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CalcMax

Calculatrice de cosinus

Intervalle : -1 000 000 ° – 1 000 000 °

Résultat

0,5000

Cosinus

Une calculatrice de cosinus donne le cosinus d’un angle — le rapport du côté adjacent à cet angle sur le plus long côté, dans un triangle rectangle construit autour de lui. C’est aussi, et plus utilement, une coordonnée d’un point. Tracez un cercle de rayon un centré à l’origine, partez de l’axe des abscisses positif et faites tourner votre angle dans le sens antihoraire : le point sur lequel vous vous arrêtez a une abscisse, et cette abscisse est le cosinus. Le sinus est l’autre coordonnée et la tangente est le quotient des deux, mais le cosinus est celle qui dit de combien vous avez avancé — quelle part de votre déplacement se fait de gauche à droite plutôt que de bas en haut. Deux propriétés découlent de cette image et méritent d’être connues avant d’utiliser le nombre. Premièrement, le cosinus ne sort jamais de l’intervalle qui va de moins un à un, parce qu’un point d’un cercle de rayon un ne peut pas avoir d’abscisse en dehors ; la valeur vaut un à zéro degré, zéro à l’angle droit, moins un à un demi-tour, et de nouveau zéro aux trois quarts. Deuxièmement, le cosinus est une fonction paire : faire tourner d’un angle négatif vous emmène sous l’axe, mais l’abscisse est la même que celle que vous auriez eue en tournant du même angle dans l’autre sens, si bien que le cosinus de moins soixante degrés et le cosinus de soixante degrés sont le même nombre. Contrairement à la tangente et à la cotangente, cette fonction est définie à tout angle que vous pouvez saisir — il n’existe aucun angle pour lequel elle n’ait pas de valeur, et c’est pourquoi cette page ne refuse jamais une lecture. Le tableau ci-dessous donne le cosinus en douze angles répartis sur le cercle, quatre par tour, et parcourir cette unique colonne est la façon la plus rapide de voir la forme de la fonction.

Le cosinus de douze angles répartis sur le cercle

θ (degrés)cos(θ)
01
300.866
450.7071
600.5
900
120-0.5
135-0.7071
150-0.866
180-1
210-0.866
2700
3300.866

Douze angles, une colonne, et toute la forme de la fonction en un coup d’œil : un à zéro degré, qui descend à zéro à l’angle droit, passe par moins un demi à cent vingt degrés, atteint moins un à un demi-tour, puis remonte par zéro à deux cent soixante-dix degrés jusqu’à un demi à trois cent trente degrés. Quatre de ces lectures sont exactes — un, zéro, moins un demi, moins un — et les autres sont des racines arrondies à quatre décimales ; la figure est la même dans les deux cas. Deux lignes figurent dans le tableau à dessein parce qu’elles sont les opposées de deux autres : trois cent trente degrés porte la même valeur que trente degrés, et deux cent dix la même que cent cinquante, parce que le cosinus d’un angle et le cosinus de son opposé sont toujours le même nombre. Les nombres sont repris tels quels : dans le tableau, le séparateur décimal est le point (0.7071 plutôt que 0,7071), parce que les valeurs viennent du calcul et non d’un texte.

Formule

cos θ = côté adjacent ÷ hypoténuse cos θ = abscisse du point où θ aboutit

θ
L’angle, en degrés ou en radians. Il peut être négatif et dépasser un tour complet — seul compte l’endroit où il aboutit sur le cercle
côté adjacent
Le côté adjacent à l’angle θ, dans un triangle rectangle construit autour de lui : celui qui n’est pas en face de θ et qui n’est pas l’hypoténuse
hypoténuse
Le côté le plus long, en face de l’angle droit. Il est toujours au moins aussi long que le côté adjacent, ce qui explique que le rapport ne dépasse jamais un

Prenez cette page quand vous voulez un seul nombre plutôt que trois : le cosinus d’un angle de phase que vous vous apprêtez à décomposer en composantes, la fraction d’une force qui agit le long d’une surface, l’abscisse d’un point que vous faites tourner. Le tableau de cosinus ci-dessous couvre douze angles, quatre par tour, et c’est le moyen le plus rapide de voir toute la forme de la fonction — elle part de un, descend à zéro à l’angle droit, atteint moins un à un demi-tour puis revient. Si vous avez besoin en plus du sinus et de la tangente du même angle, la page de trigonométrie imprime les trois ensemble et les nombres concordent jusqu’à la dernière décimale ; si ce que vous voulez vous figurer, c’est le point lui-même, la page du cercle trigonométrique est construite autour de lui. Et si vous partez d’un cosinus pour retrouver l’angle — un cosinus de 0,5 appartient à plus d’un angle, c’est donc une autre question, avec un ensemble de réponses plutôt qu’une seule — c’est la page d’arccosinus qui s’en charge.

Exemples détaillés

  1. Un angle de 60 degrés

    1. Faites tourner de 60 degrés dans le sens antihoraire à partir de l’axe des abscisses positif
    2. Le point sur lequel vous arrivez est (1/2, √3/2)
    3. L’abscisse est le cosinus, donc le cosinus vaut 1/2 — le √3/2 appartient au sinus

    L’angle avec lequel la page se charge, et celui qu’il vaut la peine de comparer à la page de trigonométrie : là-bas, le même angle donne un cosinus de 0,5 et un sinus de 0,866, et 0,5 est exactement ce que vous obtenez ici. Ce couple est le rappel le plus net que le cosinus de soixante degrés et le sinus de trente degrés sont le même nombre, parce que soixante et trente sont les deux angles aigus d’un même triangle rectangle.

  2. Un angle de 0 degré, la plus grande valeur qu’un cosinus atteigne

    1. Zéro degré, c’est aucune rotation : le point est encore sur l’axe des abscisses positif
    2. Ses coordonnées sont (1, 0)
    3. L’abscisse vaut 1, donc le cosinus vaut 1

    Un est le plafond. Le cosinus ne peut le dépasser à aucun angle, parce qu’il est l’abscisse d’un point situé à une unité de l’origine et qu’aucun point de ce genre n’est plus à droite que un. Il atteint cette valeur à zéro degré, puis à chaque tour complet qui suit — trois cent soixante, sept cent vingt — et nulle part entre les deux.

  3. Un angle du deuxième quadrant, 120 degrés

    1. Cent vingt degrés, c’est un tiers de tour, donc le point est dans le deuxième quadrant
    2. Son abscisse est maintenant à gauche de l’origine, donc elle est négative
    3. La valeur de la lecture est la même qu’à soixante degrés, et le signe s’est inversé

    Au-delà d’un angle droit, le point passe à gauche de l’axe des ordonnées et le cosinus devient négatif, et il le reste jusqu’à deux cent soixante-dix degrés. C’est la chose la plus utile que le signe d’un cosinus vous dise : un cosinus négatif signifie que la direction que vous décrivez pointe vers l’arrière, quoi que fasse le sinus.

  4. Un angle négatif, moins 60 degrés

    1. Un angle négatif tourne dans le sens horaire au lieu du sens antihoraire
    2. Le point aboutit sous l’axe des abscisses, en (1/2, −√3/2)
    3. Son abscisse est la même 1/2, donc le cosinus est inchangé

    Le cosinus est une fonction paire : il donne la même réponse pour un angle et pour son opposé. Le sinus et la tangente ne le font pas — tous deux changent de signe ici. Dans un tableau à une seule colonne, cela se voit tout de suite, et c’est pourquoi les douze angles ci-dessous en comptent deux qui sont les opposés de ceux qui leur font face.

Limites

Deux points à garder en tête. Les lectures sont données à quatre décimales, et pour la plupart des angles du tableau la valeur exacte est une racine ou une fraction qu’aucun décimal ne termine : le cosinus de trente degrés est racine de trois sur deux, et 0,866 est l’endroit où cela retombe après arrondi, pas le nombre lui-même. Les angles pour lesquels la valeur est exacte — zéro, soixante, quatre-vingt-dix, cent vingt, cent quatre-vingts — sont ceux dont la lecture a l’air propre, et c’est une propriété de ces angles-là, pas de la calculatrice. Deuxièmement, cette page ne va pas dans l’autre sens. Un cosinus de 0,5 appartient à soixante degrés, à trois cents degrés, et à une infinité d’angles au-delà, parce que la fonction se répète à chaque tour complet et se réfléchit autour de zéro ; retrouver un angle unique à partir d’un cosinus demande une décision supplémentaire sur l’intervalle voulu, et c’est le travail de la page d’arccosinus.

Questions fréquentes

Y a-t-il un angle dont le cosinus n’existe pas ?
Non. Le cosinus est défini à tout angle, y compris ceux où la tangente n’a pas de valeur : à quatre-vingt-dix degrés le cosinus vaut zéro et à deux cent soixante-dix degrés il vaut de nouveau zéro, deux nombres parfaitement ordinaires. C’est la différence entre les deux fonctions en une phrase — la tangente est un rapport qui peut se retrouver divisé par zéro, et le cosinus ne l’est jamais. Cette page ne refuse donc jamais une lecture.
Pourquoi le cosinus de 60 degrés est-il le même que le sinus de 30 degrés ?
Parce que soixante et trente sont les deux angles aigus d’un même triangle rectangle. Dans ce triangle, le côté adjacent à l’angle de soixante degrés est le côté en face de l’angle de trente degrés, si bien que le rapport qui donne le cosinus de l’un est le rapport qui donne le sinus de l’autre. Le tableau ci-dessous montre la même chose du côté du cercle : la colonne des cosinus et celle des sinus portent les mêmes nombres, décalés d’un quart de tour.
Que signifie un cosinus négatif ?
Que la direction que vous décrivez pointe à gauche de l’axe des ordonnées — à plus d’un quart de tour de votre point de départ, et à moins de trois quarts. Ce n’est ni une erreur ni une valeur plus petite : moins un demi est plus grand que moins un, et le cosinus atteint sa plus petite valeur à un demi-tour. Entre quatre-vingt-dix et deux cent soixante-dix degrés, tout cosinus est négatif, et en dehors de cet intervalle tout cosinus est positif.
Puis-je saisir un angle en radians ?
Oui — un sélecteur d’unité se trouve à côté du champ, et l’angle est lu de la même façon quel que soit votre choix. Soixante degrés et 1,0472 radian donnent le même cosinus, un demi. La seule chose à surveiller est l’unité que suppose la source à laquelle vous vous comparez, car par défaut la plupart d’entre elles entendent des degrés.
Pourquoi le cosinus de 90 degrés s’affiche-t-il comme zéro alors que le sinus du même angle vaut exactement un ?
Parce qu’à un angle droit le point est sur l’axe des ordonnées : son abscisse est nulle et son ordonnée vaut un. Le cosinus est l’abscisse, donc il vaut zéro, et le sinus est l’ordonnée, donc il vaut un. Les deux sont exacts, et ce couple est l’illustration la plus claire de ce que sont les deux fonctions — le cosinus mesure de combien le point est à droite, et à cet angle il ne l’est pas du tout.
Pourquoi cette page donne-t-elle un nombre là où la page de trigonométrie en donne trois ?
Parce que c’est ce à quoi chacune sert. La page de trigonométrie existe pour que les trois rapports puissent être comparés entre eux, et son tableau a une colonne pour chacun. Cette page existe pour le lecteur qui veut le cosinus et rien d’autre, et sa colonne unique est ce qui rend la forme de la fonction visible : un à zéro, zéro à l’angle droit, moins un à un demi-tour, de nouveau zéro aux trois quarts, et retour à un. Les deux pages donnent le même résultat à la dernière décimale pour chaque angle ; le choix porte donc sur la présentation, pas sur l’arithmétique.

Références

Calculatrices liées

Calculatrice de trigonométrieSinus, cosinus et tangente d’un angle, en degrés ou radians.Calculatrice de cercle trigonométriqueSinus, cosinus et tangente d’un angle sur le cercle.Calculatrice de sinusSinus d’un angle en degrés ou radians, avec le quadrant.Calculatrice de triangle rectangleRésout un triangle rectangle avec deux côtés ou un angle.Calculatrice d’arccosinusAngle à partir d’un cosinus, en degrés ou en radians.