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CalcMax

Calculatrice d’arctangente

Résultat

45,00 °

Angle

Angle en radians
0,7854 rad

Une calculatrice d’arctangente transforme une valeur de tangente en l’angle auquel elle appartient, en degrés et en radians. Le rapport que vous lui donnez est celui qu’on écrit tan. Contrairement aux deux autres fonctions inverses, elle accepte n’importe quelle valeur réelle : une pente peut être aussi raide que vous voulez, il n’y a donc aucune bande à respecter, et une tangente d’un million est une entrée parfaitement acceptable. L’angle qui revient se situe toujours entre moins quatre-vingt-dix degrés et quatre-vingt-dix, et les deux bouts de cet intervalle sont la partie intéressante, parce qu’aucun des deux n’est jamais atteint. Une tangente de quatre-vingt-dix degrés n’existe pas — le rapport mettrait le côté adjacent à zéro et diviserait par lui. Si grande que soit la valeur que vous saisissez, la réponse grimpe donc vers quatre-vingt-dix et s’arrête juste avant, et la page imprime quatre-vingt-dix degrés pour tout ce qui est assez grand pour que l’écart passe sous la dernière décimale affichée. C’est un artefact d’arrondi et non une réponse, et il vaut la peine de le savoir avant que cela arrive. Le reste de la page découle d’une propriété de plus. La tangente se répète tous les demi-tours plutôt qu’à chaque tour complet, si bien qu’une tangente de un appartient à quarante-cinq degrés et à deux cent vingt-cinq, et que ces deux angles sont séparés d’un demi-tour au lieu d’être symétriques l’un de l’autre. Le tableau ci-dessous donne neuf valeurs avec leur angle, leurs radians et l’angle partenaire à un demi-tour. Deux voisines valent un regard. Si le rapport que vous tenez est le côté opposé sur l’hypoténuse, c’est l’arc sinus, qui vit à l’intérieur de la bande qui va de moins un à un et répond dans la moitié droite du cercle. Et si c’est l’adjacent sur l’hypoténuse, c’est l’arc cosinus, dont l’intervalle est la moitié haute du cercle et dont les réponses ne sont jamais négatives.

Neuf valeurs de tangente avec l’angle principal et le partenaire à un demi-tour

tan(θ)θ (degrés)autre θ (degrés)θ (en radians)
-3-71.57108.43-1.249
-1.7321-60120-1.0472
-1-45135-0.7854
-0.5774-30150-0.5236
001800
0.5774302100.5236
1452250.7854
1.7321602401.0472
371.57251.571.249

C’est le seul tableau des trois pages réciproques où aucune ligne ne voit ses deux colonnes d’angles s’accorder, et la raison mérite un instant. Sur la page d’arc sinus comme sur celle d’arc cosinus, la seconde solution est une symétrie, si bien qu’aux deux points de rebroussement de la courbe le partenaire est l’angle lui-même et les deux colonnes impriment le même nombre ; les lignes de ces tableaux qui portent quatre-vingt-dix avec quatre-vingt-dix sont cet effondrement. La tangente n’a ni point de rebroussement ni borne : elle monte de moins l’infini à plus l’infini sur un seul demi-tour, et ses deux colonnes d’angles sont toujours séparées d’un demi-tour. Ici chaque ligne diffère donc de cent quatre-vingts, et il n’y a aucune ligne aux extrémités pour s’effondrer puisque les extrémités ne sont pas dans le tableau — l’intervalle est ouvert, et les angles grimpent vers quatre-vingt-dix et vers moins quatre-vingt-dix sans jamais les atteindre. Lisez la première et la dernière ligne ensemble : trois et moins trois donnent des angles qui sont les images miroir l’un de l’autre, soixante et onze virgule cinquante-sept au-dessus de zéro et autant en dessous, et les deux colonnes de partenaires se répondent de la même façon autour de la ligne du milieu. Les nombres sont repris tels quels : dans le tableau, le séparateur décimal est le point (1.0472 plutôt que 1,0472), parce que les valeurs viennent du calcul et non d’un texte.

Formule

θ = arctan x x ∈ ℝ θ ∈ (−90°, 90°) l’autre solution dans [0°, 360°) est θ + 180°

x
La valeur de tangente, qui peut être n’importe quel nombre réel. Rien n’est refusé ici, parce que la tangente prend toute valeur réelle quelque part sur le cercle
θ
L’angle que la fonction renvoie, toujours strictement compris entre moins quatre-vingt-dix degrés et quatre-vingt-dix. Les deux bornes sont exclues, parce que la tangente n’a de valeur ni à l’une ni à l’autre
θ + 180°
Le second angle du cercle qui a la même tangente. La tangente se répète tous les demi-tours, si bien que le partenaire s’obtient en ajoutant plutôt qu’en réfléchissant par rapport à un axe

Prenez cette page chaque fois que le rapport que vous avez est une pente — la montée sur la distance horizontale, le gradient d’une route ou d’un toit, la direction d’un vecteur dans le plan, ce qui revient à calculer une pente à partir de deux points. C’est aussi la fonction inverse à prendre quand les deux côtés que vous connaissez sont ceux qui se rencontrent à l’angle droit, puisque la tangente d’un angle est le côté opposé sur le côté adjacent, et c’est la seule des trois qui ne refuse jamais une entrée pour cause de grandeur. Deux voisines comptent. Si le rapport que vous tenez est le côté opposé sur l’hypoténuse, c’est l’arc sinus, dont l’intervalle couvre la moitié droite du cercle au lieu de la bande du milieu. Et si ce que vous voulez est la tangente en un angle plutôt que l’angle à partir d’une tangente, la page de tangente va dans l’autre sens, et elle explique pourquoi le rapport explose à l’angle droit.

Exemples détaillés

  1. Une valeur de tangente de 1

    1. La valeur est acceptée quelle qu’elle soit, il y a donc un angle à trouver
    2. Quarante-cinq degrés est l’angle de l’intervalle dont la tangente vaut 1, la page indique donc quarante-cinq degrés
    3. En radians, cela fait un quart de pi, soit 0,7854

    La valeur avec laquelle la page se charge, et le plus petit exemple du partenaire à un demi-tour. Une tangente de un appartient aussi à deux cent vingt-cinq degrés, qui font quarante-cinq plus un demi-tour — la troisième colonne du tableau porte 225 sur cette ligne. Remarquez ce que le partenaire n’est pas : ce n’est pas la symétrie de quarante-cinq par rapport à l’un ou l’autre axe, comme la seconde solution des pages d’arc sinus et d’arc cosinus. La tangente se contente de se répéter un demi-tour plus loin, ce qui revient à dire que sa période est de cent quatre-vingts degrés plutôt que de trois cent soixante.

  2. Une valeur de tangente négative, moins 1

    1. La valeur est acceptée, et comme elle est négative la réponse le sera aussi
    2. L’angle de l’intervalle dont la tangente vaut moins 1 est moins quarante-cinq degrés
    3. Les radians suivent le signe : moins 0,7854

    La convention signée, comme sur la page d’arc sinus et contrairement à celle d’arc cosinus. Une pente négative donne un angle négatif, parce que l’intervalle est la bande qui va de moins quatre-vingt-dix à quatre-vingt-dix et que la moitié de cette bande est sous zéro. Le partenaire est ici cent trente-cinq degrés, qui font moins quarante-cinq plus un demi-tour, et c’est aussi la symétrie de quarante-cinq par rapport à l’axe des ordonnées — mais cette coïncidence appartient à cette valeur-là et non à la page, et elle cesse de tenir dès que la valeur n’est plus exactement moins un.

  3. Une valeur de tangente de 0,5, qui n’est pas un angle remarquable

    1. Un demi n’est la tangente d’aucun angle du tableau habituel, la réponse sera donc un décimal
    2. L’angle dont la tangente vaut 0,5 est 26,57 degrés
    3. En radians, le même angle vaut 0,4636

    La plupart des pentes retombent sur une ligne de ce genre plutôt que sur un angle remarquable. C’est aussi l’endroit le plus clair pour voir la forme de la réponse : quand la valeur grandit, l’angle grimpe vers quatre-vingt-dix sans jamais le toucher, et quand la valeur diminue vers zéro, l’angle redescend vers zéro. La tangente d’un petit angle est très proche de l’angle lui-même en radians — 0,4636 contre 0,5 — ce qui est la même approximation des petits angles que celle qui apparaît sur la page d’arc sinus, et elle est ici plus lâche que là-bas.

  4. Une valeur de tangente d’un million, au bord de l’intervalle

    1. Un million est une entrée ordinaire ici, puisqu’aucune borne ne s’applique
    2. L’angle dont la tangente vaut un million est 89,99994 degrés, un cheveu sous quatre-vingt-dix
    3. Deux décimales ne suffisent pas à montrer l’écart, la page imprime donc quatre-vingt-dix degrés

    La ligne pour laquelle la page existe. Quatre-vingt-dix degrés n’est pas dans l’intervalle et n’y sera jamais — la tangente n’y a aucune valeur —, mais une entrée de cette taille arrive assez près pour que la réponse imprimée s’arrondisse dessus. Le chiffre affiché est honnête sur ce qu’il est : l’angle vaut quatre-vingt-dix degrés à la précision montrée. Ce qui serait faux, c’est de le lire comme une valeur exacte, ou pire, de conclure que la tangente de quatre-vingt-dix degrés vaut un million au lieu d’être indéfinie. Poussez l’entrée plus loin, à cent millions, et l’angle réel se rapproche encore de quatre-vingt-dix sans que la lecture change.

Limites

Trois choses que cette page ne fait pas. Premièrement, les bornes de l’intervalle ne sont jamais renvoyées. Quatre-vingt-dix degrés et moins quatre-vingt-dix sont exclus, parce que la tangente n’y a pas de valeur, si bien que la réponse s’en approche sans y arriver ; pour des entrées assez grandes pour que l’écart tombe sous deux décimales, la page imprime quand même la borne, et cette lecture est arrondie plutôt qu’exacte. Deuxièmement, la réponse est la valeur principale et rien de plus. La tangente se répète tous les demi-tours, donc chaque valeur de cette page appartient à deux angles dans un tour et à une infinité d’autres d’un tour à l’autre, et la page renvoie celui qui est strictement entre moins quatre-vingt-dix et quatre-vingt-dix ; la troisième colonne du tableau donne le partenaire, à un demi-tour de là. Troisièmement, les radians sont donnés à quatre décimales et les degrés à deux, si bien qu’une valeur qui retombe près d’un angle remarquable après arrondi s’affichera comme cet angle — l’arc tangente de 1,7321 s’affiche comme soixante degrés, alors que la tangente exacte de soixante degrés est légèrement plus grande.

Questions fréquentes

Pourquoi toute valeur est-elle acceptée ici alors que les deux autres pages refusent au-delà de 1 ?
Parce que la tangente n’a pas de borne supérieure. L’arc sinus et l’arc cosinus prennent un rapport de deux côtés dont le plus long est au dénominateur, leur entrée ne peut donc pas dépasser un ; la tangente est le côté opposé sur le côté adjacent, et aucun de ces deux-là n’est le plus long, si bien que le rapport peut être aussi grand que le triangle est raide. Une tangente d’un million est la pente d’un mur un million de fois plus haut que large.
Pourquoi une très grande valeur donne-t-elle exactement 90 degrés ?
À proprement parler elle ne le fait pas — elle donne un angle juste sous quatre-vingt-dix qui s’arrondit dessus. Quatre-vingt-dix degrés n’est pas dans l’intervalle, parce que la tangente n’y a pas de valeur : le rapport diviserait par zéro. À mesure que l’entrée grandit, la réponse grimpe vers quatre-vingt-dix sans y arriver, si bien qu’au-delà d’environ dix mille la réponse imprimée vaut quatre-vingt-dix degrés aux deux décimales affichées. La lecture est correcte à cette précision et fausse si vous la prenez pour exacte.
Pourquoi le second angle est-il à un demi-tour plutôt qu’une symétrie ?
Parce que la tangente se répète tous les cent quatre-vingts degrés plutôt que tous les trois cent soixante. Ajouter un demi-tour à un angle change le signe du côté opposé et celui du côté adjacent en même temps, donc leur rapport ne bouge pas. Les pages d’arc sinus et d’arc cosinus trouvent leur seconde solution par symétrie par rapport à un axe, parce que le sinus et le cosinus sont partagés par des images miroir ; la tangente ne l’est pas, et son partenaire vient donc d’une addition plutôt que d’une soustraction.
Comment trouver un angle à partir d’une tangente à la main ?
Retenez qu’une tangente de 1 vaut quarante-cinq degrés et qu’une tangente de 1,7321 vaut soixante, tirez le reste d’un tableau ou d’une calculatrice, puis ajoutez cent quatre-vingts degrés si vous voulez l’autre angle du cercle. C’est la fonction inverse à utiliser pour une pente — la montée sur la distance horizontale — et celle à utiliser quand les deux côtés que vous connaissez sont les deux qui se rencontrent à l’angle droit.
Pourquoi la réponse est-elle négative pour une valeur négative ?
Parce que l’intervalle va de moins quatre-vingt-dix degrés à quatre-vingt-dix, et que la moitié de cet intervalle se situe sous zéro. Une tangente négative signifie que le côté opposé et le côté adjacent ont des signes contraires, ce qui est une pente qui descend plutôt qu’une qui monte, et la page la rapporte avec le signe que suggère l’entrée. L’angle partenaire, à un demi-tour de là, est positif — moins quarante-cinq et cent trente-cinq sont la même pente parcourue dans deux sens opposés.
L’arc tangente est-il la même chose que un divisé par la tangente ?
Non. L’arc tangente défait la tangente : donnez-lui 1 et il renvoie quarante-cinq degrés. Un divisé par la tangente donne à 1 la réponse 1, qui est la cotangente de quarante-cinq degrés — un rapport plutôt qu’un angle. Les deux ne coïncident qu’à quarante-cinq degrés, ce qui est exactement le genre de coïncidence qui rend la confusion si tenace.

Références

Calculatrices liées

Calculatrice de cotangenteCotangente d’un angle en degrés ou en radians.Calculatrice de trigonométrieSinus, cosinus et tangente d’un angle, en degrés ou radians.Calculatrice d’arcsinusAngle à partir d’un sinus, en degrés ou en radians.Calculatrice d’arccosinusAngle à partir d’un cosinus, en degrés ou en radians.