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CalcMax

Calculatrice d’arcsinus

Intervalle : -1 – 1

Résultat

30,00 °

Angle

Angle en radians
0,5236 rad

Une calculatrice d’arcsinus — le sinus inverse — transforme une valeur de sinus en angle. Vous lui donnez un nombre compris entre moins un et un ; elle vous dit quel angle a ce nombre pour sinus, en degrés et en radians. Tout ce qu’elle ne peut pas faire découle d’un seul fait : une valeur de sinus n’appartient pas à un seul angle. Un sinus de 0,5 est le sinus de trente degrés, mais aussi de cent cinquante degrés, et encore de trois cent quatre-vingt-dix degrés, et de chacun de ceux-là moins un tour complet. La fonction arc sinus renvoie exactement l’un d’entre eux — celui qui se situe entre moins quatre-vingt-dix degrés et quatre-vingt-dix degrés — et ce choix est ce que signifie la valeur principale. Ce n’est pas une affirmation que les autres n’existent pas. La fonction s’écrit arcsin, et la page donne sa réponse deux fois : une fois en degrés, une fois en radians, parce qu’on demande constamment l’une et l’autre et que c’est dans cette conversion faite à la main que se produisent la plupart des erreurs de calcul du domaine. Deux limites encadrent la réponse. La valeur doit être comprise entre moins un et un, puisque le sinus d’un angle ne sort jamais de cette bande ; demandez l’arc sinus de 1,5 et il n’y a aucun angle à donner, si bien que la page refuse au lieu d’afficher un blanc. Et la réponse est signée : une entrée négative donne un angle négatif plutôt que l’angle équivalent dans la moitié basse du cercle, ce qui est le seul endroit où cette page se lit autrement que celles de l’angle double et de l’angle moitié. Le tableau ci-dessous donne neuf valeurs avec l’angle principal, sa mesure en radians, et le second angle du cercle qui partage le même sinus.

Neuf valeurs de sinus avec l’angle principal et la seconde solution

sin(θ)θ (degrés)autre θ (degrés)θ (en radians)
-1-90270-1.5708
-0.866-60240-1.0471
-0.7071-45225-0.7854
-0.5-30210-0.5236
001800
0.5301500.5236
0.7071451350.7854
0.866601201.0471
190901.5708

La deuxième colonne est ce que la fonction renvoie et la troisième ce qu’elle laisse de côté, et ce couple est tout l’intérêt du tableau. Lisez d’abord les lignes du milieu : une valeur de zéro appartient au couple zéro et cent quatre-vingts, et 0,5 — la valeur avec laquelle la page se charge — au couple familier trente et cent cinquante. Sur toute la hauteur du tableau, les deux colonnes s’additionnent pour donner cent quatre-vingts, ce qui est l’arithmétique de la symétrie, et la somme tient même aux extrémités. Les deux extrémités sont précisément là où cela cesse d’être intéressant, et de deux façons différentes. En haut, le couple vaut quatre-vingt-dix et quatre-vingt-dix : la courbe du sinus fait demi-tour à son sommet, si bien que la symétrie de quatre-vingt-dix degrés redonne quatre-vingt-dix degrés, et les deux colonnes portent le même nombre. En bas, le couple se lit moins quatre-vingt-dix et deux cent soixante-dix, qui sont la même direction écrite de deux façons — la deuxième colonne garde le signe que la fonction renvoie et la troisième a déjà été placée sur le cercle, et les deux ne semblent être des angles différents que parce que l’une d’elles a le droit d’être négative. La quatrième colonne est la deuxième convertie ; remarquez qu’elle va de moins 1,5708 à 1,5708, soit la moitié de pi de part et d’autre, tandis que les colonnes d’angles couvrent un demi-tour entier. Les nombres sont repris tels quels : dans le tableau, le séparateur décimal est le point (0.5236 plutôt que 0,5236), parce que les valeurs viennent du calcul et non d’un texte.

Formule

θ = arcsin x x ∈ [−1, 1] θ ∈ [−90°, 90°] l’autre solution dans [0°, 360°) est 180° − θ

x
La valeur de sinus dont vous partez. Elle doit être comprise entre moins un et un : le sinus d’un angle ne peut pas sortir de cette bande, donc une valeur en dehors ne correspond à aucun angle
θ
L’angle que la fonction renvoie, appelé valeur principale. Il est toujours compris entre moins quatre-vingt-dix degrés et quatre-vingt-dix degrés, et il est donné en degrés et en radians
180° − θ
Le second angle du cercle qui a le même sinus. Les symétries par rapport à l’axe des ordonnées partagent un sinus, ce qui explique qu’on retranche de cent quatre-vingts plutôt qu’on ajoute

Prenez cette page quand vous avez un rapport et que vous voulez l’angle — une pente relevée donnée sous forme de sinus, une composante d’une force exprimée en fraction du tout, la lecture d’un tableau où seul le rapport a été tabulé. La fonction arc sinus est aussi celle qu’il faut prendre quand un problème de triangle vous donne deux côtés et demande l’angle opposé à l’un d’eux, puisque le sinus d’un angle est le côté opposé sur l’hypoténuse. Deux voisines comptent ici. Si vous voulez les trois rapports en un angle plutôt que l’angle à partir d’un rapport, la page de trigonométrie va dans l’autre sens et les deux concordent partout où elles sont définies. Et si ce que vous avez en main est le rapport du côté adjacent à l’hypoténuse, c’est l’arc cosinus, dont l’intervalle couvre la moitié haute du cercle au lieu de la moitié droite.

Exemples détaillés

  1. Une valeur de sinus de 0,5

    1. La valeur est à l’intérieur de la bande qui va de moins un à un, il y a donc un angle à trouver
    2. Trente degrés est l’angle de l’intervalle principal dont le sinus vaut 0,5, la page indique donc trente degrés
    3. En radians, cela fait trente fois pi sur cent quatre-vingts, soit un sixième de pi, ou 0,5236

    La valeur avec laquelle la page se charge, et celle qui montre ce que coûte l’intervalle choisi. Cent cinquante degrés a lui aussi un sinus de 0,5 — c’est la symétrie de trente degrés par rapport à l’axe des ordonnées — mais la fonction ne renvoie qu’un nombre, et trente est celui qui est dans l’intervalle. Le tableau rend l’angle écarté visible : 0,5 est la sixième de ses neuf lignes, et la troisième colonne de cette ligne vaut 150. Les deux angles répondent à la même question ; un seul est ce qu’une fonction a le droit de renvoyer.

  2. Une valeur de sinus de 0,25, qui n’est pas un angle remarquable

    1. Un quart n’est le sinus d’aucun angle du tableau habituel, la réponse sera donc un décimal
    2. L’angle dont le sinus vaut 0,25 est 14,48 degrés, à deux décimales
    3. En radians, le même angle vaut 0,2527, soit à peu près le quart de la valeur de sinus elle-même

    La plupart des valeurs retombent ici plutôt que sur un angle remarquable, et cette ligne montre à quoi ressemble une vraie lecture. La colonne des radians mérite un regard : pour les petits angles, la mesure en radians est très proche de la valeur de sinus elle-même, ce qui explique que 0,2527 se tienne près de 0,25. C’est l’approximation des petits angles, et le fait qu’elle apparaisse d’elle-même dans un tableau est la plus courte démonstration de la raison pour laquelle le radian est l’unité du calcul différentiel.

  3. Une valeur de sinus négative, moins 0,5

    1. Moins 0,5 est à l’intérieur de la bande, la page trouve donc un angle
    2. L’angle de l’intervalle principal dont le sinus vaut moins 0,5 est moins trente degrés
    3. Les radians suivent le même signe : moins 0,5236

    Le second endroit où cette page se lit autrement que celles de l’angle double et de l’angle moitié. Là-bas, un angle négatif était ramené dans l’intervalle avant toute chose et revenait sous forme de position dans la moitié haute du cercle. Ici la réponse reste signée, parce que l’intervalle principal est la bande qui va de moins quatre-vingt-dix à quatre-vingt-dix et que la moitié de cette bande est sous zéro. Trente degrés sous l’horizontale et trente degrés au-dessus sont le même angle avec des signes opposés, et la fonction renvoie celui dont le signe correspond à l’entrée. La ligne du tableau consacrée à moins 0,5 montre les deux lectures : moins trente dans la deuxième colonne, et 210 dans la troisième.

  4. Une valeur de sinus de 1, au bord de la bande

    1. Un est le plus grand sinus qu’un angle puisse avoir, la réponse est donc le sommet de l’intervalle principal
    2. Quatre-vingt-dix degrés a un sinus de un, et aucun angle n’en a un plus grand
    3. En radians, un angle droit vaut la moitié de pi, soit 1,5708

    La ligne où les deux solutions se confondent. Toute autre valeur de sinus de la bande appartient à deux angles différents, mais un n’appartient qu’à quatre-vingt-dix degrés et à rien d’autre sur le cercle — la courbe du sinus y fait demi-tour, si bien que la symétrie de quatre-vingt-dix degrés par rapport à l’axe des ordonnées redonne quatre-vingt-dix degrés. Le tableau le montre clairement : les deuxième et troisième colonnes de la dernière ligne portent toutes deux 90. Ce n’est pas une entrée dupliquée, c’est la courbe qui s’aplatit à son sommet.

Limites

Trois choses que cette page ne fait pas. Premièrement, une valeur en dehors de la bande qui va de moins un à un n’a pas de réponse et est refusée plutôt qu’approchée — 1,5 n’est le sinus de rien. Deuxièmement, la réponse est la valeur principale et rien de plus. Toute valeur de sinus comprise entre moins un et un appartient à deux angles dans un tour et à une infinité d’autres d’un tour à l’autre, et la page renvoie celle qui est dans la bande allant de moins quatre-vingt-dix à quatre-vingt-dix ; si l’angle que vous voulez est l’autre, la troisième colonne du tableau le donne, et s’il s’agit du même angle plus ou moins des tours entiers, rien ici ne vous dira combien. Troisièmement, les radians sont donnés à quatre décimales et les degrés à deux, si bien qu’une valeur qui retombe sur un angle remarquable après arrondi s’affichera comme cet angle — l’arc sinus de 0,866 s’affiche comme soixante degrés, alors que le sinus exact de soixante degrés est légèrement supérieur à 0,866.

Questions fréquentes

Pourquoi un arc sinus de 0,5 donne-t-il 30 degrés et non 150 ?
Parce que les deux angles ont un sinus de 0,5, et qu’une fonction ne peut renvoyer qu’un seul nombre. L’intervalle de la fonction arc sinus est fixé à la bande qui va de moins quatre-vingt-dix degrés à quatre-vingt-dix degrés, et trente est l’angle de cette bande. Cent cinquante degrés est une réponse parfaitement valable de l’équation, et le tableau de cette page le montre dans sa troisième colonne, mais ce n’est pas ce que la fonction renvoie.
Que se passe-t-il si je saisis une valeur supérieure à 1 ?
La page la refuse, parce qu’aucun angle n’a un sinus supérieur à un. Le sinus d’un angle reste entre moins un et un quoi que fasse l’angle, donc l’intervalle de la fonction réciproque est exactement cette bande et rien en dehors ne correspond à un angle. Ce n’est pas comme une valeur de 1,5 dans une division, où un grand nombre se contente de produire un petit nombre — ici la question elle-même n’a pas de réponse.
Pourquoi la réponse est-elle négative pour une valeur négative ?
Parce que l’intervalle principal va de moins quatre-vingt-dix degrés à quatre-vingt-dix degrés, et que la moitié de cet intervalle se situe sous zéro. La fonction sinus est impaire — le sinus de moins trente est l’opposé du sinus de trente — donc la défaire sur une valeur négative donne un angle négatif. L’angle équivalent dans la moitié basse du cercle, trois cent trente degrés pour une entrée de moins 0,5, est la même direction ; la page renvoie celui qui porte le signe.
Comment retrouver un angle à partir d’une valeur de sinus à la main ?
Cherchez la valeur dans un tableau de sinus, ou estimez à partir des repères : un sinus de 0,5 est trente degrés, un sinus de 0,7071 est quarante-cinq degrés, et un sinus de 0,866 est soixante degrés. Pour tout ce qui tombe entre ces repères, une calculatrice est la voie pratique. La seule chose à ne pas oublier quand on le fait à la main est le second angle : toute valeur de sinus à l’intérieur de la bande appartient à deux angles sur un tour, et un tableau n’en donne généralement qu’un.
Qu’est-ce que l’arc sinus en radians ?
Le même angle, mesuré autrement. Trente degrés font un sixième de pi, soit 0,5236 radian, et la page donne les deux pour que la conversion n’ait jamais à être faite à la main. Le radian est l’unité qui rend la dérivée du sinus égale au cosinus, ce qui explique que tout ce qui touche au calcul différentiel énonce les angles ainsi, tandis que tout ce qui se mesure au rapporteur les énonce en degrés.
L’arc sinus est-il la même chose que un divisé par le sinus ?
Non, et les deux se confondent facilement parce que l’un comme l’autre s’écrivent avec le mot sinus. L’arc sinus défait le sinus : il prend 0,5 et renvoie trente degrés. Un divisé par le sinus prend 0,5 et renvoie 2, qui est la cosécante de trente degrés — un rapport, pas un angle. La notation aggrave la confusion, puisque la réciproque s’écrit souvent avec un exposant moins un qui ressemble exactement à une puissance.

Références

Calculatrices liées

Calculatrice de trigonométrieSinus, cosinus et tangente d’un angle, en degrés ou radians.Calculatrice de cercle trigonométriqueSinus, cosinus et tangente d’un angle sur le cercle.Calculatrice d’arccosinusAngle à partir d’un cosinus, en degrés ou en radians.Calculatrice d’arctangenteAngle à partir d’une tangente, en degrés ou en radians.