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CalcMax

Calculatrice d’angles coterminaux

Intervalle : -1 000 000 – 1 000 000

Résultat

40,00 °

Angle coterminal

Angle coterminal négatif
-320,00 °

Cette calculatrice d’angles coterminaux prend un angle quelconque et en renvoie deux autres qui se terminent au même endroit : l’un ramené dans l’intervalle de 0 à 360 degrés, l’autre un tour complet en dessous. Deux angles sont coterminaux lorsqu’ils partent du même rayon et s’arrêtent sur le même rayon, et ils s’écrivent comme l’angle d’origine plus ou moins un nombre entier quelconque de tours complets. Un angle de 30 degrés, un angle de 390 degrés et un angle de 750 degrés pointent tous dans la même direction, parce que 390, c’est 30 plus un tour et 750, c’est 30 plus deux tours. Les deux nombres imprimés par cette page sont les représentants utiles de cette famille : celui qui tient dans un seul tour, sur lequel sont écrites les tables trigonométriques et le cercle trigonométrique, et celui qui se situe juste sous la barre du zéro, qui est la façon habituelle de décrire une rotation négative vers le même endroit. Les deux sont donnés parce que la carte annonce des angles positifs ou négatifs, et parce que voir la paire rend toute l’idée visible — un angle simplement réduit ne peut pas vous montrer qu’il y a eu réduction. Les angles plus grands qu’un tour complet sont la raison d’être de cette page. La saisie accepte n’importe quoi jusqu’à un million de degrés dans un sens comme dans l’autre, soit environ deux mille sept cent soixante-dix-huit tours, parce qu’en pratique les grands angles viennent de mesures enroulées : un arbre tourné de plusieurs révolutions, un déphasage accumulé sur de nombreux cycles, un bobinage compté en tours plutôt qu’en degrés. La réduction est la même opération quelle que soit la taille de l’entrée, et il vaut la peine de remarquer que la première ligne du tableau et la cinquième décrivent le même côté terminal alors que l’une part de trente et l’autre de sept cent cinquante. Le sens négatif est traité par une règle qu’il faut énoncer, parce que l’autre choix évident se défend aussi. Le représentant négatif est l’angle réduit moins un tour complet, si bien qu’un angle de zéro degré a pour représentant négatif moins 360 et non zéro. Ce choix garantit que les deux nombres imprimés diffèrent toujours d’exactement 360 degrés, ce que vous pouvez vérifier sur n’importe quelle ligne du tableau, et il garantit que le panneau n’affiche jamais deux fois le même nombre. L’autre convention, qui prendrait pour représentant négatif tout ce qui va de moins 360 à zéro inclus, imprimerait zéro et zéro pour une entrée nulle, ce qui se lit comme une page cassée même si ce n’est pas faux. Un point de vocabulaire, sur lequel la page adopte la position de l’usage. À strictement parler, les angles coterminaux sont définis comme des angles non confondus dont les côtés terminaux coïncident : l’angle que vous saisissez n’est donc pas, en ce sens strict, coterminal avec lui-même — il est confondu avec lui-même. Personne ne l’entend ainsi dans l’usage courant, et cette page suit l’usage courant, puis explique la distinction quand on la lui demande, ce que fait la première question ci-dessous.

Les angles et les deux représentants du côté terminal qu’ils partagent

Angle (degrés)Tours complets retirésAngle coterminal (degrés)Angle coterminal négatif (degrés)
30030-330
90090-270
1800180-180
400140-320
750230-330
10002280-80
-30-1330-30
-400-2320-40

Huit angles et quatre colonnes, et la deuxième existe pour rendre l’arithmétique visible plutôt que pour répondre à quoi que ce soit : c’est le nombre de tours complets retirés, si bien que la première ligne et la cinquième se voient décrire le même côté terminal — un angle de 30 degrés et un angle de 750 degrés, deux tours étant retirés du second. La deuxième ligne est un quart de tour, où rien n’est retiré et où les deux représentants sont l’angle d’origine et ce qui lui manque pour atteindre un tour complet. La troisième ligne est le cas de la moitié, où les deux représentants sont l’opposé l’un de l’autre, ce qui n’arrive qu’à 180 degrés. La quatrième ligne est le couple chargé par défaut, 400 degrés réduits à 40 et à moins 320. La sixième est mille degrés, qui se réduit à 280 et à moins 80 — le même côté terminal qu’un million de degrés, puisque la colonne des tours absorbe la différence. Les septième et huitième lignes sont des entrées négatives : moins 30 degrés revient à 330, et son représentant négatif est l’entrée d’origine elle-même, parce que moins 30 se trouve déjà dans l’intervalle négatif. Sur chaque ligne, les deux dernières colonnes diffèrent d’exactement 360, et la colonne des tours est négative pour les entrées négatives au lieu d’être un compte absolu.

Formule

θ′ = θ + 360°n coterminal = θ − 360°·⌊θ ÷ 360°⌋

θ
L’angle que vous saisissez, en degrés. Il peut être négatif et il peut être bien plus grand qu’un tour complet ; l’un comme l’autre sont ici des entrées ordinaires et non des cas particuliers
n
Un nombre entier quelconque, positif, négatif ou nul. Chaque valeur de n désigne un membre de la famille des angles qui partagent le côté terminal : il y en a donc une infinité, et la page imprime les deux plus utiles
360°
Un tour complet. Le retrancher laisse le rayon pointé exactement là où il était, et c’est ce qui fait que deux angles sont coterminaux au lieu d’être différents
⌊θ ÷ 360°⌋
Le nombre de tours complets que l’on retire, arrondi vers le bas, vers moins l’infini, et non vers zéro. Un arrondi vers zéro laisserait un angle négatif en dehors de l’intervalle au lieu de l’y ramener, et c’est le seul endroit où cette page peut se tromper en silence
Angle coterminal
Le représentant de 0 jusqu’à 360 degrés exclu. C’est la valeur sur laquelle sont écrites les tables trigonométriques et le cercle trigonométrique, et c’est celle que l’on veut dans la plupart des cas
Angle coterminal négatif
Le même rayon décrit comme une rotation négative : l’angle réduit moins un tour complet, ce qui tombe de moins 360 jusqu’à zéro exclu. Il est toujours exactement 360 en dessous de l’autre valeur
Deux décimales
La largeur d’écriture des lectures. Un angle se mesure d’ordinaire à une fraction de degré et non à une fraction de seconde, et deux décimales sont à peu près la finesse qu’une lecture au rapporteur peut honnêtement atteindre

Chaque fois qu’un angle a été enroulé au-delà d’un tour complet et que l’on veut une réponse dans un seul tour. Les arbres et les machines tournantes en sont le cas le plus simple : un accouplement tourné de trois tours et quart a une orientation finale que l’on énonce par un angle inférieur à 360, et la même réduction s’applique à une came, à une manivelle, à un plateau tournant ou à une articulation de robot dont la course est donnée en révolutions. Le bobinage et l’enroulement viennent ensuite : une bobine enroulée sur quatorze tours, un câble déroulé puis rembobiné, un ressort tourné d’un nombre de tours connu — tout cela se compte en tours et se réclame en degrés. Les instruments de mesure forment le troisième cas : un déphasage accumulé sur de nombreux cycles d’un signal, un angle total relevé sur un codeur qui compte sans remise à zéro, une erreur de cap accumulée, et tout appareil qui rend un angle laissé courir au-delà d’un tour. La navigation et la topographie s’en servent pour les relèvements que l’on a additionnés et soustraits jusqu’à sortir de la plage 0 à 360, et pour l’écart entre deux caps, ce qui fait qu’un cap de moins 30 degrés se réécrit couramment 330. En mathématiques, c’est la première étape de presque tout calcul trigonométrique : une table de sinus et de cosinus ne couvre qu’un tour, donc tout angle hors de cette plage doit y être ramené avant que la table puisse servir. En classe, c’est la démonstration visuelle de la périodicité : tracez le même côté terminal pour 30, 390 et 750 degrés, constatez que les trois bras tombent sur la même droite, et la raison pour laquelle le sinus se répète tous les 360 degrés cesse d’être une règle à mémoriser. Et dans les calculs de tous les jours, ce sont les quelques cas où un angle a été retranché d’un autre et ressort négatif, moment où l’on veut pour la première fois une réponse entre 0 et 360 plutôt qu’une réponse signée.

Exemples détaillés

  1. Un angle de 400 degrés

    1. Comptez les tours complets : 400 ÷ 360 = 1,11, donc un tour est retiré
    2. Retirez-le : 400 − 360 = 40
    3. Retirez un tour de plus pour le représentant négatif : 40 − 360 = −320

    Le couple chargé par défaut, choisi parce qu’il dépasse tout juste un tour complet — un lecteur qui n’a jamais rencontré l’idée voit toute l’opération en une étape. Les deux réponses sont distantes de 360, ce qui est vrai sur chaque ligne du tableau et constitue le moyen le plus rapide de vérifier qu’un résultat a du sens.

  2. Un angle de 750 degrés

    1. Comptez les tours complets : 750 ÷ 360 = 2,08, donc deux tours sont retirés
    2. Retirez-les : 750 − 720 = 30
    3. Retirez un tour de plus : 30 − 360 = −330

    Le même côté terminal qu’un angle de 30 degrés, deux tours complets plus loin, et la paire de lignes qui montre à quoi sert le tableau. Lire la réduction sur la colonne des tours — deux tours retirés de 750 laissent 30 — est exactement la façon dont on fait l’arithmétique à la main, et c’est pourquoi cette colonne figure dans le tableau.

  3. Un angle de moins 30 degrés

    1. Comptez les tours complets en arrondissant vers le bas : −30 ÷ 360 = −0,08, ce qui s’arrondit à −1
    2. Rajoutez ce tour : −30 − 360 × (−1) = 330
    3. Retirez un tour pour le représentant négatif : 330 − 360 = −30

    Le sens par lequel la plupart des gens arrivent, puisqu’un angle négatif est ce que l’on obtient quand on retranche un cap d’un autre. À noter que le représentant négatif est l’angle d’origine, inchangé : moins 30 est déjà dans l’intervalle négatif. L’arrondi doit ici aller vers le bas — un arrondi vers zéro laisserait moins 30 tel quel, en dehors de l’intervalle positif où il appartient.

  4. Un angle de 1 000 degrés

    1. Comptez les tours complets : 1 000 ÷ 360 = 2,78, donc deux tours sont retirés
    2. Retirez-les : 1 000 − 720 = 280
    3. Retirez un tour de plus : 280 − 360 = −80

    Deux tours et un reste de 280, et c’est là que le calcul cesse d’être évident : la réponse est proche d’un tour complet plutôt que de zéro, et un lecteur qui attend le petit reste des exemples précédents sera surpris. La page accepte aussi un million de degrés, qui donne les mêmes 280 et moins 80 — le nombre de tours change, le côté terminal non.

  5. Un angle de 0 degré

    1. Aucun tour complet n’est retiré : 0 est déjà dans l’intervalle
    2. Le représentant positif est 0
    3. Retirez un tour pour le représentant négatif : 0 − 360 = −360

    Le cas qui fixe la règle du côté négatif. L’autre convention imprimerait zéro pour les deux valeurs, ce qui se lit comme une page qui n’a rien fait. Prendre pour représentant négatif un tour complet en dessous de l’angle réduit garantit que les deux nombres imprimés ne sont jamais égaux, et cela tient à cette frontière comme partout ailleurs.

Limites

Cette page réduit un angle et rien de plus : elle ne dit pas dans quel quadrant tombe le côté terminal, elle ne donne pas d’angle de référence et elle n’évalue aucune fonction trigonométrique. Chacune de ces choses appartient à une page à part. Seuls les degrés sont acceptés — il n’y a pas de sortie en radians, et un angle donné en radians doit être converti avant d’être saisi. La saisie est limitée à un million de degrés dans un sens comme dans l’autre, soit environ deux mille sept cent soixante-dix-huit tours complets ; au-delà, le chiffre ne correspond plus à quoi que ce soit que l’on mesure, même si l’arithmétique continuerait de fonctionner. Les deux valeurs imprimées diffèrent toujours d’exactement 360 degrés, et la négative est toujours la plus basse des deux, si bien qu’une entrée négative peut produire une sortie positive et inversement. À strictement parler, les angles coterminaux sont définis comme des angles non confondus dont les côtés terminaux coïncident, donc l’angle que vous saisissez n’est pas coterminal avec lui-même en ce sens strict — il est confondu avec lui-même. La page suit l’usage courant, dans lequel tout angle situé sur le même côté terminal compte, et le dit ici plutôt que dans une note de bas de page. Les angles sont arrondis à deux décimales, ce qui est une largeur d’affichage et non une prétention à la précision. Rien ici ne traite les degrés, minutes et secondes comme des unités séparées, et rien ne traite les angles mesurés en grades ou en tours.

Questions fréquentes

J’ai saisi 40 et l’angle coterminal revient à 40. S’est-il passé quelque chose ?
Rien n’était nécessaire : 40 est déjà dans un seul tour, c’est donc son propre représentant et la réduction le laisse tel quel. À strictement parler, les angles coterminaux sont définis comme des angles non confondus qui se terminent sur le même rayon, donc un angle n’est pas coterminal avec lui-même selon cette définition — il est confondu avec lui-même. La page suit l’usage courant, où tout ce qui est sur le même côté terminal compte, si bien que la première valeur répète votre saisie dès que celle-ci est déjà réduite. C’est la seconde valeur qui change.
Pourquoi l’angle négatif est-il un tour complet en dessous plutôt que le même angle écrit en négatif ?
Parce que l’autre solution évidente casse à zéro. Si le représentant négatif était pris entre moins 360 et zéro, une entrée de zéro imprimerait zéro et zéro — deux valeurs identiques, ce qui se lit comme une page qui n’a rien fait. Le prendre exactement un tour en dessous de l’angle réduit garantit que les deux nombres imprimés ne sont jamais égaux, et qu’ils diffèrent toujours d’exactement 360 degrés, ce que vous pouvez vérifier sur chaque ligne du tableau.
Puis-je saisir un angle négatif ?
Oui, et c’est l’une des entrées les plus courantes. Un angle négatif apparaît dès que l’on retranche un cap d’un autre ou que l’on mesure une rotation dans le sens inverse, et moins 30 degrés se réécrit couramment 330. La réduction arrondit vers le bas et non vers zéro précisément pour cette raison : un arrondi vers zéro laisserait moins 30 en dehors de l’intervalle au lieu de l’y envelopper.
Pourquoi les deux réponses sont-elles toujours distantes de 360 degrés ?
Parce que la seconde est la première moins un tour complet, par construction. Retrancher 360 degrés à un angle laisse le rayon pointé exactement là où il était, donc les deux valeurs décrivent le même côté terminal et diffèrent d’exactement un tour. C’est le contrôle de bon sens le plus rapide sur n’importe quel résultat de cette page : ajoutez 360 à la valeur basse et vous devez retomber sur la haute.
Cela me dit-il dans quel quadrant se trouve l’angle ?
Non — la page réduit l’angle et s’arrête là. Le quadrant dans lequel tombe un côté terminal, et l’angle de référence entre ce côté et l’axe le plus proche, font l’objet des pages de l’angle de référence et du cercle trigonométrique. La réduction effectuée ici est l’étape qui précède l’une comme l’autre, et c’est pourquoi elle a sa propre page plutôt qu’une ligne dans la sortie de quelqu’un d’autre.
Puis-je saisir des radians ?
Pas sur cette page — elle ne prend que des degrés, et il n’y a pas de sélecteur d’unité. Un angle en radians doit d’abord être converti, en multipliant par 180 et en divisant par π. La réduction elle-même est la même idée dans l’une ou l’autre unité, mais la page devrait savoir laquelle vous voulez dire avant de pouvoir décider ce qu’est un tour complet.

Références

Calculatrices liées

Calculatrice d’angle au centreAngle au centre sous-tendu par un arc de cercle.Calculatrice d’angle de référenceAngle de référence associé à un angle quelconque.Calculatrice de cercle trigonométriqueSinus, cosinus et tangente d’un angle sur le cercle.Calculatrice de longueur d’arcLongueur de l’arc entre deux points d’un cercle.