Calculadora de tangente

tan θ = opposite ÷ adjacent tan θ = sen θ ÷ cos θ tan θ = slope

θ

El ángulo, en grados o radianes. Puede ser negativo y puede pasar de una vuelta completa: lo único que importa es dónde cae sobre la circunferencia

opposite / adjacent

Los dos catetos de un triángulo rectángulo con el ángulo θ dentro: el cateto opuesto a θ y el que está junto a él. La tangente es el primero partido por el segundo, y la hipotenusa no interviene en absoluto

sen θ ÷ cos θ

La misma razón escrita con las otras dos funciones. Esta es la forma que explica los dos puntos sin valor: donde el coseno vale cero la división no tiene respuesta, y el coseno vale cero en noventa y en doscientos setenta grados

slope

Lo que la razón significa sobre la circunferencia unitaria: la pendiente de la recta que va del origen al punto en el que cae el ángulo. Una tangente de uno es una recta de cuarenta y cinco grados, y cuanto mayor es la lectura más empinada es la recta

Usa esta página cuando la cantidad que quieras sea una pendiente y no una altura: la inclinación de un tejado expresada como lo que sube entre lo que avanza, la rasante de una carretera en porcentaje, el ángulo al que hay que poner una escalera o una rampa, la dirección de una recta que pasa por dos puntos. Es también la página a la que acudir cuando quieras saber en un solo número cuánto de empinado tiene algo, ya que el seno y el coseno solo te cuentan cada uno la mitad de la dirección. Dos cosas que conviene tener presentes al leerla. Si el ángulo pasa de noventa grados la lectura se vuelve negativa y sigue creciendo en tamaño por el otro lado, y si estás trabajando a partir de un dibujo y no de coordenadas, ese signo te está diciendo que la recta se inclina hacia el otro lado, no que la inclinación haya cambiado. Y si el ángulo se acerca a un ángulo recto la lectura crece sin tope, que es la página diciéndote que la recta se ha vuelto vertical: en noventa grados exactos no hay lectura que dar, porque una recta vertical no tiene avance entre el que dividir. Si quieres el seno y el coseno al lado, la página de trigonometría imprime los tres; y si lo que quieres es el recíproco de este número, esa es otra función, con sus dos puntos sin valor en los otros dos sitios.

1. Un ángulo de 45 grados, la única respuesta entera

   1. A cuarenta y cinco grados los dos catetos del triángulo rectángulo son iguales
   2. La tangente es el cateto opuesto partido por el cateto adyacente
   3. Dos cantidades iguales divididas dan exactamente uno, así que la lectura es 1 y no 0,9999

   El ángulo con el que se carga la página y el único en el que esta función produce un número entero. Cuarenta y cinco grados es también el ángulo cuya recta tiene pendiente uno, que es la misma afirmación dicha en el lenguaje de las pendientes: una unidad hacia arriba por cada una hacia el lado. Todas las demás lecturas de esta página son una raíz o el recíproco de una, y por eso la tabla de abajo está escrita con cuatro decimales.

2. Un ángulo de 30 grados

   1. El cateto opuesto a treinta grados es la mitad de la hipotenusa
   2. El cateto adyacente es el otro cateto, que mide la mitad de la raíz de tres
   3. Un medio partido por la mitad de la raíz de tres es uno partido por la raíz de tres, unos 0,5774

   La tangente de treinta grados es la cotangente de sesenta, y eso es una regla y no una casualidad: los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo suman noventa, y el cateto opuesto a uno es el cateto adyacente al otro. Así que la tangente de un ángulo es siempre la cotangente de su complementario, y la afirmación recíproca es la otra mitad del mismo hecho.

3. Un ángulo del segundo cuadrante, 135 grados

   1. Ciento treinta y cinco grados son cuarenta y cinco grados más que un ángulo recto
   2. El punto cae en el segundo cuadrante, así que el cateto adyacente ya es negativo y el opuesto sigue siendo positivo
   3. Un positivo partido por un negativo es negativo, luego la tangente es −1

   Exactamente el opuesto de la lectura de cuarenta y cinco grados, y ese es el patrón de todo el segundo cuadrante: el tamaño de la tangente no cambia respecto del ángulo del primer cuadrante que se dobla sobre él, y solo se mueve el signo. Es también el caso que la página del seno cuenta al revés: a ciento treinta y cinco grados el seno sigue siendo positivo, 0,7071, porque el punto está por encima del eje; la tangente es negativa, porque el avance ha cruzado a la izquierda.

4. Un ángulo de 210 grados, media vuelta más que treinta

   1. Doscientos diez grados son treinta grados más un ángulo llano
   2. Sumar ciento ochenta grados cambia el signo del cateto opuesto y del adyacente, así que los dos son negativos
   3. Un negativo partido por un negativo es positivo, y los tamaños no cambian, así que la lectura es el mismo 0,5774

   La demostración más clara del periodo de media vuelta, y el punto en el que esta función se separa del seno y del coseno: esas dos necesitan una vuelta entera para volver a la misma lectura, y esta ya ha vuelto con la mitad. La razón es que a una razón le da igual que las dos cantidades que la forman cambien de signo a la vez. La tabla de abajo muestra ese mismo emparejamiento en filas separadas por ocho posiciones.

Tres límites que conviene decir sin rodeos. Las lecturas se dan con cuatro decimales y la mayoría son irracionales: la tangente de treinta grados es uno partido por la raíz de tres, así que 0,5774 es un truncamiento y no la respuesta, y cuarenta y cinco grados es la única fila de esta página con un valor exacto y finito. En segundo lugar, la tangente no tiene valor en noventa grados, en doscientos setenta grados ni en ningún ángulo que se reduzca a uno de esos dos, incluidos los negativos y los que pasan de una vuelta, de modo que menos noventa y cuatrocientos cincuenta se rechazan por el mismo motivo que noventa. Donde una lectura vecina sería enorme, esta página da un mensaje de error y no un número gigantesco, porque la sucesión no converge a nada: los valores crecen sin tope al acercarse al ángulo por un lado y caen desde lo más bajo del recorrido al acercarse por el otro. Y en tercer lugar, la página no invierte. Dada una tangente de uno, el ángulo podría ser cuarenta y cinco grados, doscientos veinticinco, o cualquiera de los infinitos ángulos separados media vuelta, y elegir entre ellos exige una decisión que esta página no toma.

¿Por qué la tangente no tiene valor a 90 grados?

Porque la tangente es el cateto opuesto partido por el cateto adyacente, y en un ángulo recto el cateto adyacente se ha encogido hasta desaparecer. Dividir entre cero no tiene respuesta, así que no hay nada que imprimir. No es que el valor sea enorme: las lecturas sí crecen sin tope cuando el ángulo se acerca a noventa, pero en noventa mismo no hay número, y los dos lados del acercamiento ni siquiera van al mismo sitio. Doscientos setenta grados es el mismo fallo media vuelta después, y todo ángulo que se reduzca a cualquiera de los dos se rechaza igual.

¿La tangente es simplemente el seno partido por el coseno?

Sí, y esa es su descripción más corta. También es el cateto opuesto partido por el adyacente y la pendiente de la recta que dibuja el ángulo, y las tres cosas dicen lo mismo. La forma que más explica es la división: donde el coseno vale cero la fracción no tiene respuesta, y el coseno vale cero en noventa y en doscientos setenta grados, que es exactamente donde la tabla de abajo tiene sus dos guiones.

¿Por qué la tangente de 135 grados es negativa si el seno es positivo?

Porque la tangente mira el avance además de la subida. A ciento treinta y cinco grados el punto sigue por encima del eje horizontal, así que el seno se mantiene positivo en 0,7071, pero ha cruzado a la izquierda del eje vertical, de modo que el cateto adyacente se ha vuelto negativo y la división se vuelve negativa con él. El signo de la tangente habla en realidad de si los dos catetos apuntan en el mismo sentido, no de cuánto de alto está el punto, y por eso se vuelve negativa un cuarto de vuelta antes que el seno.

¿Qué significa una tangente muy grande?

Que la recta es casi vertical. La lectura es una pendiente, así que una tangente de diez significa diez unidades hacia arriba por cada una hacia el lado, y crece sin tope a medida que el ángulo se acerca a noventa grados por abajo. Al otro lado de noventa la misma recta reaparece en lo más bajo del recorrido y vuelve a subir hacia cero, así que los valores a los dos lados del punto sin valor no están nada cerca unos de otros: están tan lejos como dos números pueden estarlo.

¿Cada cuánto se repite la tangente?

Cada media vuelta, que es el doble de a menudo que el seno y el coseno. Sumar ciento ochenta grados a un ángulo cambia el signo del cateto opuesto y del adyacente, y una razón de dos cantidades que cambian de signo no cambia, así que treinta grados y doscientos diez grados comparten una tangente de 0,5774. El seno y el coseno, en cambio, necesitan una vuelta entera para volver al mismo valor.

¿Se puede escribir el ángulo en radianes?

Sí: la casilla tiene un selector de unidad al lado y la lectura es el mismo ángulo en los dos casos. Cuarenta y cinco grados y 0,7854 radianes dan la misma tangente, uno. Como siempre, lo que hay que comprobar es en qué unidad está escrito el texto con el que comparas, porque la mayoría de las tablas impresas están en grados.

• Razones Trigonométricas de Cualquier Ángulo — la tangente y las otras dos razones en los cuatro cuadrantes, con la tabla de signos y los ángulos en los que cada una deja de existir — Fisicalab
• Funciones Trigonométricas — la tangente como función real, su periodo de media vuelta frente al de seno y coseno, y sus asíntotas verticales — Fisicalab
• Tangent — the opposite-over-adjacent ratio, its period of half a turn, and its poles at ninety and two hundred and seventy degrees — Wolfram MathWorld (United States)
• Sine, Cosine and Tangent — a first-principles walk through the three ratios in a right triangle, with the special angles worked out rather than asserted — Math is Fun (United Kingdom)