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CalcMax

Calculatrice de sinus

Intervalle : -1 000 000 ° – 1 000 000 °

Résultat

0,5000

Sinus

Quadrant (0 = sur un axe)
1

Une calculatrice de sinus donne le sinus d’un angle — le rapport du côté opposé à cet angle sur l’hypoténuse, ce qui, sur le cercle trigonométrique, est la hauteur du point où l’angle aboutit. Des six rapports qu’offre un triangle rectangle, c’est celui qui répond à quelle hauteur. Il est défini à tout angle qui existe : aucun angle ne met le côté opposé et l’hypoténuse en désaccord d’une façon qui n’aurait pas de réponse, si bien que, contrairement à la tangente, cette page ne refuse jamais ce que vous saisissez. Deux propriétés font plus de travail que les autres. Le sinus est une fonction impaire, donc un angle négatif donne l’opposé de la réponse — le miroir du cosinus, qui rend la même valeur pour un angle négatif que pour le positif. Et il se répète à chaque tour complet plutôt qu’à chaque demi-tour, parce que la hauteur d’un point ne revient à son point de départ qu’après un tour entier. La deuxième colonne est le quadrant, et c’est la seule chose que cette page imprime et que la page de cosinus n’a pas. Les quadrants sont les quatre quarts dans lesquels le plan repéré est découpé, comptés dans le sens antihoraire à partir de l’axe des abscisses positif ; le signe du sinus dit si le point est au-dessus ou en dessous, le signe du cosinus dit s’il est à gauche ou à droite, et les deux ensemble fixent le quart. À trente degrés le sinus vaut un demi et le quadrant vaut un, le point est donc au-dessus de l’axe et à sa droite. À cent cinquante degrés le sinus vaut encore un demi mais le quadrant vaut deux : même hauteur, autre côté. Ce couple est la chose la plus claire de cette page — le sinus d’un angle est égal au sinus de son supplément, ce qui explique que le tableau porte deux fois le même nombre avec un quadrant différent à côté. Les angles qui se trouvent exactement sur un axe — zéro, quatre-vingt-dix, cent quatre-vingts, deux cent soixante-dix — n’appartiennent à aucun quadrant, et la colonne porte zéro pour eux plutôt que de les ranger dans le premier. Le tableau de référence ci-dessous imprime les douze lignes, et la page de trigonométrie imprime le sinus à côté de son cosinus et de sa tangente si vous voulez l’angle entier d’un seul coup.

Le sinus et le quadrant en douze angles

θ (degrés)sin(θ)Quadrant (0 à 4)
000
300.51
450.70711
600.8661
9010
1200.8662
1350.70712
1500.52
18000
210-0.53
270-10
330-0.54

Douze angles, trois colonnes, et aucun tiret nulle part — c’est la page qui ne refuse jamais un angle, et le tableau est l’endroit où cela se voit. Lisez la colonne des quadrants vers le bas et les quatre quarts arrivent dans l’ordre : 1 sur les premiers quatre-vingt-dix degrés, 2 de quatre-vingt-dix à cent quatre-vingts, 3 de là à deux cent soixante-dix, 4 jusqu’à un tour complet — et un zéro à quatre endroits intermédiaires, qui sont les angles d’axe n’appartenant à aucun quart. La colonne des valeurs a son propre motif. Elle monte de zéro à un sur le premier quart, redescend à zéro sur le deuxième, passe sous l’axe et atteint moins un à deux cent soixante-dix, puis remonte. Et elle se répète par couples : trente avec cent cinquante, quarante-cinq avec cent trente-cinq, soixante avec cent vingt, et deux cent dix avec trois cent trente. Chaque couple est un angle et son image miroir par rapport à l’axe vertical, ce qui revient à dire que les deux sont supplémentaires l’un de l’autre — et zéro apparaît deux fois, à zéro et à cent quatre-vingts degrés, parce qu’un angle plat ramène le point sur l’axe des abscisses. Les nombres sont repris tels quels : dans le tableau, le séparateur décimal est le point (0.7071 plutôt que 0,7071), parce que les valeurs viennent du calcul et non d’un texte.

Formule

sin θ = côté opposé ÷ hypoténuse sin θ = y ÷ r sin θ = −sin(−θ)

θ
L’angle, en degrés ou en radians. Il peut être négatif et dépasser un tour complet — seul compte l’endroit où il aboutit sur le cercle
côté opposé / hypoténuse
Les deux côtés qu’un triangle rectangle contenant l’angle θ vous donne : le côté qui fait face à θ, et le côté le plus long. Le sinus est le premier sur le second, ce qui explique qu’il ne soit jamais plus grand que un ni plus petit que moins un
y / r
Le même rapport lu sur un cercle de rayon r : y est la hauteur du point où l’angle aboutit. Sur le cercle trigonométrique r vaut un, le sinus est donc simplement cette hauteur
quadrant
Le quart du plan repéré dans lequel l’angle aboutit, compté dans le sens antihoraire à partir de l’axe des abscisses positif. Zéro signifie que l’angle se trouve exactement sur un axe et n’appartient à aucun quadrant

Prenez cette page quand vous avez un angle et que vous voulez la hauteur qui va avec — la composante verticale d’une pente, la montée d’une rampe mesurée par rapport à sa longueur, la décomposition d’une force en sa part vers le haut. C’est aussi le moyen le plus rapide de vérifier un signe : si vous savez que l’angle dépasse l’angle droit, le sinus reste positif jusqu’à cent quatre-vingts degrés, et cette page imprime le quadrant pour que vous voyiez que le point est passé à gauche tout en restant en haut. Le tableau de référence range les douze mêmes angles dans le même ordre que la page de cosinus, si bien que les deux se lisent côte à côte : là-bas une colonne porte un tiret partout où la tangente abandonne, alors que cette page n’a jamais de tiret du tout. Si vous voulez le sinus à côté du cosinus et de la tangente, la page de trigonométrie imprime les trois ensemble. Et si ce que vous avez est une valeur de sinus et que vous voulez retrouver l’angle, c’est la direction inverse, où deux angles partagent chaque valeur comprise entre moins un et un.

Exemples détaillés

  1. Un angle de 30 degrés, la valeur de départ de la page

    1. La moitié d’un triangle équilatéral est le triangle rectangle à trente degrés
    2. Le côté qui fait face à l’angle de trente degrés vaut la moitié de l’hypoténuse
    3. Un demi divisé par un donne 0,5, et le point est au-dessus de l’axe et à sa droite, le quadrant vaut donc 1

    L’angle avec lequel la page se charge, et la seule lecture de cette page qui soit exacte d’une façon qu’un lecteur voit sans décimales. Trente degrés est aussi l’angle où le sinus est le plus petit parmi les angles remarquables dont la valeur n’est pas nulle — un quart de tour vaut un, un huitième de tour vaut 0,7071, et ici c’est 0,5. La colonne des quadrants porte 1 parce que le point est au-dessus de l’axe des abscisses et à la droite de l’axe des ordonnées.

  2. Un angle de 150 degrés, le même sinus dans un autre quadrant

    1. Cent cinquante degrés, c’est trente degrés en moins d’un angle plat
    2. Le point a franchi l’axe des ordonnées vers la gauche mais reste au-dessus de l’axe des abscisses
    3. La hauteur est la même qu’à trente degrés, donc le sinus vaut 0,5 et le quadrant est devenu 2

    Le cas le plus clair de ce que justifie la colonne des quadrants : le nombre tout seul ne permet pas de distinguer ces deux angles. Trente et cent cinquante degrés partagent un sinus de 0,5, et ce sont les deux seuls angles d’un tour complet dans ce cas. Cet appariement est une règle plutôt qu’une coïncidence — le sinus d’un angle est égal au sinus de son supplément, ce que l’on voit en repliant le cercle selon son axe vertical.

  3. Un angle négatif, moins 30 degrés

    1. Moins trente degrés, c’est trente degrés mesurés dans l’autre sens, dans le sens horaire à partir de l’axe des abscisses positif
    2. Le point est maintenant sous l’axe plutôt qu’au-dessus, la hauteur est donc négative
    3. La lecture vaut −0,5 et le quadrant vaut 4

    Voilà ce que signifie une fonction impaire : changez le signe de l’angle et la réponse change de signe avec lui. Le cosinus ne se comporte pas ainsi — sa lecture à moins trente degrés est le même 0,866 qu’il donne à plus trente. La différence mérite d’être retenue, parce qu’elle revient dans toutes les formules qui mêlent les deux, et c’est pourquoi le tableau ci-dessous n’est pas symétrique par rapport à sa première ligne.

  4. Un angle de 90 degrés, où la colonne des quadrants porte zéro

    1. À l’angle droit le côté opposé et l’hypoténuse sont le même côté
    2. Un côté divisé par lui-même donne un, le sinus vaut donc 1 — la plus grande valeur qu’il prenne jamais
    3. Le point se trouve sur l’axe des ordonnées plutôt qu’à l’intérieur d’un quart, le quadrant vaut donc 0

    La lecture de 1 est le sommet de l’intervalle, et aucun angle ne la dépasse. Le zéro de la colonne des quadrants est la convention que cette page suit pour les quatre angles d’axe : zéro, quatre-vingt-dix, cent quatre-vingts et deux cent soixante-dix degrés ne sont dans aucun quadrant, parce qu’un quadrant est un quart ouvert et que l’axe en est la frontière. Les deux zéros du tableau ci-dessous viennent de cette règle, et c’est la ligne où il est le plus facile de voir pourquoi c’est la réponse honnête plutôt qu’une valeur manquante.

Limites

Trois limites à énoncer clairement. Les lectures sont données à quatre décimales et la plupart sont irrationnelles : le sinus de soixante degrés vaut la moitié de la racine carrée de trois, donc 0,866 est une troncature et non la réponse, et trente, quatre-vingt-dix et leurs symétriques sont les seules lignes de cette page dont les valeurs exactes soient courtes. Deuxièmement, le quadrant est une étiquette de quart du plan et non une mesure, et les quatre angles qui se trouvent sur un axe n’appartiennent à aucun quart — la colonne porte zéro pour eux. Ce zéro n’est ni une valeur manquante ni un cinquième quadrant ; c’est l’affirmation que l’angle est sur la frontière. Troisièmement, la page ne s’inverse pas. Avec un sinus de 0,5, l’angle peut valoir trente degrés, cent cinquante degrés, ou l’un ou l’autre plus un nombre entier quelconque de tours, et choisir entre eux demande une décision que cette page ne prend pas. Les angles au-delà d’un million de degrés dans un sens ou dans l’autre sont refusés plutôt que ramenés, parce que la réduction elle-même cesse d’avoir un sens à cette taille.

Questions fréquentes

Pourquoi le sinus ne s’arrête-t-il jamais, alors que la tangente si ?
Parce que la division se fait dans l’autre sens. Le sinus est le côté opposé sur l’hypoténuse, et l’hypoténuse est le côté le plus long, la fraction est donc toujours comprise entre moins un et un et son dénominateur n’est jamais nul. La tangente est le côté opposé sur le côté adjacent, et à l’angle droit le côté adjacent est nul — diviser par zéro n’a pas de réponse, c’est donc cet angle que la page de tangente refuse. Cette page accepte tous les angles, y compris quatre-vingt-dix degrés, où la lecture vaut un.
Que me dit la colonne des quadrants ?
Dans quel quart du plan repéré l’angle aboutit, compté dans le sens antihoraire à partir de l’axe des abscisses positif. Le signe du sinus dit si le point est au-dessus ou en dessous de l’axe et le signe du cosinus s’il est à gauche ou à droite, les deux signes ensemble nomment donc le quart. Cette page imprime le quadrant parce que le sinus seul ne le peut pas : trente degrés et cent cinquante degrés partagent un sinus de 0,5, et seul le quadrant dit lequel des deux vous avez.
Pourquoi les angles d’axe affichent-ils un quadrant nul ?
Parce que zéro, quatre-vingt-dix, cent quatre-vingts et deux cent soixante-dix degrés se trouvent sur un axe plutôt qu’à l’intérieur d’un quart, et qu’un quadrant est un quart ouvert dont la frontière est l’axe. Les ranger dans le premier quadrant serait une affirmation fausse — le point n’est pas au-dessus de l’axe des abscisses, il est dessus. Le zéro est la réponse honnête, et c’est la même convention que celle employée par la colonne des quadrants du tableau de référence.
Pourquoi le sinus de 150 degrés est-il le même que celui de 30 degrés ?
Parce que le sinus d’un angle est égal au sinus de son supplément. Cent cinquante degrés, c’est trente degrés en moins d’un angle plat, et replier le cercle selon son axe vertical envoie l’un sur l’autre, si bien que les deux points sont à la même hauteur. Les angles qui partagent un sinus sont toujours un couple à l’intérieur d’un tour complet, et ils sont des images miroir par rapport à l’axe vertical plutôt que par rapport à l’axe horizontal — ce qui explique exactement pourquoi le quadrant change tandis que la valeur ne change pas.
Le sinus est-il parfois négatif ?
Oui, à tout angle sous l’axe des abscisses, c’est-à-dire dans la seconde moitié du tour et pour tout angle négatif. La lecture est négative entre cent quatre-vingts et trois cent soixante degrés, et la plus petite valeur atteinte est moins un, à deux cent soixante-dix. Sur ce point le sinus se distingue du cosinus d’un quart de tour plutôt que d’un demi : le cosinus devient négatif dès que le point franchit l’axe vertical, et le sinus dès qu’il franchit l’axe horizontal.
Puis-je saisir l’angle en radians ?
Oui — le champ a un sélecteur d’unité à côté et la lecture est le même angle dans les deux cas. Trente degrés et 0,5236 radian donnent le même sinus, un demi, et le même quadrant. La chose à vérifier est l’unité que suppose la source à laquelle vous vous comparez, car la plupart des tableaux imprimés sont écrits en degrés alors que la plupart des langages de programmation ne le sont pas.

Références

Calculatrices liées

Calculatrice de trigonométrieSinus, cosinus et tangente d’un angle, en degrés ou radians.Calculatrice de cercle trigonométriqueSinus, cosinus et tangente d’un angle sur le cercle.Calculatrice de cosinusCosinus d’un angle en degrés ou en radians.Calculatrice de triangle rectangleRésout un triangle rectangle avec deux côtés ou un angle.Calculatrice d’arcsinusAngle à partir d’un sinus, en degrés ou en radians.