Calculadora de la regla del 72

Regla del 72: años para duplicar ≈ 72 ÷ tipo de interés anual; exacto: años = ln(2) ÷ ln(1 + tipo de interés anual ÷ 100); error = regla − exacto; múltiplo real al cabo de esos años = (1 + tipo de interés anual ÷ 100)^años de la regla

Tipo de interés anual

El tipo anual en porcentaje —8 significa ocho por ciento—, que tiene que ser mayor que cero porque las dos expresiones dividen entre algo que se anula ahí

72

El numerador del atajo, elegido para que la división sea fácil de hacer de cabeza con los tipos que uno se encuentra más a menudo

ln(2)

El logaritmo neperiano de dos, unos 0,6931, que aparece porque duplicar equivale a resolver que (1 + r) elevado a n sea igual a 2

Años para duplicar

Cuánto tarda el dinero en duplicarse a un tipo que se capitaliza; el atajo y la respuesta exacta se citan uno al lado del otro

Error

La respuesta del atajo menos la exacta, que es positiva con tipos bajos y negativa con tipos altos

Múltiplo real al cabo de esos años

En qué se convierte tu dinero si esperas exactamente lo que te dijo el atajo, que a casi cualquier tipo se queda un poco por debajo de dos

Usa el atajo cuando necesites una respuesta de cabeza en medio de una conversación, y la cifra exacta cuando el número vaya a quedar por escrito. Como las dos coinciden mucho en el rango donde viven los tipos corrientes, el atajo está en su mejor momento para planificar a ojo entre el 5 % y el 10 %, y está en el peor en los dos extremos: por debajo de unos tres por ciento exagera la espera y mucho, y por encima de unos quince por ciento se queda corta. El resultado del múltiplo responde a la pregunta que el error plantea pero no resuelve: si equivocarse por un quinto de año te cuesta algo de verdad. Al 20 %, esperar los 3,6 años que dice la regla en lugar de los 3,802 exactos te deja con 1,93 veces tu dinero en vez de 2, que es un déficit de alrededor del 7 % de tu ganancia, y merece la pena saberlo antes de usar el atajo con un tipo alto. Si lo que buscas es el crecimiento de un saldo y no el tiempo, la ecuación del interés compuesto con la que se construye todo esto es la misma que resuelve cualquier calculadora de interés compuesto.

1. Ocho por ciento: el tipo en el que la regla es casi exacta

   1. La regla: 72 ÷ 8 = 9,00 años
   2. La respuesta exacta: ln(2) ÷ ln(1,08) = 0,693147 ÷ 0,076961 = 9,006 años
   3. Error: 9,00 − 9,006 = −0,006 años, unos dos días
   4. Crecer al 8 % durante exactamente 9 años: 1,08⁹ = 1,9990

   Es el valor por defecto de la página porque es el mejor caso de la regla, y merece la pena ver cuánto de bueno tiene ese mejor caso: el atajo se desvía unos dos días de cada nueve años. El resultado del múltiplo es la señal de que ni siquiera aquí es exacta: nueve años al ocho por ciento capitalizado te dan 1,9990 veces tu dinero, no 2, y hacen falta un par de días más para cerrar esa milésima que falta.

2. Uno por ciento: la regla exagera la espera en más de dos años

   1. La regla: 72 ÷ 1 = 72,00 años
   2. La respuesta exacta: ln(2) ÷ ln(1,01) = 0,693147 ÷ 0,009950 = 69,661 años
   3. Error: 72,00 − 69,661 = +2,339 años
   4. Crecer al 1 % durante 72 años: 1,01⁷² = 2,0471

   Con un tipo de cuenta de ahorro el atajo se muestra generoso con lo que vas a esperar, y la dirección es la contraria de la que casi todo el mundo supone. El múltiplo lo concreta: esperar los 72 años que dice la regla al uno por ciento te deja con 2,0471 veces tu dinero en lugar de 2, así que esos dos años y pico de más no se pierden, simplemente se pasan de largo. Es el error más grande de la tabla.

3. Veinte por ciento: ahora la regla se queda corta

   1. La regla: 72 ÷ 20 = 3,60 años
   2. La respuesta exacta: ln(2) ÷ ln(1,2) = 0,693147 ÷ 0,182322 = 3,802 años
   3. Error: 3,60 − 3,802 = −0,202 años
   4. Crecer al 20 % durante 3,6 años: 1,2^3,6 = 1,9278

   Compara esto con el caso del uno por ciento y se ve el sentido de la página: el error ha cambiado de signo. Ahora la regla promete una duplicación un quinto de año antes de tiempo, y si te fías de ella acabas con 1,9278 veces tu dinero en lugar de 2, alrededor de un 7 % de la ganancia que esperabas. Los dos casos están a propósito muy lejos en tipo y muy cerca en el tamaño del error medido en años, que es la razón de que el error en años sea una mala guía por sí solo y de que el múltiplo se imprima al lado.

La regla del 72 es una aproximación y esta página no finge lo contrario; lo que hace es decirte de cuánto es la aproximación a tu tipo. Da por supuesto que el tipo se capitaliza y que se mantiene igual todo el periodo: un tipo que cambia a mitad de camino no tiene un único tiempo de duplicación, y la regla no tiene forma de expresarlo. Solo funciona con un tipo mayor que cero, porque tanto la división como el logaritmo fallan en cero, y por eso el campo rechaza cualquier tipo por debajo de una décima de punto porcentual. No dice nada de impuestos ni de inflación, así que el tiempo de duplicación que reporta está en dinero nominal: con una inflación del 3 %, un saldo que se duplica en veinticuatro años no se ha duplicado en lo que puede comprar. Y describe un único capital que se deja quieto, así que no se aplica a una serie de aportaciones, donde la aritmética es otra y la respuesta es más corta. Por último, el atajo es una regla sobre el número 72 y no sobre tu inversión: la respuesta exacta es la que hay que usar cuando la cifra importa, y el atajo es el que hay que usar cuando estás conversando.

¿Cómo funciona la regla del 72?

Divide 72 entre el tipo de interés anual y el resultado son más o menos los años que tarda el dinero en duplicarse. Al ocho por ciento eso son 9,00 años y la respuesta exacta es 9,006 años, así que el atajo es casi perfecto; al uno por ciento dice 72 años cuando la respuesta exacta es 69,661, y al veinte por ciento dice 3,60 cuando la respuesta exacta es 3,802. El atajo es una herramienta de cálculo mental y esta página muestra el tiempo de duplicación exacto al lado.

¿Por qué la regla del 72 solo es aproximada?

Porque sustituye un logaritmo por una división. El tiempo de duplicación exacto sale de despejar el número de periodos en la ecuación del interés compuesto, lo que da el logaritmo neperiano de dos dividido entre el logaritmo de uno más el tipo. El atajo usa en su lugar un numerador fijo, y ese numerador fijo solo encaja bien en un rango de tipos: las dos respuestas se cruzan en algún punto entre el siete y el ocho por ciento y se separan en direcciones opuestas a cada lado de ese cruce.

¿En qué dirección se equivoca la regla del 72?

En las dos, según el tipo, y esa es la parte que casi nadie espera. Por debajo del punto de cruce el atajo da una respuesta demasiado larga: al uno por ciento dice 72 años frente a 69,661 exactos, exagerando la espera en más de dos años. Por encima da una respuesta demasiado corta: al veinte por ciento dice 3,60 frente a 3,802 exactos. El signo del error cambia entre el siete por ciento, donde todavía es positivo, y el ocho por ciento, donde ya se ha vuelto negativo.

¿Qué significa el múltiplo al cabo de los años que dice la regla?

Es en lo que se convierte tu dinero de verdad si esperas exactamente lo que te dijo el atajo. Hacer crecer un saldo al ocho por ciento durante 9 años da 1,9990 veces tu dinero en lugar del 2 que implica la regla, y al veinte por ciento, esperar los 3,60 años que marca la regla da solo 1,9278 veces. Convierte el error de años en dinero, que es la forma en la que el error te cuesta algo.

¿Puedo usar la regla del 72 con un tipo bajo?

Puedes, pero el error crece deprisa a medida que el tipo baja, y crece en la dirección de exagerar la espera. Al uno por ciento el atajo dice 72 años mientras que el tiempo de duplicación exacto es 69,661, una diferencia de más de dos años, y un saldo creciendo al uno por ciento durante 72 años termina en 2,0471 veces su valor inicial. El campo no acepta en absoluto un tipo igual o menor que cero, porque tanto la división como el logaritmo se rompen ahí.

¿La regla del 72 tiene en cuenta la inflación o los impuestos?

No, y la cifra exacta de esta página tampoco. Las dos trabajan con el tipo que escribes, así que si ese tipo es una rentabilidad nominal, el tiempo de duplicación está en dinero nominal, y un saldo que se duplica en términos nominales en veinticuatro años con una inflación del tres por ciento no se ha duplicado en poder de compra. Con los impuestos pasa lo mismo: una rentabilidad que tributa por el camino se capitaliza a un tipo efectivo menor, y el tiempo de duplicación del tipo después de impuestos es más largo que el que se muestra aquí.

• 31 CFR Part 356, Appendix B — Formulas and Tables: los factores de valor actual y la fórmula de precio de las letras y bonos del Tesoro — Electronic Code of Federal Regulations (United States)
• Compound Interest Calculator — la forma directa de esta misma aritmética, para comprobar un tipo haciendo crecer un saldo con él — U.S. Securities and Exchange Commission, Investor.gov (United States)
• H.15 Selected Interest Rates — las series de tipos publicadas con las que se compara un tipo calculado — Board of Governors of the Federal Reserve System (United States)