Calculadora de interpolación lineal

y = y₁ + (x − x₁) × (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) t = (x − x₁) ÷ (x₂ − x₁) y = (1 − t)·y₁ + t·y₂

x₁, y₁

El primer punto conocido. Es el que ancla la recta: cuando x vale x₁ la fórmula devuelve y₁ exactamente, porque todo el término de la distancia se anula. Poner x₁ igual a 0 está permitido y es habitual, porque deja el punto sobre el eje y

x₂, y₂

El segundo punto conocido. Los dos puntos juntos fijan la recta, que es todo lo que una recta necesita. Sus valores de x tienen que ser distintos: dos puntos con la misma x describen una recta vertical, en la que una sola x corresponde a todos los valores de y a la vez, y no existe una respuesta única

x

La posición en la que quieres un valor. No hace falta que esté entre los dos puntos: fuera de ese rango la misma expresión sigue funcionando y el resultado es una extrapolación y no una interpolación, y por eso la lectura se informa en lugar de restringirse

t

La fracción del segmento: qué parte del camino recorre el punto, contada desde el primer punto conocido. Vale 0 en el primer punto, 0,5 a mitad de camino y 1 en el segundo, y es la ponderación con la que se mezclan los dos valores de y, es decir la sección de la recta en el sentido de la razón en que el punto la divide

Recurre a ella cuando se conozcan dos medidas y se quiera un valor intermedio: una lectura entre dos entradas de una tabla, un valor en una fecha comprendida entre dos observaciones, o cualquier par de magnitudes de las que se supone que se mueven juntas de forma lineal. Cuando los dos puntos estén ahí para medir lo empinado, lo que buscas es la pendiente de una recta. Cuando el valor buscado esté exactamente a mitad de camino entre los dos, se trata del punto medio. Y cuando lo que se conozca sea la recta entera y no dos puntos sueltos, la página de la forma punto-pendiente escribe esa misma recta como una ecuación en lugar de darte un valor suelto.

1. A mitad de camino entre (1, 2) y (3, 8)

   1. El cambio en y es 8 − 2 = 6, y el cambio en x es 3 − 1 = 2
   2. La recta sube 3 en y por cada 1 en x, así que la pendiente es 3
   3. x = 2 queda a 1 unidad de un intervalo de 2, así que la fracción del segmento es 1 ÷ 2 = 0,5
   4. Se mezclan los dos valores en esa proporción: (1 − 0,5) × 2 + 0,5 × 8 = 1 + 4 = 5
   5. El valor interpolado es y = 5

   El caso por defecto, y el que conviene leer dos veces: con una fracción de un medio la respuesta es el promedio corriente de los dos valores de y, 2 y 8. Eso es casualidad de caer justo en el centro y no una regla, porque a un cuarto del camino la respuesta sería 3,5 y no 5.

2. Una recta que baja

   1. El cambio en y es −20 − 0 = −20, y el cambio en x es 10 − 0 = 10
   2. La pendiente es −20 ÷ 10 = −2, así que la recta baja dos unidades por cada una que avanza
   3. x = 4 queda a 4 unidades de un intervalo de 10, así que la fracción del segmento es 0,4
   4. Mezcla: 0,6 × 0 + 0,4 × (−20) = −8
   5. El valor interpolado es y = −8

   Los dos extremos de este caso llevan signo, y eso es lo que lo hace merecedor de comprobarse a mano: el avance es 10 y no −10, y la respuesta cae entre los dos valores conocidos en lugar de más allá. Leer el intervalo al revés cambiaría a la vez el signo de la pendiente y el de la fracción dejando el valor y correcto, y esa es exactamente la razón de que la fracción se imprima junto a la respuesta.

3. Preguntar más allá del último punto

   1. La misma recta del primer ejemplo: sube 3 por cada 1 que avanza
   2. x = 4 queda a 3 unidades de un intervalo de 2, así que la fracción del segmento es 3 ÷ 2 = 1,5
   3. La fracción pasa de 1, y así es como la respuesta dice que el punto está más allá del segundo valor conocido
   4. Mezcla: (1 − 1,5) × 2 + 1,5 × 8 = −1 + 12 = 11
   5. El valor es y = 11

   Una extrapolación, y la razón de que la posición se imprima como un número corriente en lugar de recortarse al intervalo. Una fracción de 1,5 dice que el punto está medio segmento más allá del extremo lejano; la aritmética es idéntica a la de la interpolación, y lo único que cambia es la interpretación.

Los dos puntos conocidos tienen que tener valores de x distintos. Dos puntos apilados sobre la misma x describen una recta vertical, en la que una sola x corresponde a infinitos valores de y y no existe una respuesta interpolada única, así que esa entrada se rechaza en lugar de devolver un infinito. Los cinco números están limitados a una magnitud de un millón, porque tanto la pendiente como la fracción son cocientes que el panel redondea a seis decimales y más allá la comprobación por el camino de vuelta deja de ser posible. Los valores fuera del intervalo se aceptan y se informan en lugar de rechazarse: la posición vuelve por encima de 1 o por debajo de 0, que es la forma que tiene la página de decirte que ha extrapolado. Lo que la página no puede decirte es si extrapolar tenía sentido: una recta trazada por dos puntos no dice nada sobre lo que ocurre más allá de ellos, y no se imprime ninguna cifra de confianza, porque dos puntos no bastan para sostener una. El resultado es además una respuesta exacta a una pregunta aproximada: la aritmética es exacta, y la suposición de que los datos van en línea recta entre los dos puntos no.

¿Qué es la interpolación lineal?

Trazar una recta por dos puntos conocidos y leer el valor en una posición intermedia. La palabra lineal dice la suposición en voz alta: se supone que la magnitud cambia a un ritmo constante a lo largo del intervalo, así que la respuesta es una mezcla ponderada de los dos valores conocidos y no una medida nueva.

¿Qué me dice la fracción del segmento?

Qué parte del camino recorre el punto, contada desde el primer punto conocido. Vale 0 en el primero, 0,5 a mitad de camino y 1 en el segundo. El valor se puede escribir como los dos valores de y mezclados en esas proporciones, así que la fracción es todo lo que la interpolación añade a los dos puntos que ya tenías.

¿Puedo interpolar fuera de los dos puntos?

Puedes, y esta página lo hace, pero la operación es entonces una extrapolación, y la posición vuelve por encima de 1 o por debajo de 0 para decirlo. Una recta trazada por dos puntos es una conjetura sobre el intervalo que hay entre ellos; prolongada más allá de cualquiera de los dos extremos es una conjetura mucho más fuerte sobre algo que los datos nunca cubrieron.

¿Por qué se rechaza un par de puntos vertical?

Porque no hay una respuesta única que dar. Dos puntos con la misma x quedan uno encima del otro, y la recta que pasa por ellos asigna todos los valores de y a la vez a esa única x. La página rechaza esa entrada nombrándola en lugar de devolver un infinito, que tendría el aspecto de una respuesta.

¿Importa el orden de los dos puntos?

Para el valor leído sobre la recta no, pero sí cambia la pendiente y la posición. Intercambiar los dos puntos cambia el signo de la pendiente y el de la fracción del segmento y deja el valor y interpolado donde estaba, porque lo que se está describiendo es la misma recta en el otro sentido.

¿Por qué no se imprime ninguna cifra de confianza?

Porque dos puntos no bastan para sostener una. Un ajuste medido contra dos puntos es perfecto por construcción, así que cualquier número de bondad de ajuste saldría en su mejor valor todas las veces, hicieran lo que hicieran los datos de verdad. Lo que la página imprime en su lugar son la pendiente y la posición, que son hechos sobre la recta y no afirmaciones sobre los datos.

• Cartesian Coordinates — the two-axis frame the known points and the wanted position are both written in — Wolfram MathWorld (United States)
• Slope — the constant ratio the interpolated values step by, and the quantity that has no meaning when the two x values match — Wolfram MathWorld (United States)
• Line — the object two distinct points determine, and the assumption that makes reading a value between them meaningful — Wolfram MathWorld (United States)