Calculadora de forma pendiente-ordenada

puntos (x1, y1) y (x2, y2) → m = (y2 − y1) ÷ (x2 − x1) → b = y1 − m × x1 → y = m × x + b

m

La pendiente: cuánto sube la recta por cada paso hacia la derecha. Es la subida dividida entre el avance, y su signo es la dirección: positivo sube, negativo baja, cero es una recta horizontal. Una pendiente de 4 significa que y gana 4 por cada 1 que gana x.

b

La ordenada en el origen: el valor de y allí donde la recta corta el eje vertical, que es lo mismo que el valor de y cuando x = 0. Es lo que queda de un punto una vez descontada la aportación de la pendiente, y es el único número de esta página que se lee directamente de la ecuación.

(x1, y1), (x2, y2)

Los dos puntos. Cualquiera de ellos puede ser el primero: cambiarlos de sitio invierte el signo del numerador y del denominador de la pendiente, y las dos inversiones se cancelan. Lo que no pueden es compartir la coordenada x, porque esa división sería entre cero.

x, y

Las dos variables de la ecuación ya terminada. Cualquier pareja que la cumpla está sobre la recta, y eso es lo que hace útil la ecuación: mete una x cualquiera y devuelve la y del punto que tiene encima, sin necesidad de ninguno de los dos puntos originales.

Úsala cuando una recta venga descrita por dos de sus puntos y lo que quieras sea la recta misma —la ecuación, la pendiente y por dónde corta el eje— en lugar de un solo número sobre ella. Dos lecturas de una tabla, dos posiciones en una gráfica, un valor inicial y una medición posterior: a partir de ellos, la pendiente dice a qué ritmo cambia y la ordenada en el origen dice dónde empezó. Si lo que quieres es solo la pendiente, o solo una predicción a mitad de camino entre los dos puntos, las calculadoras enlazadas abajo hacen exactamente eso y nada más.

1. (1, 2) y (3, 10) — el caso corriente

   1. Subida: 10 − 2 = 8. Avance: 3 − 1 = 2
   2. Pendiente: m = 8 ÷ 2 = 4
   3. Ordenada en el origen: b = 2 − 4 × 1 = -2
   4. La ecuación: y = 4x - 2

   Compruébala contra los dos puntos, que es la costumbre que merece la pena mantener: con x = 1, 4 × 1 − 2 = 2, y con x = 3, 4 × 3 − 2 = 10. Que la ordenada en el origen sea negativa mientras los dos puntos están por encima del eje no es un error: la recta es lo bastante empinada como para cortar el eje bastante a la izquierda del primer punto, en x = 0,5.

2. (0, 1) y (2, 2) — una pendiente que no es un número entero

   1. Subida: 2 − 1 = 1. Avance: 2 − 0 = 2
   2. Pendiente: m = 1 ÷ 2 = 0,5
   3. El primer punto ya está sobre el eje, así que b = 1 sale directamente de él: b = 1 − 0,5 × 0 = 1
   4. La ecuación: y = (1/2)x + 1

   El coeficiente va entre paréntesis porque 1/2x se leería como 1 dividido entre 2x. Fíjate en que los dos números impresos coinciden exactamente con la ecuación: la fila de la pendiente dice 0,5 y la ecuación dice (1/2), que es el mismo número escrito como fracción, porque la página imprime un decimal finito como fracción cuando el denominador es lo bastante pequeño para que merezca la pena leerlo.

3. (1, 3) y (5, 3) — una recta horizontal

   1. Subida: 3 − 3 = 0. Avance: 5 − 1 = 4
   2. Pendiente: m = 0 ÷ 4 = 0
   3. Ordenada en el origen: b = 3 − 0 × 1 = 3
   4. La ecuación: y = 3, porque el término de la pendiente no aporta absolutamente nada

   Una pendiente de cero derrumba la ecuación: ya no queda ninguna x dentro, y escribir y = 0x + 3 solo añadiría un término que siempre vale cero. Este es el único sitio donde la ecuación impresa deja de parecerse a y = mx + b, y eso es lo correcto y no un atajo: todos los puntos de la recta tienen y = 3, sea cual sea la x.

Solo rectas, y solo a través de dos puntos distintos. Si los dos puntos tienen la misma x, la recta es vertical: no tiene pendiente y no corta nunca el eje y, así que no hay ninguna forma pendiente-ordenada que dar, y la página informa de un cálculo fallido en lugar de imprimir una: la respuesta honesta ahí es x = 3, que no es una ecuación que esta página pueda producir. Dos puntos que coinciden son el mismo caso, porque por un solo punto pasan infinitas rectas. La pendiente se redondea a seis cifras decimales antes de calcular la ordenada en el origen a partir de ella, de modo que los dos números impresos concuerdan siempre con la ecuación impresa, a costa de que esa recta difiera de la exacta más allá de la sexta cifra cuando la pendiente es periódica: un tercio se convierte en 0,333333 y la ecuación se construye con eso. La ecuación se imprime, no se resuelve: la página no dirá dónde corta la recta al eje x, ni si dos rectas son paralelas, ni cuánto vale y en otra x cualquiera. Las coordenadas están limitadas a un millón en cualquier dirección, y aquí no interviene ninguna unidad, porque una coordenada es un número y no una medida.

¿Qué punto escribo primero?

Cualquiera de los dos, porque la respuesta no cambia. Cambiarlos de sitio invierte el signo del numerador y del denominador en (y2 - y1) ÷ (x2 - x1), y las dos inversiones se cancelan. Con la ordenada en el origen pasa lo mismo, porque se calcula a partir de un punto y de la pendiente. Lo único que importa es que las dos coordenadas de un mismo punto se escriban en la misma fila del formulario.

¿Y si los dos puntos tienen la misma x?

Entonces la recta es vertical y la página informa de un cálculo fallido. Una recta vertical no tiene pendiente en absoluto, porque el avance es cero y esa división no tiene respuesta, y no corta nunca el eje y, así que la ecuación y = mx + b no puede describirla elijas como elijas m y b. La ecuación de una recta vertical es x = 3, una que no lleva ni pendiente ni ordenada en el origen, y por eso queda fuera de lo que esta página produce.

¿Por qué se redondea la pendiente y qué pasa con un decimal periódico?

Se redondea a seis cifras decimales y la ordenada en el origen se calcula después a partir del valor redondeado y no del exacto. Eso es deliberado: hace que los dos números del panel coincidan exactamente con la ecuación impresa debajo, de modo que la respuesta se puede comprobar a mano. El precio es que con una pendiente periódica, como el 1/3 que producen (1, 1) y (4, 2), la recta impresa es la redondeada: 0,333333 en lugar de un tercio.

¿En qué se diferencia de la calculadora de forma punto-pendiente?

Los datos de entrada son distintos. Esta página toma dos puntos, que es lo que sueles tener; la de forma punto-pendiente toma un punto y una pendiente que ya conoces, e imprime la ecuación en una forma que muestra ese punto. Las dos describen la misma recta, así que se pueden usar una detrás de la otra: toma la pendiente que informa esta página y el primero de tus dos puntos, y la de forma punto-pendiente escribirá esa misma recta de la otra manera.

¿Por qué la ecuación a veces muestra una fracción y a veces un decimal?

Un decimal que termina en pocas cifras se imprime como fracción cuando el denominador es pequeño, así que 0,5 sale como (1/2) y 0,25 como (1/4), porque así es como se escribe a mano una pendiente. Lo que sea más largo se queda en decimal redondeado a seis cifras, y entonces un tercio aparece como 0,333333. El número es el mismo en los dos casos, y la fila de la pendiente, encima de la ecuación, concuerda siempre con ella.

¿Cómo compruebo la respuesta a mano?

Mete cualquiera de tus dos valores de x en la ecuación impresa y mira si obtienes la y de ese punto. Para (1, 2) y (3, 10) la ecuación es y = 4x - 2, y con x = 1 eso da 2 mientras que con x = 3 da 10: los dos puntos están sobre la recta. Si uno de los dos falla, la pendiente y la ordenada en el origen impresas encima de la ecuación son los dos números con los que comparar tu propia aritmética.

• Slope — rise over run, and the sign conventions this page's first output follows — Wolfram MathWorld (United States)
• Line — the object all of this is about, and the several forms its equation can take — Wolfram MathWorld (United States)
• Linear equation — y = mx + b as the two-variable equation it is, with a slope and an intercept — Wolfram MathWorld (United States)