Calculadora de tiempo de duplicación

t = ln 2 ÷ ln(1 + r) t ≈ 72 ÷ R

r

La tasa de crecimiento de un periodo, escrita como decimal y no como porcentaje: una tasa del 5 % por periodo entra en la fórmula como 0,05. Tiene que ser positiva, porque una cantidad que no crece no se duplica nunca, y en el campo se escribe como porcentaje. Lo que describe es un crecimiento compuesto: el crecimiento de cada periodo se aplica sobre el total, incluido todo lo que creció antes, y eso es lo que hace que el tiempo de duplicación sea finito en lugar de imposible.

ln 2

El logaritmo natural de dos, unos 0,693147, y la única constante de la fórmula exacta. Aparece porque duplicarse significa que el factor de crecimiento ha llegado exactamente a dos, así que la pregunta es cuántas multiplicaciones por (1 + r) hacen falta para convertir un uno en un dos, y el logaritmo es la operación que contesta a eso. En los textos de España esta función se llama también logaritmo neperiano, y es la misma de siempre.

t

El tiempo de duplicación, en periodos, impreso con tres decimales. No lleva unidad propia: si la tasa que escribiste era mensual, t es un número de meses; si era anual, es un número de años. La última duplicación es parcial, y por eso t no es un número entero: a un 5 % la cantidad se queda un poco corta de dos al cabo de catorce periodos y cruza el doble a mitad del decimoquinto.

R

La misma tasa, pero en porcentaje, que es el número que se teclea en el campo. La regla del 72 es la aproximación que divide 72 entre R, y es la segunda lectura del panel. Acierta cerca del 8 %, se pasa por arriba con las tasas bajas y se queda corta con las altas, y existe porque dividir entre un número redondo era mucho más fácil de hacer de cabeza que un logaritmo.

Tira de esta página cuando te den la tasa de crecimiento y lo que quieras sea el tiempo. La calculadora de crecimiento exponencial recorre el mismo modelo en el sentido contrario, partiendo de una cantidad inicial y de un número de periodos; la calculadora de vida media es la imagen en el espejo, con un factor de un medio en lugar de dos; y la calculadora de la regla del 72 es la misma aritmética en un contexto de dinero, donde el titular es la regla y no la respuesta exacta.

1. Un 5 % por periodo

   1. La tasa como decimal es 0,05, así que cada periodo multiplica la cantidad por 1,05
   2. La respuesta exacta es ln 2 ÷ ln 1,05 = 0,693147 ÷ 0,048790 = 14,207 periodos
   3. La regla del 72 da 72 ÷ 5 = 14,4 periodos
   4. Las dos coinciden salvo algo más de una semana de ese periodo, que es la separación habitual entre la regla y la verdad

   Comprobar la respuesta es fácil: 1,05¹⁴ vale 1,98, justo por debajo de dos, y 1,05¹⁵ vale 2,08, justo por encima. El cruce ocurre por tanto entre el decimocuarto y el decimoquinto periodo, exactamente donde dice 14,207. Merece la pena hacer esa comprobación una vez, porque demuestra que el decimal es una posición en una línea de tiempo y no un artificio de contabilidad.

2. Un 1 % por periodo

   1. La respuesta exacta es ln 2 ÷ ln 1,01 = 0,693147 ÷ 0,009950 = 69,661 periodos
   2. La regla del 72 da 72 ÷ 1 = 72 periodos
   3. La regla se desvía aquí 2,3 periodos, que a un 1 % son más de dos periodos enteros de espera
   4. El error es sistemático y no aleatorio: la regla del 72 está ajustada para tasas cercanas al 8 % y se desvía por el extremo bajo

   La distancia a tasas bajas es la razón de que las dos lecturas se muestren una al lado de la otra en lugar de sustituir una a la otra. Una regla que se equivoca en dos periodos a lo largo de toda una vida de capitalización es una diferencia real, y ver los dos números es lo que dice en cuál confiar para la tasa que tienes delante.

3. Un 20 % por periodo

   1. La respuesta exacta es ln 2 ÷ ln 1,2 = 0,693147 ÷ 0,182322 = 3,802 periodos
   2. La regla del 72 da 72 ÷ 20 = 3,6 periodos
   3. Esta vez la regla se queda corta en lugar de pasarse, que es lo que ocurre por encima del 8 %
   4. La comprobación: 1,2³ es 1,728 y 1,2⁴ es 2,074, así que el cruce cae entre el tercer periodo y el cuarto

   Entre este ejemplo y el del 1 % el error de la regla cambia de signo, se pasa con las tasas bajas y se queda corta con las altas, y esa es la forma de la aproximación y no un fallo suyo. La tasa en la que las dos lecturas están más cerca es la del 8 %, donde la regla da 9 y la respuesta exacta es 9,006.

El tiempo de duplicación no tiene unidad propia. Se mide en el mismo periodo en el que se midió la tasa, así que 14,207 son años si la tasa era anual, meses si era mensual y minutos si estabas mirando bacterias. La página no puede saber cuál de las tres cosas es y no lo adivina. La tasa tiene que ser positiva y estar entre el 0,1 % y el 1000 % por periodo; el cero se rechaza porque ninguna de las dos fórmulas tiene respuesta para él, y una tasa negativa describe una cantidad que se encoge, que no se duplica nunca y es asunto de la calculadora de vida media. La constante 2 está fijada: esta página halla el tiempo de duplicarse y no se le puede pedir el de triplicarse ni el de multiplicarse por cualquier otro factor. Se supone que el crecimiento es suave y constante, aplicado de forma continua y no en escalones anuales, que es el modelo habitual pero no lo que hace en realidad un banco. La lectura de la regla del 72 es una aproximación por construcción y se muestra para comparar y no como respuesta, y entre las dos lecturas no se da aquí ningún análisis del error.

¿Cómo se calcula el tiempo de duplicación?

Se divide el logaritmo natural de 2 entre el logaritmo natural de uno más la tasa. Con un 5 % por periodo eso es 0,693147 ÷ 0,048790, que da 14,207 periodos. El logaritmo es el que hace el trabajo, porque duplicarse es una multiplicación repetida un número desconocido de veces y el logaritmo es lo que convierte eso en una división.

¿Qué es la regla del 72 y es exacta?

Es el atajo que divide 72 entre la tasa en porcentaje, así que un 5 % se duplica en unos 14,4 periodos. Acierta dentro de unos pocos puntos porcentuales cerca del 8 %, se pasa con las tasas bajas —a un 1 % dice 72 frente a los 69,661 reales— y se queda corta con las altas, donde un 20 % da 3,6 frente a los 3,802 reales. Esta página muestra los dos números para que la diferencia se vea con la tasa que tienes.

¿El tiempo de duplicación se mide en años?

Solo si la tasa de crecimiento que escribiste era anual. La tasa es por periodo y el periodo es el que tú decidas: una tasa mensual da una respuesta en meses, una diaria en días, y un cultivo de bacterias que se duplica cada veinte minutos da una respuesta en unidades de veinte minutos. La página no etiqueta la salida a propósito, porque no puede saber cuál de las tres querías.

¿Por qué se rechaza una tasa nula o negativa?

Porque no se duplica nada. En el cero la cantidad se queda donde está para siempre y la regla del 72 dividiría entre cero; con una tasa negativa la cantidad se encoge y la pregunta honesta pasa a ser la vida media y no el tiempo de duplicación. Las tasas por debajo del 0,1 % por periodo se rechazan por la misma razón práctica, y el caso de la cantidad que se encoge lo lleva la calculadora de vida media.

¿En qué se diferencia esto del crecimiento exponencial?

En la dirección. Esta página parte de una tasa de crecimiento y devuelve un tiempo; la calculadora de crecimiento exponencial parte de una tasa y de un número de periodos y devuelve la cantidad resultante. El modelo de debajo es el mismo, así que un tiempo de duplicación de 14,207 periodos al 5 % es exactamente la afirmación de que el factor de crecimiento llega a 2 en ese punto de la curva exponencial.

• Exponential Growth — growth at a rate proportional to the current quantity, and the doubling time that follows from it — Wolfram MathWorld (United States)
• Exponential Function — the base e, the natural logarithm that undoes it, and why ln 2 appears in every doubling formula — Wolfram MathWorld (United States)
• Compound Interest — the same growth factor applied period after period, which is where the doubling time is usually met first — Wolfram MathWorld (United States)