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Calculatrice de cotangente

Intervalle : -1 000 000 ° – 1 000 000 °

Résultat

1,0000

Cotangente

Une calculatrice de cotangente donne la cotangente d’un angle — la réciproque de la tangente, qui est aussi le rapport du côté adjacent à l’angle sur le côté qui lui fait face. Des six rapports qu’offre un triangle rectangle, c’est celui qui retourne la tangente : là où la tangente est l’opposé sur l’adjacent, la cotangente est l’adjacent sur l’opposé, si bien que les deux sont un divisé par l’autre à tout angle où elles existent toutes les deux. Cette relation de réciprocité mérite d’être retenue, parce qu’elle explique en une étape tout ce que cette fonction a d’étrange. La tangente s’épuise à l’angle droit, là où le côté adjacent s’est réduit à rien ; la cotangente s’épuise à zéro degré, là où c’est le côté opposé qui se réduit. Amenez l’angle à l’angle droit et les rôles s’échangent — la tangente n’a plus de valeur et la cotangente vaut zéro ; amenez-le à zéro et la cotangente n’a plus de valeur tandis que la tangente vaut zéro. Cette page refuse donc exactement les angles que la page de tangente accepte, et répond exactement à ceux qu’elle refuse. Le tableau ci-dessous imprime les deux colonnes pour que vous le voyiez plutôt que de le prendre sur parole. Deux autres choses découlent de la définition. La cotangente est une fonction impaire, donc un angle négatif donne l’opposé de la réponse ; et elle se répète tous les demi-tours plutôt qu’à chaque tour complet, comme la tangente, parce que retourner à la fois le côté adjacent et le côté opposé ne change rien à leur rapport. Quarante-cinq degrés est le seul angle où la lecture est un nombre entier — exactement un, puisque les deux côtés de ce triangle sont égaux — et tout le reste est la réciproque d’une racine.

La tangente et la cotangente côte à côte en douze angles

θ (degrés)tan(θ)cot(θ)
00—
300.57741.7321
4511
601.73210.5774
90—0
120-1.7321-0.5774
135-1-1
150-0.5774-1.7321
1800—
2100.57741.7321
270—0
330-0.5774-1.7321

Deux colonnes et douze angles, et toute la raison d’imprimer les deux tient dans les deux tirets : ils se trouvent dans la colonne de tangente à quatre-vingt-dix et à deux cent soixante-dix degrés, et dans la colonne de cotangente à zéro et à cent quatre-vingts. Les deux fonctions ne défaillent nulle part en même temps, et c’est la relation de réciprocité énoncée sous forme d’image. Lisez les lignes par paires et le reste du motif apparaît aussi. À quarante-cinq degrés les deux colonnes portent un, ce que signifie qu’un nombre est sa propre réciproque. À trente et à soixante les deux colonnes portent la réponse l’une de l’autre, parce que la cotangente d’un angle vaut la tangente de son complément. Et partout où une colonne est grande l’autre est petite — à trente degrés, 0,5774 contre 1,7321 — puisque le produit des deux vaut un. Les nombres sont repris tels quels : dans le tableau, le séparateur décimal est le point (0.5774 plutôt que 0,5774), parce que les valeurs viennent du calcul et non d’un texte.

Formule

cot θ = 1 ÷ tan θ cot θ = côté adjacent ÷ côté opposé cot θ = cos θ ÷ sin θ

θ
L’angle, en degrés ou en radians. Il peut être négatif et dépasser un tour complet — seul compte l’endroit où il aboutit sur le cercle
côté adjacent / côté opposé
Les deux côtés d’un triangle rectangle contenant l’angle θ : le côté voisin de θ et le côté qui lui fait face. La cotangente est le premier sur le second, ce qui est la tangente retournée
tan θ
La tangente du même angle. Un divisé par elle donne la cotangente partout où elle n’est pas nulle — à l’angle droit la tangente n’a pas de valeur, et la cotangente y vaut zéro à la place

Prenez cette page quand le rapport que vous voulez est celui qui met le côté adjacent au-dessus — une pente exprimée en distance horizontale sur montée plutôt que l’inverse, une vitesse d’ascension annoncée dans l’autre sens, un angle que vous connaissez en degrés et dont vous voulez l’inverse de la tangente. Le tableau de cotangente ci-dessous donne les deux colonnes, c’est donc aussi le moyen le plus rapide de voir comment la tangente et la cotangente échangent leurs places : l’une des colonnes porte un tiret exactement là où l’autre porte un zéro. Si vous voulez la tangente plutôt que son inverse, et le sinus et le cosinus en plus, la page de trigonométrie imprime les trois ensemble et les nombres concordent jusqu’à la dernière décimale. Et si ce que vous avez est une cotangente et que vous voulez retrouver l’angle, c’est la direction inverse, qui est une autre question avec plus d’une réponse.

Exemples détaillés

  1. Un angle de 45 degrés, la seule réponse en nombre entier

    1. À quarante-cinq degrés les deux côtés du triangle rectangle sont égaux
    2. La cotangente est le côté adjacent sur le côté opposé
    3. Des quantités égales divisées l’une par l’autre donnent exactement un, la lecture est donc 1 et non 0,9999

    L’angle avec lequel la page se charge, et le seul angle auquel cette fonction produise un entier. Quarante-cinq degrés est aussi l’angle où la tangente vaut un, et ce n’est pas un hasard : si un nombre est sa propre réciproque, la fonction et sa réciproque y coïncident. Toutes les autres lectures de cette page sont soit une racine, soit la réciproque d’une racine, ce qui explique que le tableau ci-dessous soit écrit à quatre décimales.

  2. Un angle de 30 degrés

    1. La tangente de trente degrés vaut √3/3, soit environ 0,5774
    2. La cotangente est un divisé par ce nombre, c’est-à-dire √3
    3. Arrondi à quatre décimales, √3 vaut 1,7321

    La cotangente de trente degrés est le même nombre que la tangente de soixante degrés, et c’est une règle plutôt qu’une coïncidence : les deux angles aigus d’un triangle rectangle s’additionnent pour donner quatre-vingt-dix, et le côté qui fait face à l’un est le côté voisin de l’autre. La cotangente d’un angle est donc toujours la tangente de son complément, et le tableau ci-dessous montre le couple sur deux lignes voisines.

  3. Un angle du deuxième quadrant, 135 degrés

    1. Cent trente-cinq degrés, c’est quarante-cinq degrés au-delà de l’angle droit
    2. Le point est dans le deuxième quadrant, le côté adjacent est donc devenu négatif tandis que le côté opposé reste positif
    3. Un négatif divisé par un positif donne un négatif, la cotangente vaut donc −1

    Exactement l’opposé de la lecture à quarante-cinq degrés, et c’est le schéma de tout le deuxième quadrant : la taille de la cotangente ne change pas par rapport à l’angle du premier quadrant rabattu dessus, seul le signe bouge. La valeur absolue revient ici à un parce que le triangle a la même forme qu’à quarante-cinq degrés, simplement placé autrement.

  4. Un angle de 90 degrés, où la cotangente vaut zéro

    1. À l’angle droit le côté adjacent s’est réduit à zéro
    2. La cotangente est le côté adjacent sur le côté opposé, c’est donc zéro sur un nombre positif
    3. Zéro divisé par n’importe quoi de non nul donne zéro, la lecture est donc 0

    Voilà l’angle que la page de tangente refuse, et il donne ici une lecture ordinaire de zéro. Rien n’est traité comme un cas particulier : le rapport a un zéro au-dessus plutôt qu’en dessous, et diviser zéro par un nombre est permis. C’est l’illustration la plus nette de ce que fait la relation de réciprocité — les deux fonctions ne diffèrent pas seulement de taille à cet angle, elles échangent le défini et l’indéfini.

Limites

Trois limites à énoncer clairement. Les lectures sont données à quatre décimales et la plupart sont irrationnelles : la cotangente de trente degrés vaut √3, donc 1,7321 est une troncature et non la réponse. Quarante-cinq degrés est le seul angle de cette page dont la valeur soit exacte et finie, ce qui explique que le tableau paraisse inégal — certaines lignes tombent sur des nombres propres et les autres non. Deuxièmement, la cotangente n’a pas de valeur à zéro degré, à cent quatre-vingts degrés, ni à aucun angle qui se ramène à l’un ou à l’autre, angles négatifs et angles au-delà d’un tour complet compris ; cette page les refuse tous, et le même refus couvre tout angle obtenu en ajoutant un tour complet à ces deux-là. Troisièmement, la page ne s’inverse pas. Avec une cotangente de 1,7321, l’angle peut valoir trente degrés, deux cent dix degrés, ou n’importe lequel des angles infiniment nombreux séparés d’un demi-tour, et choisir entre eux demande une décision que cette page ne prend pas.

Questions fréquentes

Pourquoi la cotangente n’a-t-elle pas de valeur à 0 degré ?
Parce que la cotangente est le côté adjacent divisé par le côté opposé, et qu’à zéro degré le côté opposé s’est réduit à rien. Diviser par zéro n’a pas de réponse. C’est la même défaillance que celle de la tangente à quatre-vingt-dix degrés, déplacée d’un quart de tour : les deux fonctions sont réciproques, donc partout où l’une est nulle l’autre est indéfinie, et les zéros et les pôles échangent leurs places.
La cotangente, est-ce simplement un sur la tangente ?
Oui, et c’est la description la plus courte. C’est aussi le cosinus divisé par le sinus, et le côté adjacent sur le côté opposé, et les trois disent la même chose. Le seul endroit où il faut prendre garde est aux angles où la tangente est nulle ou indéfinie : un sur zéro n’est pas un nombre, la cotangente est donc indéfinie à zéro et à cent quatre-vingts degrés alors même que la tangente y est définie, et elle est nulle à quatre-vingt-dix et à deux cent soixante-dix degrés, où la tangente ne l’est pas.
Pourquoi la cotangente de 90 degrés vaut-elle zéro ?
Parce qu’à l’angle droit le côté adjacent s’est réduit à rien tandis que le côté opposé est à sa plus grande longueur. Un rapport avec zéro au-dessus vaut zéro, la lecture est donc un zéro ordinaire — rien n’est traité comme un cas particulier. C’est l’angle que la page de trigonométrie refuse, et le contraste est tout l’intérêt : les deux fonctions échangent laquelle a une réponse et laquelle n’en a pas.
Que signifie une cotangente négative ?
Que les deux côtés du triangle ont des signes opposés, ce qui arrive dans les deuxième et quatrième quadrants. Au-delà de l’angle droit le côté adjacent pointe dans l’autre sens tandis que le côté opposé ne bouge pas, le rapport devient donc négatif et le reste jusqu’à cent quatre-vingts degrés, redevient positif dans le troisième quadrant où les deux sont négatifs, et redevient négatif au-delà de deux cent soixante-dix.
La cotangente se répète-t-elle, et à quelle fréquence ?
Tous les demi-tours, soit deux fois plus souvent que le sinus et le cosinus. Ajouter cent quatre-vingts degrés à un angle change le signe du côté adjacent et celui du côté opposé en même temps, et le rapport de deux quantités retournées est inchangé. Trente degrés et deux cent dix degrés partagent donc une cotangente de 1,7321, et le tableau ci-dessous montre ce couple sur deux lignes séparées de huit rangs. Le sinus et le cosinus, eux, ont besoin d’un tour complet pour revenir.
L’angle peut-il être saisi en radians ?
Oui — le champ a un sélecteur d’unité à côté et la lecture est le même angle dans les deux cas. Quarante-cinq degrés et 0,7854 radian donnent la même cotangente, un. Comme toujours, la chose à vérifier est l’unité que suppose la source à laquelle vous vous comparez, car la plupart des tableaux sont écrits en degrés.

Références

Calculatrices liées

Calculatrice de tangenteTangente d’un angle en degrés ou en radians.Calculatrice de trigonométrieSinus, cosinus et tangente d’un angle, en degrés ou radians.Calculatrice de cercle trigonométriqueSinus, cosinus et tangente d’un angle sur le cercle.Calculatrice de cosinusCosinus d’un angle en degrés ou en radians.Calculatrice de triangle rectangleRésout un triangle rectangle avec deux côtés ou un angle.