Calculatrice de la loi des cosinus

a² = b² + c² − 2bc·cos A cos A = (b² + c² − a²) ÷ 2bc A = arccos((b² + c² − a²) ÷ 2bc)

a, b, c

Les trois côtés du triangle, dans l’unité que vous voulez du moment que les trois l’emploient. Le côté a est celui qui fait face à l’angle A, et les deux autres suivent le même schéma

A

L’angle situé en face du côté a — celui que cette forme de la loi retrouve. Les deux autres angles viennent de la même formule, les lettres tournant

cos A

Le cosinus de cet angle, que les trois côtés donnent directement. Retrouver l’angle à partir de lui est une étape à part, et c’est celle qui ramène la lecture entre zéro et cent quatre-vingts degrés

2bc

Le double du produit des deux côtés qui se rencontrent à cet angle. C’est le terme correctif que le théorème de Pythagore n’a pas, et c’est lui qui fait tenir la loi quand aucun angle n’est droit

Prenez cette page quand vous avez les trois côtés d’un triangle et que vous en voulez les angles — un terrain mesuré le long de sa limite, une équerre découpée à trois longueurs, un triangle tracé sur une carte dont vous pouvez arpenter les côtés sans viser les sommets. C’est la seule des deux pages de triangle qui n’ait besoin d’aucun angle pour commencer, ce qui est exactement le cas où la loi des sinus ne sert à rien. C’est aussi le moyen le plus rapide de savoir si trois longueurs peuvent former un triangle avant de construire quoi que ce soit : saisissez-les, et soit trois angles reviennent, soit un message vous dit lequel est trop long. Si vous avez deux côtés et l’angle entre eux, c’est le cas côté-angle-côté, qui appartient à la page du triangle rectangle et qui rejoint le même théorème par l’autre bout. Si ce que vous voulez est l’aire du triangle plutôt que ses angles, les trois côtés sont aussi tout ce qu’il faut à la formule de Héron. Et si ce que vous avez est un côté et deux angles, ou deux côtés et un angle qui n’est pas entre eux, c’est la page de la loi des sinus qu’il faut prendre.

1. Le triangle trois-quatre-cinq, dont un angle est exactement droit

   1. Prenez l’angle situé en face du côté de longueur 5
   2. Les carrés des deux autres côtés totalisent 9 plus 16, soit 25
   3. Le terme correctif vaut deux fois 3 fois 4 fois le cosinus de cet angle ; en égalant toute l’expression à 25, le cosinus reste à zéro, l’angle vaut donc 90 degrés
   4. Les deux autres angles viennent de la même formule, les lettres tournant, et valent 36,87 et 53,13

   Les valeurs avec lesquelles la page se charge, et le triangle que tout lecteur a déjà rencontré. C’est le cas où la loi des cosinus et le théorème de Pythagore s’accordent : le terme correctif s’annule parce que le cosinus d’un angle droit est nul, et la formule se réduit au théorème. Les deux angles aigus forment le couple qui montre pourquoi cette page est fiable — ils totalisent exactement 90, et le troisième est un 90 propre, sans rien d’arrondi.

2. Un triangle équilatéral, où rien n’est arrondi

   1. Les trois côtés sont égaux, les trois angles le sont donc aussi
   2. Les trois angles totalisent 180 degrés
   3. 180 divisé par 3 vaut exactement 60, chaque lecture est donc 60 sans aucune décimale perdue

   Trois côtés égaux donnent trois angles égaux, et comme ils doivent totaliser un angle plat, chacun vaut exactement soixante degrés — la seule ligne du tableau ci-dessous où les trois lectures soient exactes et où aucune ne soit nulle. C’est aussi une vérification utile de la formule : le terme correctif vaut ici deux fois 5 fois 5 fois le cosinus de soixante, soit 25, et 25 plus 25 moins 25 font 25, qui est le carré du troisième côté. La formule s’accorde avec elle-même.

3. Un triangle obtus, de côtés 2, 3 et 4

   1. Prenez l’angle situé en face du côté le plus long, celui qui peut être obtus
   2. Les carrés des deux autres côtés totalisent 4 plus 9, soit 13
   3. Retirez le carré du côté le plus long, 16, il reste moins 3
   4. Divisez par le double du produit des deux autres côtés, qui vaut 12, ce qui donne un cosinus de moins 0,25
   5. L’angle dont le cosinus vaut moins 0,25 est 104,48 degrés, et les deux autres suivent à 28,96 et 46,57

   L’angle situé en face du côté le plus long est l’obtus, et c’est une règle plutôt qu’une coïncidence : le plus grand côté fait face au plus grand angle, et dès qu’un côté dépasse la racine carrée de la somme des carrés des deux autres, l’angle qui lui fait face franchit l’angle droit. Ici 4 dépasse la racine carrée de treize, l’angle en face vaut donc 104,48 degrés. Remarquez le total des trois lectures : 180,01, soit un centième de plus qu’un angle plat, parce que chacune a été arrondie séparément. Le paragraphe des limites ci-dessous porte exactement sur ce point.

4. Trois côtés qui tiennent tout juste, 3, 4 et 7

   1. Trois plus quatre font sept, exactement la longueur du côté le plus long
   2. Le terme correctif atteint son extrême, et le cosinus de l’angle situé en face du côté le plus long tombe à moins un
   3. L’angle dont le cosinus vaut moins un est 180 degrés, et les deux autres s’effondrent à zéro

   Sept vaut exactement trois plus quatre, le triangle n’a donc plus de place : les deux côtés courts s’allongent à plat le long du plus long et la figure est une droite sur laquelle les sommets se sont effondrés. C’est la frontière que l’inégalité triangulaire autorise, et elle est imprimée plutôt que refusée parce que c’est une véritable limite — les angles tendent réellement vers 0, 0 et 180. Augmentez l’un des côtés courts du moindre montant et un vrai triangle apparaît, avec des angles positifs qui grandissent à mesure que les côtés s’écartent ; diminuez-le et la page signale qu’aucun triangle n’a ces côtés.

Trois limites à énoncer clairement. Les trois angles sont calculés indépendamment à partir des trois côtés et arrondis chacun à deux décimales, si bien qu’ils totaliseront souvent 180,01 ou 179,99 au lieu d’un angle plat exact — un triangle deux-trois-quatre s’écarte d’un centième, comme le montre le troisième exemple ci-dessus. L’alternative serait de calculer deux angles et d’en déduire le troisième par soustraction, ce qui totalise toujours exactement 180, mais casse la symétrie par l’autre bout : un triangle isocèle de deux côtés de 3 et d’une base de 3,3 a deux angles à la base de 56,63 degrés, et cette méthode les imprime 56,63 et 56,64, parce que le troisième angle est retranché à deux valeurs déjà arrondies. Un centième de degré de dérive a été jugé le moindre des deux mensonges. Deuxièmement, les côtés doivent satisfaire l’inégalité triangulaire : chacun plus court que la somme des deux autres. Cette page refuse tout ce qui y échoue, et accepte le cas limite où un côté vaut exactement la somme des deux autres, qui produit un triangle plat aux angles de 0, 0 et 180 degrés. Troisièmement, la page n’imprime ni longueurs de côtés ni aire. Les côtés ne manquent pas — ce sont les trois nombres que vous avez saisis, et le triangle est entièrement déterminé par eux, il n’y a donc rien de plus à rapporter. Si c’est l’aire que vous voulez, c’est une autre sortie des trois mêmes nombres.

À quoi sert la loi des cosinus ?

Aux deux tâches que le théorème de Pythagore ne sait pas faire. D’abord, quand vous avez les trois côtés d’un triangle et que vous en voulez les angles, ce que fait cette page : le théorème ne produit un angle que si l’un d’eux est déjà droit, et c’est le terme correctif qui le fait tenir dans tous les autres triangles. Ensuite, quand vous avez deux côtés et l’angle entre eux et que vous voulez le troisième côté — la page voisine du triangle l’emploie dans ce sens. Les deux directions sont la même équation lue par l’un ou l’autre bout.

Pourquoi mes trois angles totalisent-ils 180,01 au lieu de 180 ?

Parce que chaque angle est calculé à partir des trois côtés pour son propre compte, puis arrondi à deux décimales, et que trois arrondis séparés n’ont aucune raison de s’annuler. Ce n’est pas un défaut et cela ne signifie pas que le triangle est impossible ; cela signifie que chaque lecture imprimée est à moins d’un centième de degré de l’angle vrai. L’alternative — calculer deux angles et obtenir le troisième en les retranchant de 180 — totalise toujours exactement, mais elle arrondit deux angles avant de les soustraire, si bien qu’un triangle isocèle aux deux angles de base de 56,63 degrés ressort à 56,63 et 56,64, ce qui est un mensonge pire dans l’autre sens.

Trois longueurs quelconques font-elles un triangle ?

Non. Chaque côté doit être plus court que les deux autres réunis, ce qui est l’inégalité triangulaire : le trajet le plus court entre deux sommets est le côté qui les joint directement, passer par le troisième ne peut donc pas être plus court. Si un côté dépasse la somme des deux autres, cette page refuse l’entrée plutôt que de renvoyer un angle impossible. S’il lui est exactement égal, le triangle est plat et les angles tombent à 0, 0 et 180, ce que la page accepte parce que c’est une vraie frontière et non une erreur.

Pourquoi cette page donne-t-elle trois angles et aucune longueur de côté ?

Parce que les trois côtés sont l’entrée. Un triangle dont les trois côtés sont donnés est entièrement déterminé — il n’a qu’une seule forme possible, au glissement et à la rotation près —, réimprimer les côtés serait donc répéter ce que vous venez de saisir. Ce que la page ajoute est la partie que vous ne pouviez pas voir : où sont les sommets, c’est-à-dire les trois angles. Les trois mêmes nombres donnent aussi l’aire, et c’est un autre outil.

Comment savoir si le triangle a un angle obtus ?

Regardez le côté le plus long. Si son carré dépasse la somme des carrés des deux autres, l’angle qui lui fait face est obtus ; si les deux sont égaux, cet angle est exactement droit ; s’il est plus petit, les trois angles sont aigus. Le triangle 2-3-4 des exemples ci-dessus est le cas obtus — seize contre treize — et c’est toujours le plus grand angle qui devient obtus, parce que le plus grand côté fait face au plus grand angle.

Quand l’employer plutôt que la loi des sinus ?

Employez celle-ci quand vous connaissez les trois côtés, ou deux côtés et l’angle entre eux. Employez la loi des sinus quand vous connaissez un côté et l’angle situé en face, accompagnés d’une autre donnée, parce que c’est ce dont le rapport du côté au sinus a besoin. Le cas où les deux pages se recouvrent est celui de deux côtés et d’un angle qui n’est pas entre eux, et là c’est la loi des sinus le meilleur outil — c’est aussi le cas où un triangle peut avoir deux formes différentes, ce dont cette page n’a jamais à se soucier.

• Law of Cosines — the relation between the three sides of a triangle and the cosine of one of its angles, and its reduction to the Pythagorean theorem — Wolfram MathWorld (United States)
• Triangle — the triangle inequality, the rule that the largest side faces the largest angle, and the degenerate cases — Wolfram MathWorld (United States)
• Trigonometric Functions — the sine, cosine and tangent of an angle, their ranges, and why recovering an angle from a cosine gives a value between zero and one hundred and eighty degrees — Wolfram MathWorld (United States)
• Formule d’al-Kashi, loi des cosinus — la relation entre les trois côtés d’un triangle et le cosinus de l’un de ses angles, et sa réduction au théorème de Pythagore — Bibm@th, encyclopédie des mathématiques (France)