Calculatrice de la loi des sinus

a ÷ sin A = b ÷ sin B = c ÷ sin C sin B = b · sin A ÷ a C = 180° − A − B c = a · sin C ÷ sin A

a et A

Le côté que vous connaissez, avec l’angle situé en face. Ce sont ces deux-là qui fixent le rapport du triangle entier, et l’un des deux doit être présent pour employer cette loi

b

Le second côté que vous connaissez. C’est lui qui décide combien de triangles les données autorisent, et tout le cas ambigu tient à la comparaison de sa longueur avec le côté a

B

L’angle situé en face du côté b. Prendre l’arc sinus du rapport renvoie toujours l’angle aigu compris entre zéro et quatre-vingt-dix degrés, et lorsque le partenaire obtus tient lui aussi dans un angle plat, il y a un second triangle qui l’emploie

C et c

Le troisième angle et le troisième côté, obtenus une fois B fixé : l’angle en retranchant les deux autres d’un angle plat, le côté à partir du même rapport partagé

Prenez cette page quand vous connaissez deux côtés et un angle qui n’est pas entre eux — deux relèvements et une distance en travers d’une baie, deux branches d’un cheminement de topographe dont l’angle est à l’extrémité — et que vous voulez le reste du triangle. C’est la seule forme associant un angle et des côtés que la loi des cosinus ne prend pas confortablement, et c’est aussi la seule où la réponse peut être un choix plutôt qu’une mesure, ce qui explique que la page commence par le compte. Si les données admettent deux triangles, regardez les angles autant que les côtés avant de décider dans lequel vous vous trouvez : un géomètre qui vise deux repères sait en général si le coin devant lui est aigu ou obtus, et ce seul fait tranche. Si vous avez les trois côtés, ou deux côtés et l’angle entre eux, c’est la page de la loi des cosinus qu’il faut, et elle n’a aucune ambiguïté. Et si tout ce que vous voulez est un côté d’un triangle rectangle, la page du triangle rectangle est plus courte que les deux autres.

1. Deux côtés et un angle grand ouvert, 6, 30 degrés et 8

   1. Le rapport partagé est le côté a sur le sinus de l’angle A, soit 6 divisé par 0,5, c’est-à-dire 12
   2. Le sinus de l’angle B est le côté b sur ce rapport, soit 8 divisé par 12, c’est-à-dire 0,6667
   3. L’angle dont le sinus vaut 0,6667 est 41,81 degrés — et son supplément de 138,19 degrés a le même sinus, les deux sont donc candidats
   4. L’angle C est ce qui reste d’un angle plat : 180 moins 30 moins 41,81 font 108,19
   5. Le côté c vient du même rapport, 12 fois le sinus de 108,19 degrés, soit 11,4

   Les valeurs avec lesquelles la page se charge, et l’image d’école du cas ambigu : le second côté est plus long que le premier, il peut donc basculer d’un côté ou de l’autre de la perpendiculaire et fermer la figure dans les deux cas. Les quatre lectures décrivent le triangle construit sur l’angle B aigu — celui où le second côté se penche en arrière vers la base. L’autre triangle emploie le partenaire obtus de 41,81 degrés, qui vaut 138,19, et il se trouve dans la dernière colonne du tableau ci-dessous ; son troisième angle est un étroit 11,81 degrés au lieu du 108,19 imprimé ici. Les deux sont des réponses correctes aux trois mêmes données.

2. Le même angle avec un second côté plus court, 8, 30 degrés et 6

   1. Le rapport partagé est 8 divisé par le sinus de 30 degrés, soit 16
   2. Le sinus de l’angle B est 6 divisé par 16, soit 0,375
   3. L’angle dont le sinus vaut 0,375 est 22,02 degrés ; son supplément de 157,98 ne laisse aucune place à l’angle A, puisque 30 plus 157,98 dépasse déjà un angle plat, seule l’option aiguë survit donc
   4. L’angle C vaut 180 moins 30 moins 22,02, soit 127,98
   5. Le côté c vaut 16 fois le sinus de 127,98 degrés, soit 12,61

   Échangez les deux côtés et l’ambiguïté disparaît : 6 est plus court que 8, la seconde position ne peut donc plus fermer la figure et il ne reste qu’un triangle. Le compte passe de deux à un sans qu’aucun autre nombre change de nature, ce qui est précisément l’intérêt d’imprimer le compte en premier — les trois mêmes sortes d’entrée produisent une réponse différente selon la seule comparaison des deux longueurs. Remarquez que le triangle survivant est l’obtus en C, à 127,98 degrés, parce qu’avec un second côté plus court la figure doit être achevée en allant chercher plus loin.

3. Le cas frontière, 5, 30 degrés et 10

   1. Le rapport partagé est 5 divisé par le sinus de 30 degrés, soit 10
   2. Le sinus de l’angle B est 10 divisé par 10, ce qui vaut exactement 1
   3. Un sinus de 1 fixe l’angle à 90 degrés sans seconde option, parce qu’aucun autre angle entre zéro et 180 n’a le même sinus
   4. L’angle C vaut 180 moins 30 moins 90, soit 60, et le côté c vaut 10 fois le sinus de 60 degrés, soit 8,66

   Le second côté est juste assez long pour atteindre une seule fois : il descend à angle droit sur le troisième côté et le triangle est rectangle, avec B à exactement 90 degrés. C’est la ligne de partage entre aucun triangle et deux, et il vaut la peine de regarder ce qui se passe quand on la franchit par en dessous — les deux solutions apparaissent ensemble dès que le côté dépasse cette longueur d’un cheveu, l’une juste au-delà de quatre-vingt-dix degrés et l’autre juste en deçà, puis s’écartent à mesure que le côté grandit. À la valeur exacte il y en a un, et son sinus vaut exactement 1, sans rien d’arrondi.

4. Un angle de 90 degrés donné au lieu d’être trouvé

   1. Le rapport partagé est 10 divisé par le sinus de 90 degrés, soit 10 lui-même
   2. Le sinus de l’angle B est 6 divisé par 10, soit 0,6, ce qui donne 36,87 degrés
   3. L’angle C vaut 180 moins 90 moins 36,87, soit 53,13
   4. Le côté c vaut 10 fois le sinus de 53,13 degrés, soit 8

   Ici l’angle droit fait partie de ce que vous avez fourni plutôt que d’être découvert par l’arithmétique, et le rapport partagé devient l’hypoténuse sur un — c’est-à-dire l’hypoténuse elle-même. À partir de là la loi des sinus donne directement les deux angles aigus et le troisième côté tombe à exactement 8, un nombre propre parce que ce n’est rien d’autre que le triangle trois-quatre-cinq multiplié par deux. C’est une vérification utile de toute la page : dès que le côté faisant face à l’angle droit est le plus long des trois, tout doit s’accorder avec le théorème de Pythagore, et ici c’est le cas.

Trois limites à énoncer clairement. Le panneau imprime un triangle, pas deux. Quand le compte vaut 2, les quatre lectures en dessous appartiennent au triangle construit sur l’angle B aigu, et le partenaire obtus est nommé dans la dernière colonne du tableau de référence plutôt que montré dans le panneau — celui-ci n’a qu’une place pour une réponse et aucun moyen d’en présenter deux côte à côte, le choix a donc été d’imprimer le plus petit angle et de désigner l’autre. Deuxièmement, les données doivent avoir un sens avant que quoi que ce soit puisse être résolu : l’angle fourni doit être strictement compris entre zéro et cent quatre-vingts degrés, et si le second côté est trop court pour atteindre le troisième, il n’y a pas de triangle et la page le signale au lieu d’en inventer un. Les angles valant exactement zéro ou exactement un angle plat sont refusés plutôt qu’approchés, parce qu’un triangle avec un angle nul n’a aucune forme à résoudre. Troisièmement, les lectures sont données à deux décimales, ce qui cesse de signifier grand-chose sur un très grand triangle : un côté de plusieurs centaines de millions de centimètres ne peut pas porter des centièmes dans un nombre à virgule flottante, il faut donc traiter les décimales de la longueur imprimée comme indicatives dès que la figure atteint cette taille. Les angles, eux, restent exacts, parce qu’un centième de degré reste un centième de degré quelle que soit la taille du triangle.

Qu’est-ce que le cas ambigu de la loi des sinus ?

C’est la situation où deux côtés et un angle non compris autorisent deux triangles différents au lieu d’un. L’angle donné fixe la direction d’un côté mais pas le sens dans lequel l’autre bascule : le second côté peut se pencher en arrière et fermer la figure tôt, ou en avant et la fermer tard — un triangle est petit avec un angle obtus là où l’autre est grand et aigu. Les deux emploient les trois mêmes données. Cette page compte les possibilités d’abord, puis résout celui des deux qui est aigu, parce que l’existence de la seconde position dépend de la comparaison des deux longueurs.

Comment savoir s’il y a un triangle ou deux ?

Comparez le second côté au premier. Calculez le second côté multiplié par le sinus de l’angle donné, puis divisé par le premier côté : si ce nombre dépasse un, les données ne font aucun triangle, parce qu’aucun angle n’a de sinus supérieur à un. S’il est inférieur à un, vous tenez l’angle aigu, et il existe un second triangle chaque fois que son partenaire obtus laisse encore de la place à l’angle donné — c’est-à-dire chaque fois que les deux angles réunis restent sous 180 degrés. La page fait cette comparaison pour vous et imprime le compte comme réponse principale.

Lequel des deux triangles la calculatrice me montre-t-elle ?

Celui construit sur le plus petit angle B, c’est-à-dire celui dont le troisième angle est le plus grand. Le panneau imprime le compte puis les quatre lectures de ce triangle, et le partenaire obtus de B figure dans la dernière colonne du tableau de référence à côté, si bien que les deux sont sur la page. La raison de n’en montrer qu’un est qu’un panneau de résultat n’a qu’une place pour une réponse ; imprimer deux séries de quatre nombres sans endroit où les étiqueter serait pire que d’en imprimer une et de nommer l’autre.

Pourquoi la page refuse-t-elle un angle de 0 ou de 180 degrés ?

Parce qu’un triangle avec un angle nul n’est pas un triangle — c’est un segment de droite avec un point dessus, et le côté faisant face à l’angle nul devrait être nul lui aussi. Ces deux valeurs se situent à la frontière où la forme cesse d’exister plutôt qu’au bord de l’arithmétique, et la réponse honnête est de le dire plutôt que de renvoyer un angle nul et un côté nul qui ressemblent à une solution. Les angles intermédiaires conviennent, y compris ceux très proches de l’une ou l’autre extrémité, où le triangle devient très long et très fin mais reste un vrai triangle.

Faut-il employer la loi des sinus ou la loi des cosinus ?

Employez la loi des sinus quand vous avez un côté accompagné de l’angle situé en face et une autre donnée, et la loi des cosinus quand vous avez les trois côtés ou deux côtés et l’angle entre eux. Le cas qui tranche est celui de deux côtés et d’un angle qui n’est pas entre eux : c’est la forme de cette page, et c’est celle que la loi des cosinus prend maladroitement parce qu’elle doit résoudre une équation du second degré. C’est aussi la forme qui porte l’ambiguïté, ce qui explique que cette page consacre sa réponse principale au compte.

Pourquoi la longueur de côté imprimée n’est-elle exacte qu’à deux décimales ?

Deux décimales sont ce à quoi la page arrondit, et pour un triangle ordinaire c’est bien à l’intérieur de ce qu’un nombre à virgule flottante peut représenter. Sur un très grand triangle, non : un côté de plusieurs centaines de millions a épuisé la précision du nombre avant que les décimales n’interviennent, les derniers chiffres d’une telle lecture sont donc emportés plutôt que mesurés. Les angles n’ont pas ce problème, parce qu’un centième de degré reste un centième de degré quelle que soit la taille du triangle.

• Law of Sines — the shared ratio of a side to the sine of the opposite angle, and the conditions under which the relation admits two triangles — Wolfram MathWorld (United States)
• Law of Cosines — the companion relation for three sides, and the shape of triangle this page cannot take — Wolfram MathWorld (United States)
• Triangle — the triangle inequality, the rule that the largest side faces the largest angle, and the cases in which a triangle is not determined by its parts — Wolfram MathWorld (United States)
• The Law of Sines — the theorem worked through from first principles, including the ambiguous case and how the number of solutions follows from the lengths — Math is Fun (United Kingdom)