Calculadora de tasa de cambio media

tasa de cambio promedio = Δy ÷ Δx = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)

x₁

La entrada en el primer extremo del intervalo: el valor anterior de lo que sea que tome la función, el tiempo en el caso de una velocidad y la posición en el caso geométrico. Nada la restringe, y no tiene que ser menor que x₂: los extremos se pueden dar en cualquier orden.

x₂

La entrada en el segundo extremo. No puede ser igual a x₁. Si lo fuera, el denominador del cociente sería cero y no habría nada que promediar: se le estaría pidiendo a la función que cambie sin que cambie su entrada, y eso es un segmento vertical, no una tasa.

y₁, y₂

La salida de la función en esas dos entradas. Que la función sea una fórmula, una tabla de lecturas o una curva en una pantalla da igual: lo único que la página necesita son los dos valores, y el orden importa para las dos columnas de cambio aunque se cancele en el cociente.

Δy ÷ Δx

La tasa de cambio promedio propiamente dicha: el cambio total de la salida dividido entre la longitud del intervalo en que ocurrió. En la notación delta la letra griega representa una diferencia, así que Δy es el cambio en y y Δx es el cambio en x. Leer la expresión como una cantidad por unidad es el punto: la respuesta dice cuánto se movió y por cada unidad de x.

(y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)

La misma cantidad escrita con todo detalle. Es numéricamente idéntica a la pendiente de la recta que une los dos puntos, y por eso las dos calculadoras obtienen el mismo número respondiendo a preguntas distintas: la página de la pendiente pregunta cuánto se inclina una recta, y esta pregunta a qué velocidad se movió una función a lo largo de un intervalo. Solo el segundo planteamiento sobrevive al cálculo, donde el intervalo se toma cada vez más estrecho.

1. La tasa de cambio promedio de x² en el intervalo de 1 a 3

   1. El intervalo mide dos unidades: Δx = 3 − 1 = 2
   2. La salida cambió en ocho: Δy = 9 − 1 = 8
   3. Se divide: 8 ÷ 2 = 4
   4. Así que la función ganó en promedio 4 unidades de salida por cada unidad de entrada

   Para la función del cuadrado la respuesta sigue una regla que conviene conocer: en un intervalo de a a b su tasa de cambio promedio es siempre a + b, aquí 1 + 3 = 4. La regla se cumple porque b² menos a² se factoriza como (b − a)(b + a), y el factor b − a se cancela con el denominador. Es también la razón de que la tabla de abajo esté construida con esta única función.

2. Una velocidad promedio a lo largo de tres segundos

   1. La entrada es el tiempo en segundos, de 0 a 3
   2. La salida es la posición, que pasó de 10 a 70
   3. La posición cambió en 60 a lo largo de 3 segundos: 60 ÷ 3 = 20
   4. La velocidad promedio es de 20 unidades de distancia por segundo

   La lectura que vuelve concreta la cantidad: con la posición en el eje vertical y el tiempo en el horizontal, la tasa de cambio promedio es la velocidad promedio. Y es un promedio en sentido real, porque la velocidad instantánea pudo haber variado durante todo el trayecto: este cociente no dice nada sobre el interior del intervalo, solo sobre sus dos extremos.

3. Intercambiar los dos extremos

   1. Son los mismos dos puntos del primer ejemplo, escritos en el otro orden
   2. Δx = 1 − 3 = −2 y Δy = 1 − 9 = −8
   3. El cociente es −8 ÷ −2 = 4, el mismo valor que antes
   4. Las dos columnas de cambio han cambiado de signo y la tasa no

   Quien vea un Δx negativo junto a una tasa positiva no ha encontrado un error. El cociente no cambia cuando el numerador y el denominador cambian de signo a la vez, así que la tasa de cambio promedio no depende de qué extremo se llame primero; las dos columnas de cambio sí, porque describen una dirección de recorrido entre los puntos. El resultado principal responde a qué velocidad, y las columnas de cambio responden de dónde a dónde.

Las dos entradas tienen que ser distintas. Cuando x₂ es igual a x₁ el cociente tiene denominador cero, y la página lo rechaza en lugar de devolver infinito: un segmento vertical no tiene tasa de cambio por unidad de x, porque x no está cambiando en absoluto. Los extremos se pueden dar en cualquier orden y la tasa de cambio promedio sale igual de las dos maneras, pero las dos columnas de cambio llevan signo y se intercambian cuando se intercambia el orden. La página informa de una tasa a lo largo de un intervalo y nunca de una tasa en un punto: la tasa instantánea es un límite que esta página no toma, y para eso hace falta conocer la función y no dos de sus valores. Cada coordenada está limitada a una magnitud de un billón, más allá de la cual la resta perdería precisión y los seis decimales que se muestran serían engañosos. El resultado se redondea a seis decimales mientras la aritmética interna trabaja con precisión completa. La página no imprime ningún ángulo: un ángulo es una propiedad de una recta, y una función a lo largo de un intervalo no tiene uno, que es una de las diferencias entre esta página y la calculadora de pendiente con la que enlaza.

¿Qué es la tasa de cambio promedio?

Es el cambio total de la salida de una función a lo largo de un intervalo, dividido entre la longitud de ese intervalo. Si una posición pasa de 10 a 70 en tres segundos, la tasa de cambio promedio es 60 ÷ 3, o sea 20 unidades por segundo. La palabra promedio hace un trabajo real: la cantidad resume todo el intervalo en un solo número y no dice nada sobre cómo se comportó la función dentro de él.

¿En qué se diferencia de la pendiente?

La aritmética es idéntica, porque las dos dividen el cambio de la cantidad vertical entre el cambio de la horizontal, pero la pregunta es otra. La pendiente describe cuánto se inclina una recta, que es una propiedad de la recta misma. La tasa de cambio promedio describe a qué velocidad se movió una función entre dos puntos, y esa es la cantidad que conserva su significado cuando el intervalo se estrecha hacia cero. Solo una de las dos ideas sobrevive al cálculo.

¿Por qué da lo mismo si intercambio los dos puntos?

Porque el cociente no cambia cuando el numerador y el denominador cambian de signo a la vez, y al intercambiar los extremos se invierten los dos. Las dos columnas de cambio sí se invierten, porque registran una dirección de recorrido desde el primer punto hasta el segundo. La tasa responde a qué velocidad y las columnas de cambio responden de dónde a dónde: las dos cosas son correctas al mismo tiempo.

¿Puede ser negativo el cambio promedio?

Sí, y significa que la salida bajó mientras la entrada subía a lo largo de ese intervalo. En el intervalo de −3 a −1 la función del cuadrado cae de 9 a 1, así que su cambio promedio es −4. Un valor negativo no es señal de que algo se escribiera al revés: es la dirección del cambio, y por eso las dos columnas de cambio se imprimen junto al cociente.

¿Qué pasa si las dos entradas son iguales?

La página rechaza el cálculo. Con x₂ igual a x₁ el denominador es cero, así que no hay intervalo que promediar: se le pediría a la función que cambie sin que cambie su entrada. Eso es un segmento vertical, y no tiene tasa por unidad de x. La página informa del rechazo en lugar de devolver infinito, que no es una tasa.

¿Es lo mismo la tasa promedio que la instantánea?

Solo cuando la función es una recta, porque ahí la tasa es constante en todas partes y las dos coinciden. En cualquier otro caso la promedio describe el intervalo entero y la instantánea describe un único valor de entrada. Estrechar el intervalo cada vez más es lo que convierte la promedio en instantánea, y ese límite es la derivada: un paso que esta página no da, porque trabaja con dos valores y no con la fórmula de la función.

• Average Rate of Change — the definition over an interval, the secant line reading, and the passage to the instantaneous rate — Wolfram MathWorld (United States)
• Secant Line — the line through the two endpoints, whose slope is the number this page computes — Wolfram MathWorld (United States)
• Derivative — the limit of the average rate of change as the interval shrinks, which is where this quantity is heading — Wolfram MathWorld (United States)