Calculatrice de cercle trigonométrique

sin θ = y, cos θ = x, tan θ = y ÷ x

θ

L’angle, mesuré dans le sens inverse des aiguilles d’une montre depuis l’axe des abscisses positives. Il peut être négatif, et il peut dépasser un tour complet — seul l’endroit où il retombe sur le cercle compte

cos θ

L’abscisse du point sur lequel l’angle retombe. À zéro degré le point est en (1 ; 0), donc le cosinus vaut un ; à 90 degrés il vaut zéro

sin θ

L’ordonnée de ce même point. À zéro degré elle vaut zéro ; à 90 degrés le point est au sommet du cercle et le sinus vaut un

tan θ

Le sinus divisé par le cosinus, c’est-à-dire la pente de la droite qui va de l’origine au point. Elle n’a aucune valeur là où le cosinus est nul, parce que c’est là que la droite est verticale

Rayon un

Voilà pourquoi les coordonnées se lisent directement. Le point est à une unité de l’origine, donc par Pythagore les deux coordonnées ont toujours des carrés qui s’additionnent à un — c’est l’identité cos²θ + sin²θ = 1

Degrés ou radians

La liste convertit ce que vous saisissez en degrés avant que le calcul ne tourne, donc la réponse est la même dans les deux cas. Un quart de tour fait 90 degrés, soit la moitié de pi en radians

Quatre décimales

La largeur avec laquelle les lectures sont écrites. Seule une poignée de valeurs tombent juste — le sinus de 30 vaut un demi, la tangente de 45 vaut exactement un, et les valeurs posées sur les axes sont toutes entières — et tout le reste est une valeur comme racine de deux sur deux, qu’il faut arrondir à la fin

Le cercle trigonométrique est le tableau que tout cours de trigonométrie fait apprendre par cœur, parce que les trois fonctions trigonométriques ne sont rien d’autre que les coordonnées d’un point sur ce cercle — et cette page est ce tableau avec une case où taper n’importe quel angle. Les usages immédiats sont ceux où vous avez un angle et où il vous faut ses composantes : décomposer une force ou une vitesse en une part horizontale et une part verticale, ce qui est exactement le couple sinus-cosinus et rien d’autre ; calculer un déphasage en électronique ou un facteur de puissance ; trouver la portée horizontale de quelque chose lancé sous un angle. La topographie et la navigation s’en servent chaque fois qu’un azimut doit être transformé en une distance vers l’est et une distance vers le nord, c’est-à-dire exactement les deux coordonnées. L’infographie et le jeu vidéo s’en servent pour tout ce qui tourne — un sprite qui pivote, une caméra en orbite, un point sur une roue — parce que la position d’un point en rotation est le cosinus et le sinus, et écrire cela une fois avec cette fonction plutôt qu’avec une arithmétique de cas particuliers est ce qui rend le code de rotation court. Reste l’usage purement scolaire, celui pour lequel cette page est vraiment faite : les valeurs remarquables valent la peine d’être sues par cœur, et pouvoir taper 90 et voir la tangente refuser est une bien meilleure façon de retenir qu’elle n’y a pas de valeur que de se l’entendre dire. Le tableau ci-dessous reprend le même jeu d’angles, écrit en fractions exactes plutôt qu’en décimales, parce que c’est sous cette forme qu’on les utilise réellement.

1. Un angle de 30 degrés

   1. Tournez de 30 degrés dans le sens inverse des aiguilles d’une montre depuis l’axe des abscisses positives
   2. Le point sur lequel vous retombez est (√3/2 ; 1/2)
   3. Le cosinus est l’abscisse : 0,8660
   4. Le sinus est l’ordonnée : 0,5
   5. La tangente est le rapport : 0,5 ÷ 0,8660 = 0,5774

   L’angle avec lequel la page se charge, et la première ligne du tableau dans lequel les valeurs remarquables sont habituellement enseignées. Ses valeurs exactes sont racine de trois sur deux, un demi et racine de trois sur trois — décimales ici, fractions exactes dans le tableau de référence plus bas.

2. Un angle de 45 degrés

   1. Tournez de 45 degrés, ce qui pose le point sur la diagonale
   2. Le sinus et le cosinus sont égaux parce que le point est à 45 degrés des deux axes : √2/2 = 0,7071
   3. La tangente est leur rapport, et un nombre divisé par lui-même vaut 1

   Le seul angle entre zéro et 90 où le sinus et le cosinus sont égaux, ce qui arrive parce que le point se trouve sur la droite y = x. La tangente exactement égale à 1 est l’algèbre qui le confirme — et c’est la raison pour laquelle une pente à 45 degrés s’appelle une pente à un pour un.

3. Un angle de 180 degrés

   1. Tournez d’un demi-tour, ce qui pose le point sur l’axe des abscisses négatives
   2. Le cosinus est l’abscisse : −1
   3. Le sinus est l’ordonnée : 0
   4. La tangente est zéro divisé par moins un, soit 0

   Un demi-tour, et le signe qui prend les gens en défaut : le cosinus vaut moins un et non un, parce que le point est passé du côté opposé du cercle. Le sinus ressort exactement à zéro ici alors même que l’arithmétique interne produit au passage un nombre très petit — la lecture est arrondie à la fin, ce qui est la façon honnête de traiter la chose.

4. Un angle de 390 degrés

   1. Un tour complet vous ramène au point de départ, donc 390 degrés équivaut à 30
   2. Le point est (√3/2 ; 1/2), exactement comme pour 30 degrés

   Les trois mêmes lectures que l’exemple à 30 degrés, parce que faire un tour de plus retombe sur le même point. C’est ce qui rend la page utilisable pour des angles qui ne sont pas entre zéro et un tour complet — le repliement est pris en charge pour vous plutôt que d’être quelque chose à réduire à la main d’abord.

Cette page prend un angle et renvoie son sinus, son cosinus et sa tangente. La tangente n’a aucune valeur à 90 degrés ni à 270, ni à tout angle qui diffère de ceux-là d’un nombre entier de tours, parce que le point est passé là où son abscisse est nulle et que le rapport n’a plus rien à diviser. Quand cela arrive, la page refuse et l’explique plutôt que d’imprimer un nombre très grand, et le sinus et le cosinus y sont parfaitement bien définis — un et zéro — mais la page renvoie les trois ensemble, donc elle retient les trois plutôt que deux d’entre eux ; le tableau de référence plus bas porte les valeurs exactes de ces deux-là. Les angles très proches de ces valeurs sont acceptés et donnent des tangentes très grandes, ce qui est mathématiquement correct — une pente proche de la verticale est réellement raide — donc un quasi-raté n’est pas la même chose qu’un raté et la page ne les traite pas de la même façon. Les trois lectures sont des nombres purs, sans unité, quoi que dise la liste ; la liste choisit comment l’angle est saisi, pas ce qui sort. Quatre décimales sont une largeur d’affichage plutôt qu’une prétention à la précision, et la plupart des angles n’ont pas du tout de valeur décimale exacte — c’est pour cela que le tableau de référence donne les plus courants en fractions exactes. Rien ici ne traite les problèmes inverses : la page transforme un angle en coordonnées mais ne retransformera pas des coordonnées en angle, et elle ne donne ni longueur d’arc, ni aire de secteur, ni la mesure de la distance parcourue sur le cercle par l’angle.

Pourquoi la tangente n’a-t-elle pas de réponse à 90 degrés ?

Parce que la tangente est le sinus divisé par le cosinus, et qu’à 90 degrés le cosinus est nul. Le point est passé au sommet du cercle, son abscisse est nulle, et il n’y a rien par quoi diviser. La description honnête est que la tangente n’y a pas de valeur — et non qu’elle serait énorme. Le sinus et le cosinus, eux, y sont parfaitement bien définis : le point est au sommet du cercle, donc le sinus vaut un et le cosinus vaut zéro. Cette page rapporte les trois ensemble, donc elle n’en donne aucune plutôt que deux : elle refuse l’angle et en dit la raison. Le tableau de référence plus bas porte malgré tout les valeurs exactes de cette ligne.

Puis-je saisir un angle supérieur à 360 degrés ?

Oui, et des angles négatifs aussi. Seul l’endroit où l’angle retombe sur le cercle compte, donc 390 degrés donne exactement les trois mêmes lectures que 30, et moins 30 donne la même chose que 330. La page réduit l’angle pour vous plutôt que de vous obliger à le faire à la main d’abord, ce qui compte parce que les azimuts et les rotations dépassent couramment un tour complet.

Pourquoi les valeurs sont-elles décimales alors que le tableau de l’école montre des fractions ?

Parce que le panneau de résultats est une calculatrice et que le tableau est un tableau de valeurs. Les valeurs exactes des angles remarquables sont racine de deux sur deux, racine de trois sur deux et leurs parentes, et celles-là ne s’écrivent pas en décimales exactes — 0,7071 est une version arrondie de l’une d’elles. Le tableau de référence plus bas donne les mêmes angles en fractions exactes, qui est la forme sous laquelle elles valent la peine d’être mémorisées.

À quoi sert réellement la tangente ?

C’est une pente. La tangente de l’angle est le dénivelé divisé par le parcours horizontal de la droite qui va de l’origine au point, et c’est pourquoi elle ressort dans les inclinaisons, les pentes de toit et tout ce qui se mesure comme un rapport du vertical à l’horizontal. Le sinus et le cosinus sont des coordonnées ; la tangente est le rapport entre elles, et c’est cette différence qui fait que seule la tangente a des trous dans son domaine.

L’unité a-t-elle de l’importance ?

La liste choisit comment l’angle est saisi — degrés, radians ou grades — et rien d’autre. Les trois lectures sont des nombres simples, sans aucune unité, parce qu’une coordonnée sur un cercle de rayon un n’a pas d’unité et qu’un rapport de deux d’entre elles n’en a pas non plus. La page convertit votre angle en degrés en interne, donc 0,5236 radian et 30 degrés donnent des réponses identiques.

Est-ce la même chose qu’une calculatrice de triangle rectangle ?

C’en est le cas particulier. Dans tout triangle rectangle le sinus est le côté opposé sur l’hypoténuse et le cosinus le côté adjacent sur l’hypoténuse ; sur le cercle trigonométrique l’hypoténuse vaut un, donc les rapports se réduisent aux deux côtés de l’angle droit. Tout triangle rectangle est une copie mise à l’échelle d’une figure sur le cercle trigonométrique, et c’est pourquoi les nombres de cette page valent pour des triangles de n’importe quelle taille.

• Unit Circle — the circle of radius one, why the coordinates of a point on it are the cosine and the sine, and the special angles that have exact values — Wolfram MathWorld (United States)
• Trigonometric Functions — the definitions of sine, cosine and tangent, their domains, and why the tangent is undefined wherever the cosine is zero — Wolfram MathWorld (United States)
• Tangent — the ratio this page divides to get, its period of a half turn rather than a whole one, and its poles at ninety and two hundred and seventy degrees — Wolfram MathWorld (United States)
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022 年版）的通知——Le cinquième point de la liste annexée à cette notification est le programme de mathématiques de l'enseignement obligatoire (édition 2022) ; la trigonométrie des angles aigus relève du programme de mathématiques de l'enseignement obligatoire, et le texte des programmes ainsi que la répartition par cycle sont ceux de cette annexe — 中华人民共和国教育部