Calculadora de pendiente

m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) b = y₁ − m·x₁ ax + by = c ⇒ m = −a ÷ b, b = c ÷ b

x₁, y₁, x₂, y₂

Los dos puntos, que se usan cuando el selector está en dos puntos. El primer punto y el segundo son intercambiables: cambiarlos de sitio invierte el signo del numerador y del denominador, así que la pendiente sale igual. Lo que no es intercambiable es meter una x en una casilla de y, porque nada comprueba eso y el resultado será un número de lo más corriente

a, b, c

Los tres coeficientes de la ecuación de la recta ax + by = c, que se usan cuando el selector está en la ecuación. Solo se leen en ese modo, y en el otro se ignoran sin ninguna indicación en pantalla. Fíjate en que la b de aquí es el coeficiente de y y no la ordenada en el origen: la ordenada es una salida aparte, y confundir las dos es el error más frecuente con esta forma

m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)

La pendiente a partir de dos puntos: lo que sube dividido entre lo que avanza. Es el mismo número por muy separados que estén los puntos, y eso es lo que hace que una recta sea recta: toma dos puntos a un kilómetro de distancia o dos puntos a un milímetro y la razón no cambia. El único caso que lo rompe es x₁ igual a x₂, en el que el denominador es cero y la recta es vertical

m = −a ÷ b

La pendiente a partir de la ecuación de la recta, que sale de reordenar ax + by = c como y = (−a ÷ b)x + (c ÷ b). El signo menos se pierde con facilidad, y perderlo da una pendiente con la magnitud correcta y el signo equivocado, que es exactamente el error que hace que una recta parezca subir cuando baja. Cuando b es cero el reordenamiento divide entre cero y la recta es vertical, así que ese caso se rechaza en lugar de aproximarse

b = y₁ − m·x₁

La ordenada en el origen, el punto en el que la recta corta el eje vertical. Se calcula a partir de la pendiente y de uno de los puntos en lugar de leerse en una gráfica, y se imprime para cualquier entrada, incluidas aquellas en las que vale cero. Una recta que pasa por el origen tiene una ordenada de exactamente 0, que merece la pena ver escrita: es el caso en el que la ecuación no tiene ningún término constante

angle = arctan(m)

El ángulo de la pendiente, la arcotangente de la pendiente en grados, que está entre −90 y 90. Una pendiente de 1 da 45 grados, una pendiente de −1 da −45 y una recta horizontal da 0. No es el ángulo de inclinación que se usa en geometría analítica, que va de 0 a 180 y diría 135 para esa misma recta de −45; aquí se usa la arcotangente porque es el ángulo que se sigue de la pendiente de forma directa, biunívoca e invertible

Úsala cuando haya que sacar la pendiente de una recta que te han dado en cualquiera de las dos formas habituales, y también cuando haga falta leer la pendiente y la ordenada en el origen de una ecuación sin reordenarla a mano: 2x + 3y = 6 es una pendiente de −2/3 y una ordenada de 2 en un solo paso. Es la página para comprobar una recta que ya has dibujado, porque una pendiente que vuelve con el signo cambiado, o una ordenada en el origen que no coincide con el sitio donde la recta corta el eje, significa que la ecuación se leyó mal en algún punto. El ángulo es útil cuando hay que comparar la pendiente con una inclinación física, aunque es la arcotangente y no el ángulo de inclinación, así que conviene leer esa columna teniendo presente la diferencia. Ve a la calculadora de subida y avance cuando la pregunta sea por una pendiente de terreno y no por una recta, porque es la misma aritmética con otro vocabulario y esa página habla en porcentajes y en rampas. Ve a la calculadora de fórmula cuadrática cuando la ecuación tenga un término en x², ya que una curva no tiene una sola pendiente y esa página encuentra dónde corta el cero. Ve a la calculadora de forma punto-pendiente cuando la pendiente sea el dato y lo que quieras sea la ecuación, que es la pregunta de esta página leída al revés.

1. La recta que pasa por (1, 2) y (4, 8)

   1. El cambio en y: 8 − 2 = 6
   2. El cambio en x: 4 − 1 = 3
   3. La pendiente: 6 ÷ 3 = 2
   4. La ordenada en el origen: 2 − 2 × 1 = 0, así que la recta pasa por el origen
   5. El ángulo: arctan(2) = 63,4349 grados

   El caso de dos puntos con todas las respuestas redondas menos el ángulo, que es la situación corriente, ya que la arcotangente de una pendiente racional casi nunca es un número entero de grados. La ordenada de exactamente 0 merece una pausa: dice que la ecuación de esta recta es y = 2x sin nada sumado, y quien esperara que la ordenada en el origen fuera una distancia visible hacia arriba en el eje está mirando una recta que corta justo en el origen.

2. La recta que pasa por (0, 3) y (4, 0)

   1. El cambio en y: 0 − 3 = −3
   2. El cambio en x: 4 − 0 = 4
   3. La pendiente: −3 ÷ 4 = −0,75, negativa porque la recta baja hacia la derecha
   4. La ordenada en el origen: 3 − (−0,75 × 0) = 3, que en la gráfica se ve como el punto (0, 3)
   5. El ángulo: arctan(−0,75) = −36,8699 grados

   La pendiente negativa, y el caso en el que la convención del ángulo importa. Esta recta baja hacia la derecha, así que el ángulo es negativo; un libro de geometría llamaría 143,13 grados a la inclinación de esa misma recta, y los dos números describen una sola recta. La ordenada en el origen es aquí la más fácil de comprobar de todas, porque el primer punto tiene una x igual a 0 y está justo encima del eje vertical.

3. La recta 2x + 3y = 6

   1. Reordénala como y = mx + b: 3y = 6 − 2x, así que y = 2 − (2 ÷ 3)x
   2. La pendiente es −a ÷ b = −2 ÷ 3 = −0,666667
   3. La ordenada en el origen es c ÷ b = 6 ÷ 3 = 2
   4. El ángulo: arctan(−0,666667) = −33,6901 grados
   5. La comprobación: con x = 0 la ecuación dice 3y = 6, así que y = 2, que es la ordenada

   El modo ecuación, y el caso que muestra por qué la fórmula lleva un signo menos. Perder ese signo da 0,666667 en lugar de −0,666667: la misma inclinación, pero subiendo en vez de bajando, que es la clase de error que caza una comprobación contra la ecuación original y no una mirada al número. La ordenada en el origen se puede confirmar poniendo x a cero en la ecuación en lugar de fiarse de la fórmula.

4. La recta x − y = 4

   1. Reordénala: −y = 4 − x, así que y = x − 4
   2. La pendiente es −a ÷ b = −1 ÷ (−1) = 1
   3. La ordenada en el origen es c ÷ b = 4 ÷ (−1) = −4
   4. El ángulo: arctan(1) = 45 grados exactos

   Una b negativa, que es donde los dos signos menos de las fórmulas se cancelan y las respuestas salen positivas. Es también una de las pocas rectas cuyo ángulo es un número entero de grados, porque una pendiente de 1 son 45 grados y una de −1 son −45, y por eso esas dos filas están en la tabla de referencia. La ordenada de −4 dice que la recta corta por debajo del origen, así que quien supusiera que un coeficiente negativo implica una pendiente negativa lo tendría exactamente al revés.

5. La recta horizontal que pasa por (2, 5) y (6, 5)

   1. El cambio en y: 5 − 5 = 0
   2. El cambio en x: 6 − 2 = 4
   3. La pendiente: 0 ÷ 4 = 0, una recta horizontal, y su pendiente es cero y no indefinida
   4. La ordenada en el origen: 5 − 0 × 2 = 5, la altura a la que se sitúa la recta
   5. El ángulo: arctan(0) = 0 grados

   La pendiente cero, que es el caso que más se confunde con la recta vertical que esta página rechaza. Una recta horizontal tiene una pendiente de exactamente cero, porque no sube ni baja, mientras que una recta vertical no tiene pendiente en absoluto, y la diferencia está en si el cero cae en el numerador o en el denominador. Aquí todas las salidas son números limpios, lo que convierte este ejemplo en la fila más fácil de la página para comprobar contra un croquis.

Los dos grupos de casillas de entrada están en pantalla a la vez y el selector decide cuál se lee. El grupo que no se está leyendo no se atenúa, porque la página no puede hacer eso, así que los números escritos en el grupo equivocado se ignoran en silencio y el resultado no se moverá al cambiarlos. Ese es el único comportamiento de esta página que no se puede descubrir mirando la pantalla, y el único remedio es mirar el selector: las casillas de los dos puntos se leen cuando pone dos puntos, y las casillas de a, b y c se leen cuando pone ecuación de la recta. Las rectas verticales se rechazan en los dos modos en lugar de informarse como una pendiente infinita, porque el infinito no es un número utilizable y una recta vertical no tiene pendiente de verdad; una recta horizontal es un caso completamente distinto y vuelve con una pendiente de exactamente cero. El ángulo es la arcotangente de la pendiente y va de −90 a 90 grados, no la inclinación de 0 a 180 que se usa en geometría analítica: la misma recta que baja es −45 aquí y 135 allí, y confundir las dos mete un error de signo en todo lo que se calcule a partir del ángulo. La pendiente es un número puro sin unidad, lo cual solo tiene sentido cuando los dos ejes se miden en lo mismo: una pendiente de 5 entre una distancia en metros y un tiempo en segundos son 5 metros por segundo, y la página no lo dirá. Las coordenadas están limitadas a un millón en valor absoluto, que es un rango de presentación. No hay grados ni niveles: lo empinada que sea una recta no tiene un umbral autorizado, y el signo de la pendiente ya dice si sube o baja. Por último, la página trata solo rectas: una curva tiene una pendiente distinta en cada punto y aquí no se calcula ninguna derivada.

¿Por qué a veces cambiar una casilla no cambia la respuesta?

Porque el selector está puesto en el otro grupo. Los dos grupos de casillas están siempre en pantalla y solo se lee uno a la vez: con el selector en dos puntos, las casillas de a, b y c se ignoran por completo, y con el selector en la ecuación, las cuatro casillas de coordenadas también. El grupo que no se usa no se atenúa, así que el selector es la única indicación de qué números cuentan: míralo lo primero siempre que un resultado parezca atascado.

¿Cuál es la pendiente de una recta vertical?

No tiene, y esta página rechaza esa entrada en lugar de imprimir infinito. La pendiente es el cambio en y dividido entre el cambio en x, y en una recta vertical el cambio en x es cero, así que la aritmética pide dividir entre cero. El infinito no es un número que se pueda llevar al paso siguiente, y decir que la pendiente es infinita sugeriría un número muy grande en lugar de ninguno. Una recta horizontal es el caso contrario: su pendiente es exactamente cero.

¿Cómo hallo la pendiente a partir de una ecuación?

Reordena ax + by = c como y = mx + b. Al hacerlo sale una pendiente de −a ÷ b y una ordenada en el origen de c ÷ b, que es lo que calcula la página cuando el selector está en la ecuación. El signo importa más de lo que parece: para 2x + 3y = 6 la pendiente es −2/3, y perder el menos da una recta con la misma inclinación pero yendo al otro lado.

¿Qué diferencia hay entre el ángulo de la pendiente y el ángulo de inclinación?

El ángulo de la pendiente es la arcotangente de la pendiente y está entre −90 y 90 grados; el ángulo de inclinación que se usa en geometría analítica está entre 0 y 180. Para una recta que baja hacia la derecha discrepan en 180 grados: esta página informa −45 para una pendiente de −1, mientras que la inclinación de esa misma recta es 135. Aquí se usa la arcotangente porque se sigue de la pendiente de forma directa y biunívoca, sin ninguna regla extra sobre sumar 180 a las pendientes negativas.

¿Tiene unidad la pendiente?

Por sí sola no. Una pendiente es una razón entre dos cambios, así que es un número puro, y solo se convierte en tantas unidades por unidad cuando los dos ejes se miden en lo mismo: metros en cada eje dan un número adimensional, mientras que metros contra segundos dan metros por segundo. La página no pregunta nada de eso, así que no puede convertir ni etiquetar; si los ejes están en unidades distintas, la pendiente es una tasa y la unidad es justo lo que la página no puede aportar.

¿Sirve esta página para hallar la ecuación de una recta?

No, porque va al revés. Toma una recta ya descrita, por dos puntos o por una ecuación, e informa de su pendiente y de su ordenada en el origen. Pasar de una pendiente y un punto a la ecuación es otra tarea, y la página para eso es la calculadora de forma punto-pendiente. Lo que sí te da esta página por el camino es la ordenada en el origen, y pendiente más ordenada ya es la forma explícita de la ecuación si quieres escribirla tú.

• Slope — the definition of the slope of a line as rise over run, with the two-point and equation forms this page evaluates — Wolfram MathWorld (United States)
• Line — the general equation ax + by = c and its rearrangement into slope-intercept form, including the vertical case where b is zero — Wolfram MathWorld (United States)
• Inverse Tangent — the arctangent used for the angle column, and the range from −90 to 90 degrees that distinguishes it from the inclination angle — Wolfram MathWorld (United States)