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CalcMax

Calculadora de crecimiento exponencial

Intervalo: 0,00 – 1.000.000.000.000.000

Intervalo: -100 – 1000

Intervalo: 0 – 1000

Resultado

162,889463

Cantidad final

Factor de crecimiento (por periodo)
1,050000
Cambio total
62,889463 %

Una calculadora de crecimiento exponencial aplica una tasa de crecimiento a lo largo de varios periodos y devuelve tres cosas: cuánto hay al final, por cuánto multiplica cada periodo y cuánto cambió el conjunto en porcentaje. Es la misma ley en las dos direcciones —escribe una tasa negativa y la misma página calcula el decrecimiento, que es la razón de que una vida media sea un caso particular de esto—. La tasa se da en porcentaje por periodo y no como decimal: 5 significa que cada periodo suma un cinco por ciento, y el factor de crecimiento que se imprime junto al resultado es el 1,05 que la aritmética usa de verdad. El número de periodos no tiene por qué ser entero, así que medio periodo es una entrada legítima y da la raíz cuadrada del factor del periodo completo. La cantidad inicial no lleva etiqueta, porque la misma aritmética cubre una población, un saldo bancario, un cultivo de bacterias y un índice de precios: la página no dirá cuál de ellos estás midiendo, solo cuánto suma. El cambio total se informa como porcentaje de la cantidad inicial y no como diferencia, así que una cantidad que se triplica vuelve como un aumento del 200 por ciento, no del 300. Cero periodos está permitido y devuelve la cantidad inicial intacta, y una tasa del −100 por ciento también lo está y lleva la cantidad exactamente a cero, que es la tasa más pequeña que sigue describiendo una cantidad en lugar de una oscilación.

Crecimiento al 5 por ciento por periodo, de 0 a 10 periodos

PeriodosFactor de crecimientoCambio total
010
11.055
21.102510.25
31.15762515.7625
41.21550621.550625
51.27628227.628156
61.34009634.009564
71.407140.710042
81.47745547.745544
91.55132855.132822
101.62889562.889463

Once filas con una tasa fija del 5 por ciento, y esa tasa fija es lo primero que hay que dejar claro: esta tabla no sigue la tasa que hayas escrito, porque una tabla no puede ver los campos de la página. Es una referencia para un caso común, y la tasa está en el título para que nadie tenga que preguntarse cuál es. La columna central es constante de arriba abajo —ese es el factor por periodo—, y verla quieta en 1,05 mientras la tercera columna sube es la imagen más clara posible de la diferencia entre las dos lecturas. La tercera columna arranca en cero y no en el cinco por ciento, porque no ha pasado ningún periodo. Cada celda se recalcula a partir de su fila al construir la página. Las dos columnas de resultados llevan sus decimales con punto porque una celda de tabla no se localiza, y ese es un hueco conocido del renderizador y no de esta página.

Fórmula

N = N₀ × (1 + r)^t factor de crecimiento = 1 + r cambio total = ((1 + r)^t − 1) × 100 %

N₀
La cantidad inicial, lo que había antes de que empezara el crecimiento. Tiene que ser positiva, porque las columnas de porcentaje dividen entre ella y una cantidad inicial de cero convertiría el cambio total en una división de cero entre cero en lugar de en un número grande. No lleva unidad: el mismo cálculo cubre personas, dinero, bacterias y puntos de un índice
r
La tasa de crecimiento por periodo, en porcentaje. Se escribe 5 para un cinco por ciento y no 0,05, y puede ser negativa: una tasa del −20 por ciento significa que la cantidad pierde una quinta parte de sí misma cada periodo, lo cual es decrecimiento y no un cálculo aparte. No puede bajar del −100 por ciento: en −100 exacto la cantidad llega a cero, y por debajo el factor por periodo se vuelve negativo y el signo cambia de periodo en periodo, que ya no describe una cantidad
t
El número de periodos. Lo que cuenta como periodo lo decides tú —años, meses, días, generaciones— siempre que la tasa esté expresada en el mismo. Puede ser fraccionario: medio periodo es una entrada perfectamente corriente y multiplica por la raíz cuadrada del factor del periodo entero en lugar de por la mitad. Los valores negativos se rechazan, porque retroceder a una cantidad anterior al inicio es otra pregunta distinta de la que contesta este panel
(1 + r)^t
El factor total por el que ha quedado multiplicada la cantidad. Esta es la parte que vuelve el crecimiento exponencial y no aditivo: cada periodo multiplica todo lo que ya había, así que el aumento del décimo periodo no es el del primero sino mucho mayor. Es además exactamente la operación de la calculadora de exponentes: la base es uno más la tasa y el exponente es el número de periodos
1 + r
El factor de crecimiento por periodo, la lectura intermedia. Para una tasa del 5 por ciento es 1,05, o sea que la cantidad se multiplica por algo más de uno cada periodo. Se imprime por separado porque es el número al que echar mano cuando cambia la pregunta: un factor de 1,05 elevado a cuatro periodos, la misma tasa doblada al 10 por ciento o una cantidad inicial distinta se resuelven con una sola multiplicación en cuanto lo tienes a la vista
((1 + r)^t − 1) × 100 %
El cambio total a lo largo de toda la serie, como porcentaje del punto de partida. Una tasa del 5 por ciento durante diez periodos da 62,889 por ciento y no 50, porque el cinco por ciento de cada periodo se toma de una cantidad mayor que la anterior. La resta de uno es lo que convierte un factor en un cambio: un factor de 1,6289 es un cambio del 62,89 por ciento, y un factor por debajo de uno da un cambio negativo, que es como se informa el decrecimiento
r = −100 %
El límite inferior, y la única tasa que lleva la cantidad exactamente a cero. Se acepta porque es el límite de una cantidad que se encoge: al −100 por ciento el factor de crecimiento es cero y todos los periodos a partir del primero multiplican cero por cero. Por debajo el factor es negativo, la cantidad alterna de signo cada periodo y el modelo ha dejado de describir algo físico, y por eso esa entrada se rechaza en vez de calcularse

Úsala cuando una cantidad se multiplique por el mismo factor una y otra vez y quieras saber dónde acaba o cuánto sumó la serie entera: un crecimiento compuesto sobre un saldo, una población que crece a una tasa fija, un índice de precios que sube durante décadas, un cultivo que se duplica, un mercado que se encoge un porcentaje estable cada año. La columna del cambio total es la que conviene citar por escrito, porque decir que algo subió un 62,9 por ciento en diez periodos informa más que la cifra final, y es el número que la tasa sola no te da. También es la página que convierte una tasa en un factor, que es el paso que toda pregunta de interés compuesto necesita antes de poder calcularse. Acude a la calculadora de tiempo de duplicación cuando la cantidad se duplique y la tasa venga dada como un tiempo en lugar de como un porcentaje, porque esa página toma el tiempo de duplicación directamente y además informa del número de periodos. Acude a la calculadora de vida media cuando lo que se desintegre lo haga por mitades, que es la misma ley con un medio en la base. Y acude a la calculadora de interés compuesto cuando la multiplicación siga un calendario y la pregunta incluya aportaciones o una frecuencia de capitalización, porque esas son dimensiones propias del dinero que esta página no lleva.

Ejemplos resueltos

  1. 100 creciendo al 5 por ciento durante 10 periodos

    1. El factor de crecimiento: 1 + 0,05 = 1,05
    2. El factor total: 1,05¹⁰ = 1,628894627…
    3. La cantidad final: 100 × 1,628894627… = 162,889463
    4. El cambio total: (1,628894627… − 1) × 100 = 62,889463 por ciento

    El caso por defecto, y el que muestra por qué existe la columna del cambio total. Diez periodos al cinco por ciento suenan a cincuenta por ciento, y el panel dice 62,89: lo que sobra viene de que el cinco por ciento de cada periodo se toma de una cantidad mayor que la del anterior. Quien cita solo la cifra final le ha contado a su público el saldo pero no la historia, y el porcentaje es la parte que se repite.

  2. 100 encogiéndose al 20 por ciento durante 3 periodos

    1. El factor de crecimiento: 1 + (−0,20) = 0,8
    2. El factor total: 0,8³ = 0,512
    3. La cantidad final: 100 × 0,512 = 51,2
    4. El cambio total: (0,512 − 1) × 100 = −48,8 por ciento

    La misma página haciendo decrecimiento, que es el motivo de aceptar una tasa negativa en lugar de fabricar una herramienta aparte. Tres periodos del veinte por ciento son una pérdida del 48,8 por ciento y no del 60, y por la misma razón por la que el caso de crecimiento se pasa: cada periodo toma su quinta parte de lo que queda. Un factor de crecimiento por debajo de uno es además la señal más clara de que la convención de signos está funcionando.

  3. 100 duplicándose cada periodo durante 5 periodos

    1. Una tasa del 100 por ciento significa que la cantidad crece tanto como es, así que el factor es 2
    2. El factor total: 2⁵ = 32
    3. La cantidad final: 100 × 32 = 3200
    4. El cambio total: (32 − 1) × 100 = 3100 por ciento

    El caso del duplicado, en el que la aritmética es lo bastante fácil para comprobarla de cabeza y la columna del porcentaje no lo es. La cantidad ha quedado multiplicada por 32, y la página lo informa como un aumento del 3100 por ciento: un número que suena absurdo al lado de 32 veces más y que dice exactamente lo mismo. Es la ilustración más clara de por qué la última columna resta uno antes de llamarlo cambio.

  4. 100 creciendo al 5 por ciento durante medio periodo

    1. El factor de crecimiento sigue siendo 1,05, porque está definido por periodo
    2. El factor total: 1,05^0,5 = 1,024695076…, que es la raíz cuadrada de 1,05
    3. La cantidad final: 100 × 1,024695076… = 102,469508
    4. El cambio total: 2,469508 por ciento

    El periodo fraccionario, y el caso que separa las dos lecturas con más claridad. El factor de crecimiento se queda en 1,05 porque es una cantidad por periodo y medio periodo no lo cambia; el factor total es su raíz cuadrada, así que medio periodo de un cinco por ciento es un 2,47 por ciento y no un 2,5. Aplicar la mitad de la tasa sería incorrecto, y esta es la fila que lo demuestra.

  5. 2,5 creciendo al 12 por ciento durante 4 periodos

    1. El factor de crecimiento: 1 + 0,12 = 1,12
    2. El factor total: 1,12⁴ = 1,57351936
    3. La cantidad final: 2,5 × 1,57351936 = 3,933798
    4. El cambio total: 57,351936 por ciento

    Una cantidad inicial que no es redonda, lo cual no cambia nada: las columnas del factor son del todo independientes de dónde empezara la cantidad, y 2,5 crece exactamente el mismo 57,35 por ciento que crecería 250. Las dos columnas que contestan a cuánto creció son las que hay que leer al comparar dos escenarios, porque son las dos únicas que no se mueven cuando la cantidad inicial se mueve.

Limitaciones

La tasa y el número de periodos tienen que estar expresados en la misma base, y la página no tiene forma de comprobarlo: un cinco por ciento anual durante diez meses da una respuesta equivocada que parece de lo más normal. El periodo es lo que tú decidas —un año, un mes, un día, una generación— y la página nunca pregunta cuál. El crecimiento se modela como una multiplicación por el mismo factor en cada periodo, que es lo que significa crecimiento compuesto y no es cierto en todo lo que crece: una población que se topa con un límite, un mercado que se satura o una tasa que ella misma cambia se quedan fuera de este modelo. La tasa no puede bajar del −100 por ciento, porque ahí es donde la cantidad llega a cero y más allá el signo cambia en cada periodo; el tope del 1000 por ciento y el límite de 1000 periodos existen para que un desbordamiento sea raro, no para expresar un límite matemático. La cantidad inicial tiene que ser positiva, lo que significa que una cantidad que cruce de negativa a positiva no se puede representar. La capitalización ocurre una vez por periodo y no de forma continua: un cinco por ciento anual capitalizado dos veces al año al 2,5 por ciento cada una es otro resultado, y ese cálculo le corresponde a la página de interés compuesto, que sí lleva una frecuencia de capitalización. Aquí no se modelan aportaciones ni retiradas: la cantidad se deja crecer sola. Por último, las salidas se redondean a seis decimales, lo cual importa en la columna del porcentaje cuando los números se hacen grandes.

Preguntas frecuentes

¿Por qué el cambio total es mayor que la tasa multiplicada por los periodos?
Porque el porcentaje de cada periodo se toma de una cantidad mayor que la del periodo anterior. Diez periodos al cinco por ciento no son cincuenta por ciento sino 62,89, ya que el cinco por ciento del segundo periodo se aplica a una cantidad que ya había crecido. Esa capitalización es toda la diferencia entre un crecimiento exponencial y uno aditivo, y la columna del cambio total es donde se nota: la cantidad final sola no lo deja ver.
¿Puedo usar una tasa de crecimiento negativa?
Sí: una tasa negativa es decrecimiento y esta misma página lo calcula. Una tasa del −20 por ciento significa que la cantidad pierde una quinta parte de sí misma cada periodo, así que 100 se queda en 51,2 al cabo de tres periodos. La tasa no puede bajar del −100 por ciento: en −100 exacto la cantidad llega a cero y se queda ahí, y por debajo el factor por periodo se vuelve negativo y la cantidad alterna de signo cada periodo, lo que ya no describe una cantidad.
¿Qué cuenta como un periodo?
Lo que tú decidas, siempre que la tasa esté expresada en la misma base. Un cinco por ciento anual con un recuento de diez periodos significa diez años; esa misma tasa mensual con un recuento de diez significa diez meses, y las dos respuestas son de preguntas distintas. La página no puede comprobar el emparejamiento, así que una tasa anual con un recuento en meses da una respuesta equivocada que parece perfectamente normal.
¿Qué diferencia hay entre el factor de crecimiento y el cambio total?
El factor de crecimiento es por lo que multiplica un periodo; el cambio total es lo que sumó la serie entera. Una tasa del 5 por ciento da un factor de crecimiento de 1,05, un número por periodo que es el mismo tanto si lo aplicas uno como cien, mientras que diez periodos dan un cambio total del 62,89 por ciento, que es el factor ya capitalizado. Cuando la pregunta es cuánto más rápido es esta opción, lo que se compara es el factor.
¿El número de periodos puede ser una fracción?
Sí, y medio periodo es una entrada habitual. Medio periodo de un cinco por ciento no es un 2,5 por ciento, sino la raíz cuadrada de 1,05, que sale un 2,47 por ciento. Eso es lo que vuelve significativos los periodos fraccionarios en lugar de una comodidad de redondeo: la cantidad crece de forma suave a lo largo del periodo y no de un salto al final, y tomar la raíz es como se expresa esa continuidad.
¿En qué se diferencia de una calculadora de interés compuesto?
Misma fórmula, otro asunto. Esta página toma una tasa y un número de periodos y trabaja con cualquier cantidad; una calculadora de interés compuesto añade lo que el dinero tiene y una población no: una frecuencia de capitalización, aportaciones periódicas y un capital que se puede amortizar. Si la pregunta incluye pagos que entran o salen del saldo, o intereses capitalizados mensualmente en lugar de una vez al año, esa página lleva las dimensiones de más y esta no.

Referencias

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