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CalcMax

Calculatrice de tangente

Intervalle : -1 000 000 ° – 1 000 000 °

Résultat

1,0000

Tangente

Une calculatrice de tangente donne la tangente d’un angle — le rapport du côté qui fait face à cet angle sur le côté qui le borde, ce qui, sur le cercle trigonométrique, est le coefficient directeur de la droite que l’angle dessine. Là où le sinus répond à quelle hauteur et le cosinus à de combien sur le côté, celle-ci est celle qui répond à quelle inclinaison : c’est la montée divisée par la distance horizontale, ce qui explique que ce soit le nombre vers lequel se tournent un géomètre, un couvreur et un concepteur de rampe. C’est aussi la seule des trois qui puisse valoir n’importe quel nombre. Le sinus et le cosinus sont enfermés entre moins un et un, tandis que la tangente monte sans limite à mesure que l’angle approche de l’angle droit par en dessous, revient de l’autre côté tout en bas de l’intervalle, et peut donc lire deux, ou deux cents, ou deux millions. Cette absence de borne est toute l’histoire de cette fonction, parce que c’est d’elle que parlent les deux lignes manquantes du tableau de référence. À exactement quatre-vingt-dix degrés le côté adjacent s’est réduit à rien, la division n’a donc pas de réponse ; à deux cent soixante-dix degrés la même chose se produit un demi-tour plus loin, et à ces deux angles la tangente est indéfinie. Tout autre angle donne une valeur, y compris ceux où la tangente vaut zéro — zéro, cent quatre-vingts, et chaque tour complet — parce qu’un numérateur nul sur un dénominateur non nul est un zéro ordinaire. Trois propriétés découlent de la définition. La tangente est impaire, donc un angle négatif donne l’opposé de la réponse. Sa période est d’un demi-tour plutôt que d’un tour complet, parce qu’ajouter cent quatre-vingts degrés change le signe du côté opposé et celui du côté adjacent en même temps, et que le rapport de deux quantités retournées est inchangé — trente et deux cent dix degrés partagent donc une lecture. Et son signe n’est pas celui du sinus : au-delà de l’angle droit le sinus est encore positif tandis que la tangente a déjà basculé du côté négatif, parce que le côté adjacent a franchi l’axe alors que le côté opposé ne l’a pas fait. La page de trigonométrie imprime les trois rapports ensemble et les nombres concordent jusqu’à la dernière décimale ; le tableau ci-dessous est cette fonction seule, aux douze mêmes angles que les autres pages de cette famille, si bien que les lignes se comparent directement.

La tangente en douze angles, et les deux où elle n’existe pas

θ (degrés)tan(θ)
00
300.5774
451
601.7321
90—
120-1.7321
135-1
150-0.5774
1800
2100.5774
270—
330-0.5774

Douze angles et deux colonnes, et les deux tirets sont tout l’intérêt du tableau : ils se trouvent à quatre-vingt-dix et à deux cent soixante-dix degrés, les deux angles où le côté adjacent est nul. Entre les deux, la lecture parcourt toute la longueur de la droite des nombres. Elle monte de zéro à 0,5774 à trente degrés et à 1 à quarante-cinq, puis à 1,7321 à soixante, avant de disparaître à quatre-vingt-dix ; elle revient tout en bas de l’autre côté, remonte par moins un à cent trente-cinq et moins 0,5774 à cent cinquante jusqu’à zéro à l’angle plat, puis répète toute la figure — parce que la période est d’un demi-tour plutôt que d’un tour complet. C’est pourquoi trente et deux cent dix degrés portent le même nombre, et c’est le seul point sur lequel ce tableau ne rejoint pas les pages de sinus et de cosinus : ces deux-là ont besoin d’un tour complet avant qu’une ligne puisse se répéter. Les nombres sont repris tels quels : dans le tableau, le séparateur décimal est le point (0.5774 plutôt que 0,5774), parce que les valeurs viennent du calcul et non d’un texte.

Formule

tan θ = côté opposé ÷ côté adjacent tan θ = sin θ ÷ cos θ tan θ = pente

θ
L’angle, en degrés ou en radians. Il peut être négatif et dépasser un tour complet — seul compte l’endroit où il aboutit sur le cercle
côté opposé / côté adjacent
Les deux côtés d’un triangle rectangle contenant l’angle θ : le côté qui fait face à θ et le côté qui le borde. La tangente est le premier sur le second — l’hypoténuse n’y joue aucun rôle
sin θ ÷ cos θ
Le même rapport exprimé à l’aide des deux autres. C’est la forme qui explique les pôles : partout où le cosinus est nul la division n’a pas de réponse, et le cosinus est nul à quatre-vingt-dix et à deux cent soixante-dix degrés
pente
Ce que le rapport signifie sur le cercle trigonométrique : le coefficient directeur de la droite qui va de l’origine au point où l’angle aboutit. Une tangente de un est une droite à quarante-cinq degrés, et plus la lecture est grande plus la droite est raide

Prenez cette page quand la grandeur que vous voulez est une inclinaison plutôt qu’une hauteur — la pente d’un toit exprimée en montée sur distance horizontale, le dénivelé d’une route en pourcentage, l’angle auquel il faut régler une échelle ou une rampe, la direction d’une droite passant par deux points. C’est aussi la page à prendre quand vous voulez savoir à quel point quelque chose est raide en un seul nombre plutôt qu’en deux, puisque le sinus et le cosinus ne vous disent chacun que la moitié de la direction. Deux choses à garder en tête à la lecture. Si l’angle dépasse quatre-vingt-dix degrés, la lecture devient négative et continue de grandir en valeur absolue de l’autre côté, et si vous travaillez d’après un dessin plutôt que d’après des coordonnées, ce signe vous dit que la droite penche dans l’autre sens et non que la raideur a changé. Et si l’angle s’approche de l’angle droit, la lecture grandit sans borne, ce qui est la page qui vous dit que la ligne est devenue verticale — à exactement quatre-vingt-dix degrés il n’y a aucune lecture à donner, parce qu’une ligne verticale n’a pas de distance horizontale par laquelle diviser. La formule se lit dans les deux sens : la tangente d’un angle vaut aussi la pente de la droite qu’il dessine, ce qui est la même quantité écrite dans le langage des gradients. Si vous voulez le sinus et le cosinus à côté, la page de trigonométrie imprime les trois ; et si vous voulez la réciproque de ce nombre, c’est une autre fonction, dont les pôles sont aux deux autres endroits.

Exemples détaillés

  1. Un angle de 45 degrés, la seule réponse en nombre entier

    1. À quarante-cinq degrés les deux côtés du triangle rectangle sont égaux
    2. La tangente est le côté opposé sur le côté adjacent
    3. Des quantités égales divisées l’une par l’autre donnent exactement un, la lecture est donc 1 et non 0,9999

    L’angle avec lequel la page se charge, et le seul angle auquel cette fonction produise un entier. Quarante-cinq degrés est aussi l’angle dont la droite a une pente de un, ce qui est la même affirmation dans le langage des gradients : une unité vers le haut pour une unité vers la droite. Toutes les autres lectures de cette page sont soit une racine, soit la réciproque d’une racine, ce qui explique que le tableau ci-dessous soit écrit à quatre décimales.

  2. Un angle de 30 degrés

    1. Le côté opposé à trente degrés vaut la moitié de l’hypoténuse
    2. Le côté adjacent est l’autre côté, qui vaut la moitié de la racine carrée de trois
    3. Un demi divisé par la moitié de la racine de trois donne un sur racine de trois, soit environ 0,5774

    La tangente de trente degrés est la cotangente de soixante degrés, et c’est une règle plutôt qu’une coïncidence : les deux angles aigus d’un triangle rectangle s’additionnent pour donner quatre-vingt-dix, et le côté qui fait face à l’un est le côté voisin de l’autre. La tangente d’un angle est donc toujours la cotangente de son complément, et l’affirmation réciproque est l’autre moitié du même fait.

  3. Un angle du deuxième quadrant, 135 degrés

    1. Cent trente-cinq degrés, c’est quarante-cinq degrés au-delà de l’angle droit
    2. Le point est dans le deuxième quadrant, le côté adjacent est donc devenu négatif tandis que le côté opposé reste positif
    3. Un positif divisé par un négatif donne un négatif, la tangente vaut donc −1

    Exactement l’opposé de la lecture à quarante-cinq degrés, et c’est le schéma de tout le deuxième quadrant : la taille de la tangente ne change pas par rapport à l’angle du premier quadrant rabattu dessus, seul le signe bouge. C’est aussi le cas que la page de sinus rapporte dans l’autre sens — à cent trente-cinq degrés le sinus est encore positif à 0,7071, parce que le point est au-dessus de l’axe ; la tangente est négative, parce que la distance horizontale est passée à gauche.

  4. Un angle de 210 degrés, un demi-tour après trente

    1. Deux cent dix degrés, c’est trente degrés plus un angle plat
    2. Ajouter cent quatre-vingts degrés retourne à la fois le côté opposé et le côté adjacent, les deux sont donc négatifs
    3. Un négatif divisé par un négatif donne un positif, et les tailles sont inchangées, la lecture est donc le même 0,5774

    La démonstration la plus nette de la période d’un demi-tour, et l’endroit où cette fonction se sépare du sinus et du cosinus : ces deux-là ont besoin d’un tour complet pour revenir à la même lecture, et celle-ci y est déjà au bout de la moitié. La raison est qu’un rapport ne se soucie pas de voir ses deux quantités changer de signe en même temps. Le tableau ci-dessous montre le même appariement sur deux lignes séparées de huit rangs.

Limites

Trois limites à énoncer clairement. Les lectures sont données à quatre décimales et la plupart sont irrationnelles : la tangente de trente degrés vaut un sur racine de trois, donc 0,5774 est une troncature et non la réponse, et quarante-cinq degrés est la seule ligne de cette page dont la valeur soit exacte et finie. Deuxièmement, la tangente n’a pas de valeur à quatre-vingt-dix degrés, à deux cent soixante-dix degrés, ni à aucun angle qui se ramène à l’un ou à l’autre — angles négatifs et angles au-delà d’un tour complet compris, si bien que moins quatre-vingt-dix et quatre cent cinquante sont refusés pour la même raison que quatre-vingt-dix. Là où une lecture voisine serait énorme, cette page donne un message d’erreur plutôt qu’un très grand nombre, parce que la suite ne converge vers rien : les valeurs grandissent sans borne quand on approche l’angle d’un côté et retombent depuis le bas de l’intervalle quand on l’approche de l’autre. Troisièmement, la page ne s’inverse pas. Avec une tangente de un, l’angle peut valoir quarante-cinq degrés, deux cent vingt-cinq degrés, ou n’importe lequel des angles infiniment nombreux séparés d’un demi-tour, et choisir entre eux demande une décision que cette page ne prend pas.

Questions fréquentes

Pourquoi la tangente n’a-t-elle pas de valeur à 90 degrés ?
Parce que la tangente est le côté opposé divisé par le côté adjacent, et qu’à l’angle droit le côté adjacent s’est réduit à rien. Diviser par zéro n’a pas de réponse, il n’y a donc rien à imprimer. Ce n’est pas que la valeur soit énorme — les lectures grandissent sans borne à mesure que l’angle approche de quatre-vingt-dix, mais à quatre-vingt-dix même il n’y a aucun nombre, et les deux côtés de l’approche ne tendent même pas vers le même endroit. Deux cent soixante-dix degrés est la même défaillance un demi-tour plus loin, et tout angle qui se ramène à l’un ou à l’autre est refusé aussi.
La tangente, est-ce simplement le sinus divisé par le cosinus ?
Oui, et c’est la description la plus courte. C’est aussi le côté opposé sur le côté adjacent et la pente de la droite que l’angle dessine, et les trois disent la même chose. La forme qui explique le plus est la division : partout où le cosinus est nul la fraction n’a pas de réponse, et le cosinus est nul à quatre-vingt-dix et à deux cent soixante-dix degrés — exactement là où le tableau ci-dessous porte ses deux tirets.
Pourquoi la tangente de 135 degrés est-elle négative alors que le sinus est positif ?
Parce que la tangente regarde la distance horizontale autant que la montée. À cent trente-cinq degrés le point est encore au-dessus de l’axe horizontal, le sinus reste donc positif à 0,7071, mais il a franchi l’axe vertical vers la gauche, le côté adjacent est donc devenu négatif et la division bascule avec lui. Le signe de la tangente est en réalité une affirmation sur l’accord de direction des deux côtés, et non sur la hauteur du point — ce qui explique qu’il devienne négatif un quart de tour avant le sinus.
Que signifie une tangente très grande ?
Que la ligne est presque verticale. La lecture est une pente, donc une tangente de dix signifie dix unités vers le haut pour une vers la droite, et elle grandit sans limite à mesure que l’angle approche de quatre-vingt-dix degrés par en dessous. De l’autre côté de quatre-vingt-dix la même ligne réapparaît tout en bas de l’intervalle et remonte vers zéro, si bien que les valeurs des deux côtés du pôle ne sont pas proches du tout — elles sont aussi éloignées qu’un nombre peut l’être.
À quelle fréquence la tangente se répète-t-elle ?
Tous les demi-tours, soit deux fois plus souvent que le sinus et le cosinus. Ajouter cent quatre-vingts degrés à un angle change le signe du côté opposé et celui du côté adjacent en même temps, et le rapport de deux quantités retournées est inchangé, si bien que trente degrés et deux cent dix degrés partagent une tangente de 0,5774. Le sinus et le cosinus, eux, ont besoin d’un tour complet pour revenir à la même valeur.
L’angle peut-il être saisi en radians ?
Oui — le champ a un sélecteur d’unité à côté et la lecture est le même angle dans les deux cas. Quarante-cinq degrés et 0,7854 radian donnent la même tangente, un. Comme toujours, la chose à vérifier est l’unité que suppose la source à laquelle vous vous comparez, car la plupart des tableaux imprimés sont écrits en degrés.

Références

Calculatrices liées

Calculatrice de cotangenteCotangente d’un angle en degrés ou en radians.Calculatrice de trigonométrieSinus, cosinus et tangente d’un angle, en degrés ou radians.Calculatrice de cercle trigonométriqueSinus, cosinus et tangente d’un angle sur le cercle.Calculatrice de sinusSinus d’un angle en degrés ou radians, avec le quadrant.Calculatrice d’arctangenteAngle à partir d’une tangente, en degrés ou en radians.