Calculatrice d’arccosinus

θ = arccos x x ∈ [−1, 1] θ ∈ [0°, 180°] l’autre solution dans [0°, 360°) est 360° − θ

x

La valeur de cosinus dont vous partez, entre moins un et un. En dehors de cette bande aucun angle ne la possède, et la page refuse la valeur au lieu de l’approcher

θ

L’angle que la fonction renvoie. Contrairement à l’arc sinus, il n’est jamais négatif, parce que l’intervalle couvre la moitié haute du cercle plutôt que la moitié droite

360° − θ

Le second angle du cercle qui a le même cosinus. Les symétries par rapport à l’axe des abscisses partagent un cosinus, ce qui explique qu’on retranche ici d’un tour complet et là d’un demi-tour

Prenez cette page quand vous avez le rapport du côté adjacent à l’hypoténuse et que vous voulez l’angle entre les deux — l’angle d’une échelle contre un mur, l’angle entre deux vecteurs calculé à partir de leur produit scalaire, une direction retrouvée à partir d’un cap qui avait été stocké sous forme de cosinus. C’est aussi la fonction qu’il faut prendre quand un problème de triangle vous donne trois côtés et demande un angle, puisque la loi des cosinus produit un cosinus et rien d’autre. Deux voisines comptent. Si le rapport que vous tenez est le côté opposé sur l’hypoténuse, c’est l’arc sinus, dont l’intervalle couvre la moitié droite du cercle au lieu de la moitié haute et dont la réponse est signée ; les deux concordent dans le premier quadrant et se séparent partout ailleurs. Et si vous voulez le cosinus en un angle plutôt que l’angle à partir d’un cosinus, la page de cosinus va dans l’autre sens.

1. Une valeur de cosinus de 0,5

   1. La valeur est à l’intérieur de la bande, il y a donc un angle à trouver
   2. Soixante degrés est l’angle de l’intervalle dont le cosinus vaut 0,5, la page indique donc soixante degrés
   3. En radians, cela fait soixante fois pi sur cent quatre-vingts, soit un tiers de pi, ou 1,0472

   La valeur avec laquelle la page se charge, et celle qui montre comment les deux pages réciproques s’emboîtent. L’arc sinus de 0,5 vaut trente degrés et l’arc cosinus de 0,5 vaut soixante, et trente plus soixante font quatre-vingt-dix — ce n’est pas une coïncidence, mais l’identité qui relie les deux pages, vraie pour toute valeur de la bande. La même valeur montre aussi d’où vient la seconde solution : trois cents degrés a lui aussi un cosinus de 0,5, et c’est la symétrie de soixante par rapport à l’axe des abscisses, ce qui explique que la troisième colonne du tableau porte 300 sur cette ligne.

2. Une valeur de cosinus négative, moins 0,5

   1. Moins 0,5 est à l’intérieur de la bande, la page trouve donc un angle
   2. L’angle de l’intervalle dont le cosinus vaut moins 0,5 est cent vingt degrés
   3. En radians, cela fait deux tiers de pi, soit 2,0944

   La ligne qui explique pourquoi cette page ne renvoie jamais de réponse négative. Un cosinus négatif appartient à un angle obtus, et l’intervalle règle cela en dépassant quatre-vingt-dix degrés plutôt qu’en passant sous zéro — cent vingt degrés, et non moins soixante. La page d’arc sinus reçoit la même entrée et répond par la même direction sous forme d’angle signé, moins soixante degrés. Les deux sont justes ; les deux fonctions se partagent simplement le cercle autrement, et l’identité tient toujours : l’arc sinus de moins 0,5 vaut moins trente, et moins trente plus cent vingt font quatre-vingt-dix.

3. Une valeur de cosinus de 0,25, qui n’est pas un angle remarquable

   1. Un quart n’est le cosinus d’aucun angle du tableau habituel, la réponse sera donc un décimal
   2. L’angle dont le cosinus vaut 0,25 est 75,52 degrés
   3. En radians, le même angle vaut 1,3181

   La plupart des entrées retombent ici plutôt que sur un angle remarquable. Cette ligne est aussi l’endroit le plus clair pour voir la décroissance : un quart est un petit cosinus, et un petit cosinus appartient à un angle proche du haut de l’intervalle plutôt que du bas. Comparez avec la page d’arc sinus, où une petite valeur donne un petit angle. Ce renversement n’est pas un accident des deux définitions, c’est le même renversement que l’on voit dans la forme des deux courbes, et les tableaux le rendent visible d’une manière que les formules ne permettent pas.

4. Une valeur de cosinus de moins 1, au bord de la bande

   1. Moins un est le plus petit cosinus qu’un angle puisse avoir, la réponse est donc le sommet de l’intervalle
   2. Cent quatre-vingts degrés a un cosinus de moins un, et aucun angle n’en a un plus petit
   3. En radians, un demi-tour vaut pi, soit 3,1416

   L’une des deux lignes où la seconde solution n’est pas un second angle. Un cosinus de moins un appartient à cent quatre-vingts degrés et à rien d’autre sur le cercle, parce que la courbe du cosinus fait demi-tour à son point le plus bas et que la symétrie de ce point par rapport à l’axe des abscisses est le point lui-même. Le tableau le montre : les deuxième et troisième colonnes de la première ligne portent toutes deux 180. L’autre extrémité se comporte de la même façon, là où un cosinus de un n’appartient qu’à zéro degré. Entre ces deux lignes, toute valeur de la bande a un vrai couple, et ce couple s’additionne pour donner un tour complet.

Trois choses que cette page ne fait pas. Premièrement, une valeur en dehors de la bande qui va de moins un à un est refusée, parce qu’aucun angle n’a un tel cosinus — la même frontière que sur la page d’arc sinus, et pour la même raison. Deuxièmement, la réponse est la valeur principale et rien de plus. Tout cosinus compris entre moins un et un appartient à deux angles dans un tour et à une infinité d’autres d’un tour à l’autre, et la page renvoie celui de la moitié haute du cercle ; la troisième colonne du tableau donne l’autre, et rien ici n’indique à combien de tours entiers se trouve une copie supplémentaire. Troisièmement, les radians sont donnés à quatre décimales et les degrés à deux, si bien qu’une valeur qui s’arrondit sur un angle remarquable s’affiche comme cet angle — l’arc cosinus de 0,866 s’affiche comme trente degrés, alors que le cosinus exact de trente degrés est légèrement inférieur à 0,866.

Pourquoi un arc cosinus ne donne-t-il jamais un angle négatif ?

Parce que l’intervalle est fixé à la moitié haute du cercle, de zéro à cent quatre-vingts degrés. Un cosinus négatif appartient à un angle obtus, et cet intervalle le donne comme un angle supérieur à quatre-vingt-dix degrés plutôt que de le replier sous zéro comme le fait l’arc sinus. Moins 0,5 a un cosinus à cent vingt degrés, et non à moins soixante, même si ces deux angles pointent dans la même direction.

En quoi est-ce différent de l’arc sinus ?

Par l’intervalle, et donc par ce qui se passe hors du premier quadrant. L’arc sinus renvoie un angle compris entre moins quatre-vingt-dix et quatre-vingt-dix ; l’arc cosinus en renvoie un compris entre zéro et cent quatre-vingts. Pour toute valeur de la bande, les deux réponses s’additionnent pour donner quatre-vingt-dix degrés, ce qui est la vérification la plus rapide de l’une comme de l’autre — l’arc cosinus de 0,5 vaut soixante et l’arc sinus trente. La seconde solution se trouve elle aussi autrement, en retranchant d’un tour complet ici et d’un demi-tour là.

Que se passe-t-il si la valeur est supérieure à 1 ?

La page la refuse. Le cosinus d’un angle reste entre moins un et un quoi que fasse l’angle, donc l’intervalle de la fonction réciproque est exactement cette bande et une valeur en dehors ne correspond à aucun angle. C’est la même frontière que celle de l’arc sinus, et elle vient du même endroit : le rapport de deux côtés d’un triangle ne peut pas dépasser un quand le côté du bas est le plus long des trois.

Comment retrouver un angle à partir d’un cosinus à la main ?

Servez-vous des valeurs qui valent la peine d’être retenues — un cosinus de 0,5 est soixante degrés, 0,7071 est quarante-cinq, et 0,866 est trente — et lisez le reste sur un tableau ou une calculatrice. Pensez ensuite au second angle, qui est la symétrie du premier par rapport à l’axe des abscisses et s’obtient en retranchant de trois cent soixante. C’est la page qu’il faut prendre quand un triangle vous donne trois côtés : la loi des cosinus vous tend un cosinus et s’arrête là.

Pourquoi le tableau va-t-il à l’envers ?

Parce que le cosinus décroît à mesure que l’angle grandit. Sur l’intervalle que cette page couvre, de zéro à cent quatre-vingts degrés, le cosinus tombe de un à moins un, si bien qu’une entrée plus grande signifie toujours un angle plus petit. Lisez le tableau de haut en bas et la colonne des réponses passe de cent quatre-vingts à zéro. La page d’arc sinus se comporte dans l’autre sens, et cette différence est la même que celle que l’on voit dans la forme des deux courbes.

L’arc cosinus est-il la même chose que un divisé par le cosinus ?

Non. L’arc cosinus défait le cosinus : donnez-lui 0,5 et il renvoie soixante degrés. Un divisé par le cosinus donne à 0,5 la réponse 2, qui est la sécante de soixante degrés — un rapport plutôt qu’un angle. La notation rend la confusion facile, parce que la réciproque s’écrit souvent avec un exposant moins un qui ressemble à une puissance sans en être une.

• Inverse Cosine — the function this page computes, with its range and the sense in which it decreases — Wolfram MathWorld (United States)
• Inverse Trigonometric Functions — all three inverse functions together, with the ranges that separate them — Wolfram MathWorld (United States)
• Trigonometric Functions — the definitions of sine, cosine and tangent, and the identity that ties the first two together — Wolfram MathWorld (United States)
• Inverse Sine, Cosine, Tangent — the same three functions in plain language, with the range diagrams side by side — Math is Fun (United Kingdom)