangle

   Deux côtés égaux avec un angle de 60 degrés, c’est le seul cas où le troisième côté est contraint de leur être égal, et le triangle devient équilatéral — 60 degrés est l’angle auquel la base d’un triangle isocèle devient exactement aussi longue que ses deux côtés égaux. La calculatrice du triangle équilatéral de ce sous-groupe résout la même figure à partir d’un seul côté, puisque une fois les trois côtés égaux il n’y a plus rien à dire ; l’intérêt de le faire ici est de regarder le troisième côté tomber sur 5 au lieu de se le faire annoncer. L’aire de 10,8253 est le même chiffre qui apparaît dans le losange dont le côté vaut 5 et l’angle 60, ce qui n’est pas une coïncidence : ce losange est deux fois ce triangle, et 2 × 10,8253 en donnerait les 21,6506 centimètres carrés.

3. Des côtés de 7 et 8 avec un angle de 60 degrés

   1. Le cosinus de 60° vaut 0,5 : c = √(49 + 64 − 2 × 7 × 8 × 0,5) = √(113 − 56) = √57 = 7,549834… → 7,5498
   2. Aire : ½ × 7 × 8 × sin 60° = 28 × 0,866025… = 24,2487
   3. Périmètre : 7 + 8 + 7,5498 = 22,5498
   4. Angle A, opposé au côté de 7 : cos A = (64 + 57 − 49) ÷ (2 × 8 × 7,5498) = 72 ÷ 120,797 = 0,596, donc A = 53,41°
   5. Angle B : 180 − 60 − 53,41 = 66,59°
   6. Le plus grand angle vaut 66,59°, donc la page signale un triangle acutangle

   Le cas ordinaire, et celui à lire si vous voulez voir ce que fait la page quand rien n’est particulier : deux côtés de longueurs différentes, un angle de 60 degrés, et trois réponses qui ne sont pas des nombres ronds. Le troisième côté de 7,5498 est plus long que 7 et plus court que 8, ce qui est la seule chose qu’on puisse en dire à l’avance — le côté opposé à l’angle de 60 degrés se situe entre les deux côtés qui l’enferment, et les deux angles que vous n’avez pas donnés se partagent les 120 degrés restants proportionnellement aux côtés qui leur font face : le côté le plus court, 7, prend la part la plus petite, 53,41 contre 66,59. L’aire de 24,2487 est proche mais différente des 24 centimètres carrés que la page du trapèze atteint à partir d’un autre ensemble de quatre côtés, et ce quasi-accord rappelle que les nombres ronds viennent des entrées et non de la formule.

4. Des côtés de 10 et 10 avec un angle de 120 degrés

   1. Le cosinus de 120° vaut −0,5 : c = √(100 + 100 − 2 × 10 × 10 × (−0,5)) = √(100 + 100 + 100) = √300 = 17,320508… → 17,3205
   2. Aire : ½ × 10 × 10 × sin 120° = 50 × 0,866025… = 43,3013
   3. Périmètre : 10 + 10 + 17,3205 = 37,3205
   4. Les deux côtés égaux laissent deux angles égaux : (180 − 120) ÷ 2 = 30 chacun
   5. Le plus grand angle vaut 120°, donc la page signale un triangle obtusangle

   Un triangle obtusangle, et le cas où le terme correctif de la loi des cosinus grandit au lieu de diminuer : le cosinus de 120 degrés est négatif, donc le retrancher ajoute à la somme et le troisième côté sort plus long que chacun des côtés que vous avez donnés — 17,3205 contre 10. C’est la signature d’un angle supérieur à 90 degrés, et c’est exactement ce que la classification est en train de lire. L’aire, à 43,3013, est plus petite que les 50 centimètres carrés que les deux mêmes côtés enfermeraient à angle droit, donc élargir l’angle au-delà de 90 achète de la longueur sur le côté opposé au prix de l’aire — le même échange que fait la page du losange lorsqu’on l’incline, et la raison pour laquelle la page signale le type au lieu de vous laisser le déduire des nombres.

Cette page résout un triangle à partir de deux côtés et de l’angle compris entre eux, et elle ne résout aucune des cinq autres combinaisons de trois éléments connus. Donnez-lui trois côtés et elle n’a rien avec quoi travailler ; la calculatrice de la formule de Héron les prend et donne l’aire, et les angles demanderaient une seconde étape que cette page ne fait pas. Donnez-lui deux angles et un côté et elle ne vous aidera pas davantage, bien qu’elle calcule exactement cela en interne. Elle ne fonctionne pas à l’envers : il n’existe aucune route allant d’une aire ou d’un périmètre vers le triangle qui les a produits, et un triangle d’aire donnée admet une infinité de formes. Les sorties sont en centimètres et en centimètres carrés quelles que soient les unités saisies, et les deux angles sont toujours imprimés en degrés même si vous avez tapé des radians ou des grades — le sélecteur d’unité change la façon dont votre angle est lu, non la façon dont les réponses sont écrites. Ce sélecteur est aussi le piège qui mérite d’être nommé : 60 radians n’est pas 60 degrés, et la page calculera le triangle pour l’unité sélectionnée au lieu de signaler que le nombre est bien trop grand pour un angle. Les deux côtés doivent être supérieurs à zéro, donc un triangle ayant un côté nul est refusé ; mais un angle de exactement 0 ou 180 degrés est accepté et produit un triangle plat d’angles 0, 180 et 0, que la page classe comme obtusangle — arithmétiquement cohérent et presque jamais ce que quelqu’un veut, et la page n’avertit pas que la figure s’est effondrée. Un triangle ayant deux côtés égaux et un angle de 0 est refusé plutôt que traité, parce que le troisième côté serait nul et qu’il ne resterait aucun triangle. Le type imprimé sous les réponses est décidé à partir des angles tels qu’imprimés, arrondis à deux décimales, donc un triangle dont le plus grand angle vaut 89,999 degrés est signalé comme rectangle — la lecture honnête des nombres affichés à l’écran, et un rappel que la classification est aussi précise que l’affichage et pas davantage. La page ne vérifie pas que vos trois nombres décrivent un triangle au-delà de l’intervalle d’angle, puisque deux côtés positifs quelconques et un angle quelconque dans l’intervalle le font toujours. Quatre décimales sur les longueurs et deux sur les angles sont des largeurs d’affichage partagées avec le reste de ce sous-groupe, et non des prétentions à la précision. Rien ici ne tient compte des chutes ni du trait de scie.

Comment trouver le troisième côté d’un triangle à partir de deux côtés et d’un angle ?

Employez la loi des cosinus : le troisième côté est la racine carrée de a² + b² − 2ab × cos C, où C est l’angle entre les deux côtés que vous connaissez. Pour des côtés de 3 et 4 avec un angle droit entre eux, le cosinus est nul et la réponse est √25 = 5. À 60 degrés le cosinus vaut 0,5, le terme correctif vaut 12, et le troisième côté vaut √13, soit environ 3,6056 — nettement plus court, à partir des deux mêmes côtés.

Comment la page décide-t-elle qu’un triangle est acutangle, rectangle ou obtusangle ?

À partir du plus grand des trois angles. En dessous de 90 degrés le triangle est acutangle, à exactement 90 il est rectangle, et au-dessus de 90 il est obtusangle. Le plus grand angle est toujours opposé au plus long côté, donc le même test peut se faire sur les côtés : élevez au carré les deux plus courts et comparez leur somme au carré du plus long — égale signifie rectangle, supérieure signifie acutangle, inférieure signifie obtusangle. Des côtés de 5, 5 et 8,6603 donnent un angle de 120 degrés et un triangle obtusangle.

Pourquoi deux côtés et l’angle compris déterminent-ils tout le triangle ?

Parce que les deux côtés sont libres de s’écarter comme les branches d’un compas, et que l’angle est ce qui fixe de combien ils finissent par s’écarter. Une fois l’angle posé, les deux extrémités libres n’ont plus qu’une seule distance possible entre elles, donc le troisième côté est fixé, et avec les trois côtés les angles le sont aussi. C’est pourquoi deux côtés seuls ne suffisent pas — 3 et 4 peuvent enfermer n’importe quoi depuis presque 0 jusqu’à 6 centimètres carrés, le maximum étant à angle droit — et pourquoi trois angles seuls ne suffisent pas non plus, puisqu’ils fixent la forme mais pas la taille.

Quelle est la formule de l’aire employée ici ?

La moitié du produit des deux côtés connus par le sinus de l’angle qui les sépare : A = ½ × a × b × sin C. C’est la formule habituelle de la demi-base par la hauteur, avec la hauteur remplacée, parce que la hauteur au-dessus de l’un des côtés est l’autre côté multiplié par le sinus de l’angle compris. Des côtés de 3 et 4 à angle droit donnent ½ × 12 × 1 = 6 centimètres carrés ; les deux mêmes côtés à 60 degrés donnent 5,1962, puisque sin 60 vaut 0,866.

Que se passe-t-il si l’angle vaut 0 ou 180 degrés ?

Le triangle s’effondre en une ligne et la page répond quand même : avec un angle de 0 entre des côtés de 3 et 4, le troisième côté vaut 1, un angle vaut 180 degrés et les deux autres valent 0. La classification revient en obtusangle, ce qui est cohérent avec la règle selon laquelle tout ce qui dépasse 90 est obtusangle, bien qu’un triangle aplati soit un cas dégénéré plutôt qu’une vraie figure. La seule combinaison refusée d’emblée est celle de deux côtés égaux avec un angle de 0, où le troisième côté serait nul et où il ne resterait rien.

Puis-je employer cette page pour un triangle rectangle ?

Oui, et la page vous le dira : saisissez 3 et 4 avec un angle de 90 et le type revient rectangle. L’arithmétique dégénère proprement, parce que le cosinus de 90 degrés est nul et que la loi des cosinus se réduit à a² + b² = c². Si tous les triangles que vous résolvez sont rectangles, la calculatrice du théorème de Pythagore de ce sous-groupe prend les deux côtés directement et saute la trigonométrie — mais cette page-ci est celle à employer quand vous n’êtes pas sûr que l’angle soit exactement d’équerre.

• Triangle — the three-sided figure this page solves, including the angle sum, the classification into acute, right and obtuse, and the relation between the largest angle and the longest side — Wolfram MathWorld (United States)
• Acute Triangle — the case where all three angles are below a right angle, which is the first of the three grades this page reports — Wolfram MathWorld (United States)
• Obtuse Triangle — the case where one angle is above a right angle, where the correction term in the law of cosines is negative and the third side comes out longer than either of the sides given — Wolfram MathWorld (United States)
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022 年版）的通知——Le cinquième point de la liste annexée à cette notification est le programme de mathématiques de l'enseignement obligatoire (édition 2022) ; la somme des angles d'un triangle, la classification des triangles et leur aire relèvent du programme de mathématiques de l'enseignement obligatoire, et le texte des programmes ainsi que la répartition par cycle sont ceux de cette annexe — 中华人民共和国教育部