Calculadora de vida media
Resultado
Cantidad restante
- Semividas transcurridas
- 3,0000
- Lo que queda
- 12,500000 %
Una calculadora de vida media averigua cuánto queda de algo después de un periodo de decaimiento y da además el número de semividas. Se le dan la cantidad inicial, la vida media y el tiempo transcurrido, y devuelve tres lecturas: la cantidad restante, el número de semividas que han pasado y la proporción del total original que sigue ahí. La aritmética es una sola exponencial: la cantidad restante es la cantidad inicial multiplicada por un medio elevado al tiempo transcurrido dividido entre la vida media. Tres semividas dejan un octavo, que es un 12,5 por ciento, y ese es el dato que merece la pena llevarse de aquí: todo lo demás de la página es ese mismo hecho aplicado a tus propias cifras. La lectura intermedia es la que casi todo el mundo quiere en realidad, porque decir que han pasado quince días se imagina peor que decir que han pasado tres semividas, y en cuanto tienes la cuenta la proporción restante es una reducción a la mitad que puedes hacer de cabeza. Los dos campos de tiempo tienen que ir en la misma unidad entre sí —días con días, años con años— y la página no pregunta cuál, porque la vida media aparece arriba y abajo de la línea y la respuesta no se mueve cuando se convierten las dos. Aquí no hay ninguna calificación, y las cantidades tampoco llevan unidad: la cantidad inicial puede ser gramos, átomos o una concentración, y la página no la etiqueta.
Lo que sobrevive después de cada semivida sucesiva
| Semividas transcurridas | Lo que queda |
|---|---|
| 0 | 100 |
| 1 | 50 |
| 2 | 25 |
| 3 | 12.5 |
| 4 | 6.25 |
| 5 | 3.125 |
| 6 | 1.5625 |
| 7 | 0.78125 |
| 8 | 0.390625 |
Nueve filas de cero a ocho semividas, y se detiene en ocho por una razón: (½)⁸ es un 0,39 por ciento, y a partir de ahí todas las filas están pegadas a cero y los porcentajes dejan de aportar información. La primera columna es una cuenta y no un tiempo a propósito, porque la unidad de tiempo la eliges tú: una columna de horas fijas estaría mal para quien mide en años, que es la mayoría de las sustancias que la gente consulta. La fila de una semivida es la definición de la cantidad que da título a la tabla, y la de dos semividas es la que aparece en la datación por carbono 14: un cuarto de lo inicial. Cada celda se recalcula a partir de su fila al construir la página, y las dos columnas llevan sus decimales con punto porque una celda de tabla no se localiza.
Fórmula
N = N₀ × (½)^(t ÷ T) n = t ÷ T proporción restante = N ÷ N₀
- N₀
- La cantidad inicial, lo que había antes de que decayera nada. No lleva unidad en esta página: gramos, becquerels, átomos y concentraciones son todos la misma entrada, porque la ley de decaimiento solo pregunta qué fracción queda. Tiene que ser mayor que cero: una cantidad inicial de cero convierte la proporción restante en una división de cero entre cero en lugar de en un número pequeño
- T
- La vida media, el tiempo que tarda en desaparecer la mitad de lo que hay presente. Es una propiedad de la sustancia y no de la muestra, así que no cambia cuando cambia la cantidad inicial. Tiene que ir en la misma unidad que el tiempo transcurrido; la página no pregunta cuál es esa unidad, porque los dos tiempos se dividen entre sí y la razón no cambia al convertir los dos
- t
- El tiempo transcurrido, el intervalo por el que preguntas. Se mide en la misma unidad que la vida media y no puede ser negativo: la fórmula funcionaría igual hacia atrás, pero cuánto había antes es otra pregunta distinta de la que este panel está preparado para contestar
- n = t ÷ T
- El número de semividas transcurridas, la segunda lectura y la que hace comprobable todo lo demás. Las semividas se cuentan, no se consumen a saltos enteros: 2,5 es un valor perfectamente corriente y significa que la muestra va por la mitad del camino entre la segunda reducción y la tercera. Se imprime con cuatro decimales para que 2,9999 y 3 sigan siendo distinguibles, porque esos dos valores significan casi tres semividas y exactamente tres
- (½)^n
- La proporción restante, un medio multiplicado por sí mismo una vez por cada semivida. Es toda la ley de decaimiento: no hay constante, ni otra base que un medio, ni dependencia de la sustancia más allá de la vida media. Diez semividas dejan menos de una décima parte de un uno por ciento, y la proporción nunca llega a cero exacto por muchas semividas que pasen, aunque acaba desbordando por abajo hasta cero en doble precisión
- N = N₀ × (½)^n
- La cantidad restante, la lectura principal. Es la cantidad inicial escalada por esa proporción, así que es una respuesta proporcional y no absoluta: duplicar la cantidad inicial duplica lo que queda en cualquier punto de la curva, y el porcentaje no se toca
- N ÷ N₀
- La proporción restante en porcentaje, impresa ya con el signo de porcentaje. Es la lectura que hay que citar cuando la sustancia es desconocida: queda un 25 por ciento dice todo lo que dice 2,5 becquerels una vez que la actividad inicial está sobre la mesa, y es la única de las tres que sobrevive a un cambio en la cantidad inicial
Úsala cuando algo decaiga a un ritmo expresado como vida media, que es como se escriben el decaimiento de todo lo inestable y la desaparición de casi todo lo que se va: un radioisótopo, un fármaco que se aclara del organismo, un contaminante que se degrada, una población que disminuye en proporción fija. También es la página de las dos preguntas que rodean a la datación por carbono 14: cuánto queda del carbono 14 original después de un número dado de años, y a cuántas semividas corresponde una proporción medida, siendo este segundo paso el que se convierte en una edad. Acude a la calculadora de crecimiento exponencial cuando la base no sea un medio sino que salga de una tasa, que es la misma ley con otra constante. Acude a la calculadora de tiempo de duplicación cuando la pregunta vaya al revés y la cantidad esté creciendo, porque duplicar es reducir a la mitad leído en el otro sentido. Y acude a la calculadora de interés compuesto cuando ese mismo exponente se aplique a dinero, donde la multiplicación ocurre según un calendario y no de forma continua.
Ejemplos resueltos
100 unidades con una vida media de 5, después de 15
- Semividas transcurridas: 15 ÷ 5 = 3
- Proporción restante: (½)³ = 1 ÷ 8 = 0,125
- Cantidad restante: 100 × 0,125 = 12,5
- En porcentaje: 12,5 %
La fila que también lleva la tabla de referencia, y la más fácil de comprobar sin la página: tres reducciones a la mitad de 100 son 50, luego 25, luego 12,5. Esa lectura escalonada es exactamente para lo que sirve la cuenta de semividas, y por eso la página imprime la cuenta junto a la cantidad: la cantidad sola no dice nada sobre en qué punto de la curva estás.
Carbono 14 con una vida media de 5.730 años, después de 11.460
- Semividas transcurridas: 11.460 ÷ 5.730 = 2
- Proporción restante: (½)² = 0,25
- Cantidad restante: 1 × 0,25 = 0,25
- En porcentaje: 25 %
El caso alrededor del cual se diseñó la página, y la razón de que los dos campos de tiempo no tengan selector de unidad: aquí las unidades son años, y la vida media se sale de cualquier lista de horas y semanas que se pudiera ofrecer. La cantidad inicial es 1 en lugar de una medida real, así que la respuesta se lee directamente como fracción: después de dos semividas queda un cuarto del carbono 14 original, que es la primera mitad del razonamiento de cualquier datación por radiocarbono.
200 unidades con una vida media de 4, después de 10
- Semividas transcurridas: 10 ÷ 4 = 2,5
- Proporción restante: (½)^2,5 = 1 ÷ √32 = 0,176776695…
- Cantidad restante: 200 × 0,176776695… = 35,355339…
- En porcentaje: 17,67767 %
El caso corriente, y el que muestra que las semividas no se cuentan a saltos enteros: han pasado dos y media, así que la muestra está entre un cuarto y un octavo de donde empezó. La proporción es aquí un número irracional, y por eso la respuesta lleva decimales: solo sería exacta si el tiempo transcurrido fuera un número entero de semividas. Leer el 2,5 como cuenta hace un trabajo real, porque basta multiplicar el 12,5 por ciento por la raíz cuadrada de un medio para obtener el mismo 17,68 por ciento.
80 unidades con una vida media de 12, después de exactamente 12
- Semividas transcurridas: 12 ÷ 12 = 1
- Proporción restante: (½)¹ = 0,5
- Cantidad restante: 80 × 0,5 = 40
- En porcentaje: 50 %
Una semivida, que es la definición de la cantidad que se está comprobando y no un caso particular de ella. Esta es la fila que hay que usar cuando alguien ha citado una vida media y quieres confirmar que significa lo que crees que significa: empieces con lo que empieces, se ha ido la mitad al cabo de ese tiempo, y nada de la cantidad inicial cambia la respuesta.
Limitaciones
Esta página contesta a una sola dirección: dada una cantidad inicial, una vida media y un intervalo, cuánto queda. Las preguntas inversas —cuánto tarda en alcanzarse una cantidad dada, y cuál es la vida media conocidas una cantidad inicial y una final— no son campos de este panel, aunque las dos salen de la misma ecuación y las dos están desarrolladas en el bloque de fórmulas y en las preguntas de abajo. No hay página calculadora para ninguna de las dos en este lote, así que quien necesite una tiene que reordenar el exponente en lugar de esperar un segundo juego de campos. Los dos campos de tiempo comparten unidad y la página nunca pregunta cuál: escribir una vida media en días y un tiempo transcurrido en horas da una respuesta equivocada por un factor de veinticuatro, y vuelve con un aspecto completamente normal, y ese es el único error de esta página que no se puede detectar desde dentro. La cantidad inicial no lleva etiqueta, así que la página no puede convertir entre unidades de masa o de actividad: gramos entran, gramos salen. No hay calificaciones: cuánto queda es una lectura continua y la página la imprime en lugar de juzgarla. La proporción nunca llega a cero, pero sí desborda por abajo: pasadas unas mil semividas el resultado en coma flotante es exactamente cero, y eso es un límite de la aritmética y no una afirmación sobre la sustancia. Por último, esto es un modelo de decaimiento por mitades sucesivas que supone que el ritmo es constante, que es lo que significa una vida media y no es cierto en todo lo que se desvanece.
Preguntas frecuentes
- ¿Cómo se calcula cuánto queda después de un tiempo dado?
- Se divide el tiempo transcurrido entre la vida media para obtener el número de semividas, y después se parte la cantidad inicial por la mitad tantas veces. Con una vida media de 5 y un tiempo transcurrido de 15 han pasado tres semividas, así que la proporción restante es 1 ÷ 8 y una cantidad inicial de 100 deja 12,5. La página hace lo mismo en una sola expresión: la cantidad inicial por un medio elevado al tiempo transcurrido dividido entre la vida media.
- ¿Cuánto tarda en quedar solo una cantidad concreta?
- Hay que dar la vuelta a la ecuación. Se divide la cantidad a la que quieres llegar entre la cantidad inicial para obtener la proporción, se toma el logaritmo de esa proporción en base un medio y se multiplica por la vida media. Querer que quede un octavo de lo inicial son tres semividas, sea cual sea la sustancia; querer que quede un cuarto son dos, así que con una vida media de 5.730 años esa respuesta cae en 11.460 años. La cuenta de semividas es la parte que conviene hacer primero, porque el resto es una multiplicación.
- ¿En qué unidad tienen que ir la vida media y el tiempo transcurrido?
- En cualquiera, siempre que las dos vayan en la misma. Los dos tiempos se dividen entre sí, así que una vida media de 5 días con un tiempo transcurrido de 15 días da exactamente la misma respuesta que 120 horas con 360 horas. La página no tiene selector de unidad a propósito, porque las unidades que la gente usa de verdad van de segundos a miles de millones de años y ninguna lista las contendría todas. El precio es que mezclar unidades no se detecta: días contra horas da una respuesta veinticuatro veces mayor, y tiene un aspecto completamente normal.
- ¿La respuesta llega alguna vez a cero?
- Matemáticamente no: cada semivida quita la mitad de lo que hay, y la mitad de un número positivo siempre es positiva, así que la proporción restante se acerca a cero sin llegar. En la práctica sí llega: un ordenador guarda los números con precisión finita, y pasadas unas mil semividas el resultado desborda por abajo y vuelve como cero exacto. Eso es la aritmética agotándose y no la sustancia desapareciendo, y ocurre mucho más allá de cualquier rango en el que el modelo se use en serio.
- ¿Qué diferencia hay entre la vida media y la constante de decaimiento?
- Describen el mismo decaimiento de dos maneras. La constante de decaimiento es el ritmo por unidad de tiempo que va en el exponente, y la vida media es el tiempo que tarda en irse la mitad; las dos están relacionadas por un factor igual al logaritmo natural de dos, de modo que la vida media es ese logaritmo dividido entre la constante de decaimiento. Esta página usa la vida media porque así es como se publican los números —5.730 años para el carbono 14, unas horas para un fármaco—, mientras que la constante de decaimiento es lo que aparece si escribes la misma ley con el número e como base.
- ¿La cantidad inicial cambia lo que tarda el decaimiento?
- No, y ese es justo el sentido de una vida media: es una propiedad de la sustancia y no de la muestra. Empezar con 200 unidades en lugar de 100 significa que queda 200 por dos elevado a menos n en vez de 100 por dos elevado a menos n, así que cada cantidad de la curva se duplica y los porcentajes son idénticos. La cuenta de semividas y la proporción restante no se mueven nada cuando cambias la cantidad inicial.
Referencias
- Half-Life — the definition of the half-life and the exponential decay law that this page evaluates, including the relation between the number of half-lives and the fraction remaining — Wolfram MathWorld (United States)
- Exponential Decay — the general law of which this page is the half-life case, with the decay constant and the half-life related by a factor of the natural logarithm of two — Wolfram MathWorld (United States)
- Decay Constant — the rate per unit time that appears in the exponent, and the factor of the natural logarithm of two that converts it into a half-life — Wolfram MathWorld (United States)