Calculatrice de triangle isocèle

h = √(l² − (b ÷ 2)²) A = b·h ÷ 2 P = b + 2l angle au sommet = 2·arcsin((b ÷ 2) ÷ l) angle à la base = (180° − angle au sommet) ÷ 2

Base

La longueur du côté inégal, celui sur lequel reposent les deux côtés égaux, en centimètres. C’est en le posant à plat que le triangle devient symétrique de gauche à droite, et c’est depuis ce côté que la hauteur se mesure

Côté égal

La longueur de chacun des deux côtés égaux, en centimètres. Les deux sont identiques par définition, il n’y a donc qu’une seule case pour eux, et chaque côté égal est l’hypoténuse du triangle rectangle que produit le pliage

Aire

La surface d’un triangle isocèle, en centimètres carrés : la moitié de la base multipliée par la hauteur. Elle est calculée directement à partir de la base et du côté égal, et non à partir de la hauteur affichée, si bien que les valeurs du panneau concordent jusqu’à la dernière décimale

Périmètre

La distance sur tout le tour, en centimètres : la base plus deux fois le côté égal. C’est le seul résultat qui n’exige ni racine carrée ni trigonométrie, et il est donc exact dès que les deux entrées le sont

Hauteur

La hauteur du triangle isocèle, mesurée du sommet jusqu’au milieu de la base, en centimètres, et obtenue par le théorème de Pythagore sur la moitié repliée : le côté égal au carré moins la moitié de la base au carré, puis la racine. C’est aussi la droite par rapport à laquelle le triangle est symétrique, ce qui explique qu’elle tombe exactement au milieu de la base et non à côté

Angle au sommet

L’angle entre les deux côtés égaux, en haut, en degrés : c’est le seul angle d’un triangle isocèle qui ne soit partagé avec aucun autre. Il vaut le double de l’angle dont le sinus est la moitié de la base divisée par le côté égal, et il tend vers 180 degrés à mesure que le triangle s’aplatit

Angle à la base

L’angle à la base, c’est-à-dire entre la base et un côté égal, en degrés. Les deux angles à la base sont égaux par définition, la page n’en affiche donc qu’une valeur pour les deux, obtenue comme ce qui reste de 180 degrés une fois l’angle au sommet retiré, puis divisé par deux

Deux décimales pour les angles

Les angles s’affichent avec deux décimales là où les longueurs en ont quatre, parce qu’un rapporteur se lit à environ un centième de degré près et que les décimales suivantes d’un arc sinus relèvent du bruit de calcul et non d’une grandeur mesurée

Cette page sert à tout ce qui se construit sur un triangle isocèle, et cette forme apparaît partout où une pointe symétrique repose sur une base plate. Un toit en est le cas le plus clair : les deux versants sont les côtés égaux, la portée est la base, et ce que le charpentier cherche, c’est la pente, c’est-à-dire l’angle à la base, et la hauteur du faîtage au-dessus de la sablière, qui est la hauteur de cette page. Coupez ce triangle en deux par le milieu et vous obtenez la longueur du chevron comme hypoténuse, ce qui explique pourquoi le pliage est la méthode de travail et non un artifice de dessin. Les pignons, les frontons, les pointes de flèche, les cônes d’entonnoir et l’avant d’une tente sont la même forme sous d’autres noms. En serrurerie et en menuiserie, l’angle à la base est la valeur sur laquelle on règle une scie à onglet, et l’angle au sommet est celle avec laquelle on vérifie la pièce terminée. La page est aussi la bonne lorsqu’on a mesuré une base et un côté incliné plutôt qu’une hauteur : sur un toit, une rampe ou un contreventement triangulaire, le bord incliné est ce qu’on peut atteindre et la perpendiculaire ne l’est pas. Et c’est la page à ouvrir quand un plan coté donne un triangle isocèle par sa symétrie — une base et une hauteur hors tout, par exemple — puisque la hauteur y est un résultat et non une entrée, et que les deux ne sont pas interchangeables : base et côté égal est une paire d’entrées, base et hauteur en est une autre, et une seule des deux se trouve sur cette page. Si votre triangle n’est pas isocèle, la page de l’aire du triangle prend une base et une hauteur, et la page de la formule de Héron prend trois côtés.

1. Une base de 6 avec des côtés égaux de 5

   1. Moitié de la base : 6 ÷ 2 = 3
   2. Hauteur : √(25 − 9) = √16 = 4
   3. Aire : 6 × 4 ÷ 2 = 12
   4. Périmètre : 6 + 2 × 5 = 16
   5. Moitié de l’angle au sommet : arcsin(3 ÷ 5) = 36,8699…, donc l’angle au sommet vaut 73,7398…, qui s’arrondit à 73,74
   6. Angle à la base : (180 − 73,7398) ÷ 2 = 53,1301…, qui s’arrondit à 53,13

   L’entrée avec laquelle la page se charge, et la vérification croisée la plus utile de la page : une base de 6 avec des côtés égaux de 5 donne une aire de 12 et un périmètre de 16, exactement ce que la page de la formule de Héron renvoie pour des côtés de 6, 5 et 5. Les deux pages tombent sur les mêmes chiffres par deux chemins différents, ce qui est la meilleure façon de se convaincre que l’une des deux ne s’est pas trompée. Cette ligne est aussi celle où la hauteur tombe juste, 4, parce que le triangle 3-4-5 est rectangle : c’est le cas de figure que les exercices choisissent, et il ne faut pas en conclure que la hauteur tombe toujours juste.

2. Une base de 6 avec des côtés égaux de 6

   1. Moitié de la base : 6 ÷ 2 = 3
   2. Hauteur : √(36 − 9) = √27 = 5,196152…, qui s’arrondit à 5,1962
   3. Aire : 6 × 5,196152… ÷ 2 = 15,588457…, qui s’arrondit à 15,5885
   4. Périmètre : 6 + 2 × 6 = 18
   5. Moitié de l’angle au sommet : arcsin(3 ÷ 6) = 30, donc l’angle au sommet vaut 60 et l’angle à la base vaut (180 − 60) ÷ 2 = 60

   Le triangle équilatéral, qui est un triangle isocèle comme les autres mais le seul dont les deux angles affichés coïncident : 60 et 60. Deux colonnes égales sur une même ligne est le signe du triangle équilatéral, et c’est la seule ligne de la table où cela arrive. L’aire de 15,5885 est également ce que renvoie la page du triangle équilatéral pour un côté de 6, et la page de la formule de Héron pour 6, 6 et 6 : trois pages, trois jeux d’entrées, un seul résultat. La hauteur, elle, vaut cinq racines de trois sur deux, soit 5,1962, et elle est irrationnelle : c’est le cas typique de cette page, où la base et les côtés égaux sont des entiers et où la hauteur ne l’est pas.

3. Une base de 8 avec des côtés égaux de 5

   1. Moitié de la base : 8 ÷ 2 = 4
   2. Hauteur : √(25 − 16) = √9 = 3
   3. Aire : 8 × 3 ÷ 2 = 12
   4. Périmètre : 8 + 2 × 5 = 18
   5. Moitié de l’angle au sommet : arcsin(4 ÷ 5) = 53,1301…, donc l’angle au sommet vaut 106,2602…, qui s’arrondit à 106,26
   6. Angle à la base : (180 − 106,2602) ÷ 2 = 36,8699…, qui s’arrondit à 36,87

   La ligne qui montre le mieux ce que fait l’angle au sommet : mêmes côtés égaux de 5 que la première ligne, base élargie de 6 à 8, et l’angle au sommet passe de 73,74 à 106,26 pendant que la hauteur tombe de 4 à 3. Élargir la base aplatit le triangle, et les deux colonnes d’angles le disent chacune à leur façon : le sommet s’ouvre, la base se referme. Détail qui se vérifie de tête : les deux lignes ont la même aire, 12, alors que leurs bases diffèrent, parce que la hauteur a diminué d’autant que la base a augmenté — c’est le même triangle vu sous un autre rapport, et non une coïncidence de la table.

4. Une base de 10 avec des côtés égaux de 13

   1. Moitié de la base : 10 ÷ 2 = 5
   2. Hauteur : √(169 − 25) = √144 = 12
   3. Aire : 10 × 12 ÷ 2 = 60
   4. Périmètre : 10 + 2 × 13 = 36
   5. Moitié de l’angle au sommet : arcsin(5 ÷ 13) = 22,6198…, donc l’angle au sommet vaut 45,2397…, qui s’arrondit à 45,24
   6. Angle à la base : (180 − 45,2397) ÷ 2 = 67,3801…, qui s’arrondit à 67,38

   Le triangle 5-12-13, le second triplet pythagoricien classique, et la ligne où les trois longueurs de la table tombent toutes juste : base 10, hauteur 12, côté égal 13. C’est le triangle isocèle le plus pointu de la table après la ligne aplatie, avec un angle au sommet de 45,24 degrés, et il sert de repère quand on veut une forme haute et étroite. L’aire de 60 se vérifie aussi de tête : la moitié de 10 vaut 5, la hauteur 12, et 10 × 12 ÷ 2 fait bien 60 — la page multiplie par la base entière puis divise par deux, ce qui revient au même que de multiplier par la moitié de la base.

5. Une base de 0 avec des côtés égaux de 5

   1. Moitié de la base : 0 ÷ 2 = 0
   2. Hauteur : √(25 − 0) = 5
   3. Aire : 0 × 5 ÷ 2 = 0
   4. Périmètre : 0 + 2 × 5 = 10
   5. Moitié de l’angle au sommet : arcsin(0 ÷ 5) = 0, donc l’angle au sommet vaut 0 et l’angle à la base vaut (180 − 0) ÷ 2 = 90

   Le premier des deux cas limites, et c’est une vraie réponse : une base nulle décrit un triangle replié en une ligne de longueur 5 parcourue deux fois, d’où un périmètre de 10 alors que l’aire est nulle. Les deux côtés égaux sont couchés l’un sur l’autre, l’angle au sommet est nul et l’angle à la base vaut 90 degrés, ce qui est la limite honnête d’un triangle aplati et non une erreur de calcul. La hauteur, elle, vaut 5 : elle n’est pas nulle, parce qu’elle se mesure du sommet à la base et que le sommet se trouve à 5 du pied.

6. Une base de 6 avec des côtés égaux de 3

   1. Moitié de la base : 6 ÷ 2 = 3
   2. Hauteur : √(9 − 9) = 0
   3. Aire : 6 × 0 ÷ 2 = 0
   4. Périmètre : 6 + 2 × 3 = 12
   5. Moitié de l’angle au sommet : arcsin(3 ÷ 3) = 90, donc l’angle au sommet vaut 180 et l’angle à la base vaut (180 − 180) ÷ 2 = 0

   Le second cas limite, et c’est le bord exact de ce que la page accepte : deux côtés égaux de 3 peuvent tout juste atteindre les extrémités d’une base de 6, mais seulement en se couchant sur elle. Le triangle est donc entièrement aplati, la hauteur est nulle, l’angle au sommet vaut 180 degrés et les angles à la base sont nuls. Un dixième de plus sur la base et la page refuse de calculer, parce qu’aucun triangle n’existe : voir la section des limites ci-dessous. Cette ligne est la frontière entre « aplati » et « impossible », et les deux se ressemblent assez pour qu’il vaille la peine de la connaître.

Cette page ne traite que les triangles isocèles : exactement deux côtés de même longueur, qui sont les côtés égaux, posés sur la base qui est le côté inégal. Un triangle scalène a besoin de ses trois côtés et appartient à la page de la formule de Héron ; un triangle rectangle a sa propre page ; et un triangle équilatéral n’est un cas particulier de celui-ci que lorsque la base et les côtés égaux se trouvent donnés comme égaux. Les deux côtés égaux doivent pouvoir se rejoindre : si deux fois le côté égal est inférieur à la base, aucun triangle n’existe et la page le dit au lieu de renvoyer un nombre. Le cas exact où deux fois le côté égal vaut la base passe, et il décrit un triangle aplati en une ligne, avec une hauteur et une aire nulles et un angle au sommet de 180 degrés. La page prend une base et un côté égal plutôt qu’une base et une hauteur, donc un plan coté dans l’autre sens demande de convertir d’abord la hauteur en côté égal, par le théorème de Pythagore sur la moitié de la base. Les résultats sont en centimètres et en centimètres carrés quel que soit le réglage du sélecteur d’unités, et les angles sont en degrés, sans option en radians. Quatre décimales pour les longueurs et deux pour les angles sont une largeur d’affichage et non une prétention de précision ; sur un triangle mesuré au mètre ruban, la hauteur et l’aire sont les grandeurs dont les derniers chiffres ont une chance de vouloir dire quelque chose, et encore faut-il que la base et le côté égal aient été bien mesurés. La page est en deux dimensions et n’a aucun champ pour l’épaisseur : elle ne peut donc pas donner le volume d’un prisme triangulaire ni la masse d’un gousset.

Pourquoi la page demande-t-elle un côté égal plutôt que la hauteur ?

Parce qu’un triangle isocèle est déterminé par sa base et son côté égal, et que la hauteur en découle alors que l’inverse n’est pas vrai : une base et une hauteur données ne suffisent pas à fixer le triangle, puisque deux côtés égaux de longueurs différentes peuvent donner la même hauteur sur la même base. La hauteur est donc un résultat de cette page et non une entrée, et elle se recalcule à partir de la base et du côté égal par le théorème de Pythagore.

Pourquoi y a-t-il deux angles, et sont-ils parfois égaux ?

Parce qu’ils répondent à deux questions différentes : l’angle au sommet dit à quel point la forme est pointue, et l’angle à la base est ce sur quoi on règle une scie à onglet ou ce qu’on appelle la pente d’un toit. Les deux angles à la base sont égaux par définition de la forme, mais l’angle au sommet ne l’est pas. Ils ne coïncident que sur un triangle équilatéral, où les trois valent 60 degrés : c’est la seule ligne de la table où les deux colonnes d’angles sont égales.

Comment obtient-on les angles à partir des deux côtés ?

En coupant le triangle en deux par son axe de symétrie, ce qui donne deux triangles rectangles identiques. Dans chacun, l’hypoténuse est le côté égal et le côté adjacent à l’angle cherché vaut la moitié de la base : la moitié de l’angle au sommet est donc l’angle dont le sinus vaut la moitié de la base divisée par le côté égal, et l’angle au sommet vaut le double de celui-là. L’angle à la base est ensuite ce qui reste de 180 degrés après avoir retiré l’angle au sommet, divisé par deux.

Pourquoi les angles ont-ils deux décimales et les longueurs quatre ?

Parce que les largeurs sont fixées par type de grandeur et non pour la page. Un rapporteur se lit à environ un centième de degré près, donc deux décimales suffisent pour un angle, et les suivantes ne seraient que du bruit de calcul flottant. Les longueurs en revanche sont recalculées à partir des entrées, et quatre décimales permettent de voir si un résultat tombe juste ou non : la hauteur du triangle 3-4-5 vaut exactement 4, alors que celle du triangle 6-6 vaut 5,1962 et ne tombe jamais juste.

Que se passe-t-il si les côtés égaux sont trop courts pour atteindre la base ?

La page refuse de calculer et le dit, au lieu de renvoyer un nombre. La condition est que deux fois le côté égal atteigne au moins la base : si deux fois le côté égal est inférieur à la base, les deux sommets ne peuvent pas se rejoindre au-dessus de la base et aucun triangle n’existe. Le cas exact où deux fois le côté égal vaut la base passe encore, et il décrit un triangle entièrement aplati, d’aire nulle et d’angle au sommet de 180 degrés.

La base ou le côté égal peuvent-ils valoir zéro ?

Oui, et les deux cas limites sont traités comme des réponses réelles. Une base de zéro décrit un triangle replié en une ligne parcourue deux fois, d’aire nulle et d’angle au sommet nul. Une base égale à deux fois le côté égal décrit un triangle aplati, d’aire nulle et d’angle au sommet de 180 degrés. Le zéro est distingué de la case laissée vide : quand il n’y a rien dans un champ, la page n’affiche aucun résultat, faute de matière pour calculer.

• Isosceles triangle — the two-equal-sides case, with the axis of symmetry, the equal base angles and the height that this page computes from the base and a leg — Wolfram MathWorld (United States)
• Triangle — the general case the isosceles triangle is a constrained member of, including the rule that the three angles always add to 180 degrees, which is what the base angle is worked out from — Wolfram MathWorld (United States)
• Equilateral triangle — the one isosceles triangle whose apex angle equals its base angles, both 60 degrees, and the case where the two figures this page prints separately come out the same — Wolfram MathWorld (United States)
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022 年版）的通知——Le cinquième point de la liste annexée à cette notification est le programme de mathématiques de l'enseignement obligatoire (édition 2022) ; les propriétés et les critères d'un triangle isocèle relèvent du programme de mathématiques de l'enseignement obligatoire, et le texte des programmes ainsi que la répartition par cycle sont ceux de cette annexe — 中华人民共和国教育部