Pourquoi la tangente n’a-t-elle pas de valeur à 90 degrés ?

Parce que la tangente est le sinus divisé par le cosinus, et qu’à quatre-vingt-dix degrés le cosinus est nul. Le point est monté au sommet du cercle, son abscisse vaut zéro, et il n’y a rien par quoi diviser. La façon honnête de le dire est que la tangente y est indéfinie — et non qu’elle y est très grande. Le sinus et le cosinus à cet angle sont parfaitement définis, un et zéro, et le tableau ci-dessous les imprime quand même tous les deux.

L’angle se saisit-il en degrés ou en radians ?

Dans l’un ou l’autre — le champ a un sélecteur d’unité à côté et la lecture est le même angle dans les deux cas. Trente degrés et 0,5236 radian donnent les trois mêmes nombres à quatre rangs. La différence ne se voit que lorsqu’on se compare à une source qui suppose une unité, c’est-à-dire la plupart des manuels : une page qui écrit que le sinus de trente vaut un demi parle en degrés.

À quoi sert le tableau trigonométrique ci-dessous ?

Douze angles, quatre par tour, avec les trois fonctions sur chaque ligne. À eux douze, ils couvrent toutes les combinaisons de signes que les trois fonctions peuvent prendre, les deux pôles de la tangente, et les quatre quadrants. Lisez une colonne à la fois et le motif de chaque fonction apparaît : le sinus monte jusqu’à un puis redescend, le cosinus est la même courbe décalée, et la tangente se répète tous les demi-tours au lieu de chaque tour complet.

L’angle peut-il être négatif, ou supérieur à un tour complet ?

Oui aux deux, et ni l’un ni l’autre n’est un cas particulier. Un angle négatif tourne dans le sens horaire au lieu du sens antihoraire, ce qui aboutit au même point que son homologue positif augmenté d’un tour : moins trente degrés et trois cent trente degrés sont le même angle et donnent les trois mêmes lectures. Au-delà d’un tour, on continue simplement de tourner — trois cent quatre-vingt-dix, c’est trente de nouveau. Seule la position finale compte, la calculatrice réduit donc l’angle d’abord, puis lit les rapports trigonométriques dessus.

Y a-t-il une différence entre cette page et celle du cercle trigonométrique ?

Elles partagent un champ et elles concordent jusqu’à la dernière décimale, et c’est voulu — elles sont faites pour être vérifiées l’une contre l’autre. La différence tient à ce qu’elles montrent. La page du cercle trigonométrique est construite autour de l’image : un point sur un cercle de rayon un, ses coordonnées, et les angles remarquables avec leurs valeurs exactes. Celle-ci est construite autour des fonctions et des angles difficiles à dessiner : les angles négatifs, les angles au-delà d’un tour complet, et les deux angles où la tangente n’a aucune valeur.

Pourquoi quatre décimales et pas davantage ?

Parce que quatre suffisent à distinguer une réponse de manuel d’une réponse fausse, et qu’au-delà les chiffres ne parlent plus de l’angle. Les valeurs exactes de la plupart des angles du tableau sont des racines carrées et des fractions, dont le développement décimal ne se termine ni ne se répète — le cosinus de trente degrés vaut racine de trois sur deux, et 0,8660254 en est une troncature, pas un autre nombre. Imprimer plus de chiffres suggérerait une précision que l’angle n’a pas.

Calculatrice de trigonométrie

Résultat

0,5000

Sinus

Cosinus: 0,8660
Tangente: 0,5774

Une calculatrice de trigonométrie prend un angle et rend son sinus, son cosinus et sa tangente. Saisissez l’angle, dites s’il est en degrés ou en radians, et la page renvoie les trois d’un coup — les trois nombres qui décrivent où cet angle aboutit. Le sinus et le cosinus sont deux coordonnées d’un même point. Tracez un cercle de rayon un centré sur l’origine, partez de l’axe des abscisses positif et tournez dans le sens antihoraire de votre angle : le point sur lequel vous vous arrêtez a une abscisse et une ordonnée, et ces coordonnées sont le cosinus et le sinus. La tangente est le rapport des deux, le sinus divisé par le cosinus, ce qui est aussi le coefficient directeur de la droite qui va de l’origine jusqu’à ce point. Parce qu’elle est un rapport plutôt qu’une coordonnée, elle fait ce que les deux autres ne font jamais : elle s’épuise. Là où le cosinus est nul — à l’angle droit, et aux trois quarts d’un tour — il n’y a rien par quoi diviser, si bien que la tangente n’y est pas un nombre très grand, elle n’y est aucun nombre. Cette page refuse ces angles et les nomme, plutôt que d’imprimer une valeur énorme en vous laissant deviner ce qu’elle signifie. Le tableau ci-dessous donne les trois à douze angles, quatre par tour, pour que le motif se voie au lieu d’être pris sur parole. Les angles au-delà d’un tour complet sont ici des entrées ordinaires : trois cent quatre-vingt-dix degrés, c’est le même angle que trente, et la page le lit ainsi. Tout est affiché à quatre décimales — assez pour vérifier contre un manuel, et honnête sur le fait que les réponses exactes de cette page sont des racines et des fractions qu’aucun décimal ne termine.

Sinus, cosinus et tangente en douze angles autour du cercle

θ (degrés)	sin(θ)	cos(θ)	tan(θ)
0	0	1	0
30	0.5	0.866	0.5774
45	0.7071	0.7071	1
60	0.866	0.5	1.7321
90	1	0	—
120	0.866	-0.5	-1.7321
135	0.7071	-0.7071	-1
150	0.5	-0.866	-0.5774
180	0	-1	0
210	-0.5	-0.866	0.5774
270	-1	0	—
330	-0.5	0.866	-0.5774

Douze angles, quatre par tour, et les deux tirets de la colonne de tangente sont tout l’intérêt du tableau : à quatre-vingt-dix et à deux cent soixante-dix degrés la tangente n’a pas de valeur, et la page le dit par un tiret plutôt que par un grand nombre. Lisez la colonne du sinus depuis le haut : elle monte de zéro à un sur le premier quart de tour, retombe à zéro au demi-tour, passe dans le négatif, puis revient — une onde complète par tour. La colonne du cosinus est la même onde décalée d’un quart de tour. La tangente est différente par nature : elle se répète tous les demi-tours plutôt qu’à chaque tour complet, ce qui explique que les quatre lignes de zéro à cent quatre-vingts en contiennent déjà toute l’histoire. Remarquez aussi où culminent les deux colonnes positives : le sinus atteint un à quatre-vingt-dix précisément là où le cosinus atteint zéro, et la tangente est le rapport de ces deux-là, ce qui fait de cet angle le pôle. Les nombres sont repris tels quels : dans le tableau, le séparateur décimal est le point (0.5774 plutôt que 0,5774), parce que les valeurs viennent du calcul et non d’un texte.

Formule

sin θ = côté opposé ÷ hypoténuse cos θ = côté adjacent ÷ hypoténuse tan θ = sin θ ÷ cos θ

θ: L’angle, en degrés ou en radians. Il peut être négatif et dépasser un tour complet — seul compte l’endroit où il aboutit sur le cercle
côté opposé / côté adjacent: Les deux côtés d’un triangle rectangle contenant l’angle θ : le côté qui fait face à θ et le côté qui le borde. Sur une hypoténuse de un, ils deviennent les deux coordonnées que lisent le sinus et le cosinus
hypoténuse: Le côté le plus long d’un triangle rectangle, celui qui fait face à l’angle droit. C’est la division par lui qui maintient le sinus et le cosinus entre moins un et un

Cette page répond trois fois à une même question : connaissant un angle, quels sont son sinus, son cosinus et sa tangente ? Prenez-la quand vous avez déjà l’angle — une pente de toit que vous connaissez en degrés et que vous voulez en coefficient directeur, une phase que vous connaissez en radians, une direction que vous vous apprêtez à décomposer — et que vous voulez les trois rapports trigonométriques ensemble plutôt qu’un par un. Le tableau des valeurs en douze angles est là pour la même raison : la plupart des angles que l’on rencontre réellement sont l’un de ces douze, et avoir les trois fonctions côte à côte est ce qui fait remarquer que le sinus de trente et le cosinus de soixante sont le même nombre. Prenez plutôt la page du cercle trigonométrique quand ce que vous voulez vous représenter est le point lui-même, et la page du triangle rectangle quand ce que vous connaissez est deux côtés plutôt qu’un angle. Et si vous avez un rapport et que vous voulez retrouver l’angle, c’est la direction inverse : le sinus, le cosinus et la tangente d’un angle ne donnent pas l’angle, et ce sont les pages réciproques qui font ce travail.

Exemples détaillés

Un angle de 30 degrés
1. L’angle est dans le premier quadrant, les trois lectures sont donc positives
2. Le point à trente degrés sur le cercle de rayon un est (√3/2, 1/2)
3. Le cosinus vaut donc √3/2 et le sinus 1/2, et la tangente est leur rapport, √3/3
L’angle avec lequel la page se charge, et la première ligne du tableau ci-dessous. Les valeurs exactes sont un demi, racine de trois sur deux et racine de trois sur trois ; les décimales affichées sont ces trois nombres arrondis à quatre rangs, et 0,5774 est celle qui mérite un instant d’attention — un tiers de racine, pas un décimal qui se répète.
Un angle de 45 degrés
1. À quarante-cinq degrés le point se trouve sur la droite y = x, les deux coordonnées sont donc égales
2. Des coordonnées égales signifient que le sinus et le cosinus valent le même nombre, √2/2
3. Le rapport de deux nombres égaux vaut exactement 1, ce qui explique que la tangente soit exacte ici
Le seul angle sous quatre-vingt-dix degrés dont la tangente soit exacte — 1, et non 0,9999. Le sinus et le cosinus valent tous deux 0,7071, et c’est le maximum que l’un ou l’autre atteigne dans le premier quadrant après quarante-cinq degrés : au-delà, le sinus continue de monter et le cosinus commence à descendre. C’est aussi le seul angle où la tangente égale le sinus divisé par le cosinus et où la réponse tombe juste.
Un angle du deuxième quadrant, 135 degrés
1. Cent trente-cinq degrés, c’est quarante-cinq degrés au-delà de l’angle droit, le point est donc dans le deuxième quadrant
2. Son ordonnée est encore positive, le sinus vaut donc encore 0,7071
3. Son abscisse est maintenant négative, le cosinus vaut donc −0,7071
4. La tangente est le rapport d’un positif sur un négatif, elle est donc négative
Les signes sont toute la raison d’être de cet exemple. Le sinus de cent trente-cinq degrés est exactement celui de quarante-cinq, le cosinus a changé de signe, et la tangente a basculé avec lui. En lisant le tableau ci-dessous de haut en bas, la colonne du sinus est positive sur les deux premiers quadrants et négative sur les deux derniers ; celle du cosinus change à quatre-vingt-dix ; et celle de la tangente change à quatre-vingt-dix elle aussi, qui est le même endroit où elle s’épuise.

Limites

Trois choses que cette page ne fait pas. Elle lit un angle et donne des rapports ; elle ne va pas dans l’autre sens. Si vous avez 0,5 et que vous voulez l’angle dont c’est le sinus, rien ici ne vous le dira — ce sont les pages réciproques qui s’en chargent, et c’est une question réellement différente avec un ensemble de réponses réellement différent, puisqu’un sinus de 0,5 appartient à plus d’un angle. Deuxièmement, la tangente d’un angle droit ou des trois quarts d’un tour est refusée plutôt qu’approchée, et le même refus couvre tout angle qui se ramène à l’un des deux, angles négatifs et angles au-delà d’un tour complet compris. C’est le traitement honnête, mais cela signifie qu’un angle de quatre cent cinquante degrés renvoie une erreur là où quatre cent cinquante est un angle parfaitement raisonnable pour le sinus et le cosinus. Troisièmement, les lectures sont données à quatre décimales. Pour les douze angles du tableau, cela ne suffit pas à voir les réponses exactes — le cosinus de trente vaut ici 0,866 et exactement √3/2 — et aucun développement décimal ne suffirait, parce que les valeurs exactes à ces angles sont irrationnelles. Le tableau ci-dessous imprime les décimales ; si vous voulez les racines elles-mêmes, elles sont dans la table des valeurs exactes.

Questions fréquentes

Pourquoi la tangente n’a-t-elle pas de valeur à 90 degrés ?: Parce que la tangente est le sinus divisé par le cosinus, et qu’à quatre-vingt-dix degrés le cosinus est nul. Le point est monté au sommet du cercle, son abscisse vaut zéro, et il n’y a rien par quoi diviser. La façon honnête de le dire est que la tangente y est indéfinie — et non qu’elle y est très grande. Le sinus et le cosinus à cet angle sont parfaitement définis, un et zéro, et le tableau ci-dessous les imprime quand même tous les deux.
L’angle se saisit-il en degrés ou en radians ?: Dans l’un ou l’autre — le champ a un sélecteur d’unité à côté et la lecture est le même angle dans les deux cas. Trente degrés et 0,5236 radian donnent les trois mêmes nombres à quatre rangs. La différence ne se voit que lorsqu’on se compare à une source qui suppose une unité, c’est-à-dire la plupart des manuels : une page qui écrit que le sinus de trente vaut un demi parle en degrés.
À quoi sert le tableau trigonométrique ci-dessous ?: Douze angles, quatre par tour, avec les trois fonctions sur chaque ligne. À eux douze, ils couvrent toutes les combinaisons de signes que les trois fonctions peuvent prendre, les deux pôles de la tangente, et les quatre quadrants. Lisez une colonne à la fois et le motif de chaque fonction apparaît : le sinus monte jusqu’à un puis redescend, le cosinus est la même courbe décalée, et la tangente se répète tous les demi-tours au lieu de chaque tour complet.
L’angle peut-il être négatif, ou supérieur à un tour complet ?: Oui aux deux, et ni l’un ni l’autre n’est un cas particulier. Un angle négatif tourne dans le sens horaire au lieu du sens antihoraire, ce qui aboutit au même point que son homologue positif augmenté d’un tour : moins trente degrés et trois cent trente degrés sont le même angle et donnent les trois mêmes lectures. Au-delà d’un tour, on continue simplement de tourner — trois cent quatre-vingt-dix, c’est trente de nouveau. Seule la position finale compte, la calculatrice réduit donc l’angle d’abord, puis lit les rapports trigonométriques dessus.
Y a-t-il une différence entre cette page et celle du cercle trigonométrique ?: Elles partagent un champ et elles concordent jusqu’à la dernière décimale, et c’est voulu — elles sont faites pour être vérifiées l’une contre l’autre. La différence tient à ce qu’elles montrent. La page du cercle trigonométrique est construite autour de l’image : un point sur un cercle de rayon un, ses coordonnées, et les angles remarquables avec leurs valeurs exactes. Celle-ci est construite autour des fonctions et des angles difficiles à dessiner : les angles négatifs, les angles au-delà d’un tour complet, et les deux angles où la tangente n’a aucune valeur.
Pourquoi quatre décimales et pas davantage ?: Parce que quatre suffisent à distinguer une réponse de manuel d’une réponse fausse, et qu’au-delà les chiffres ne parlent plus de l’angle. Les valeurs exactes de la plupart des angles du tableau sont des racines carrées et des fractions, dont le développement décimal ne se termine ni ne se répète — le cosinus de trente degrés vaut racine de trois sur deux, et 0,8660254 en est une troncature, pas un autre nombre. Imprimer plus de chiffres suggérerait une précision que l’angle n’a pas.

Références

Trigonometric Functions — the definitions of sine, cosine and tangent, their domains, and why the tangent is undefined where the cosine is zero — Wolfram MathWorld (United States)
Sine — the function the unit circle reads off as the y-coordinate, its period, and the values it takes at the special angles — Wolfram MathWorld (United States)
Tangent — the ratio the other two functions produce, its period of half a turn rather than a whole one, and its poles at ninety and two hundred and seventy degrees — Wolfram MathWorld (United States)
Sine, Cosine and Tangent — a first-principles walk through the three ratios in a right triangle, with the special angles worked out rather than asserted — Math is Fun (United Kingdom)

Calculatrices liées

Calculatrice de cercle trigonométriqueSinus, cosinus et tangente d’un angle sur le cercle.Calculatrice de triangle rectangleRésout un triangle rectangle avec deux côtés ou un angle.Calculatrice de cosinusCosinus d’un angle en degrés ou en radians.Calculatrice de cotangenteCotangente d’un angle en degrés ou en radians.