Calculadora de exponentes

bⁿ = b × b × … × b (n factores) b⁻ⁿ = 1 ÷ (b × b × … × b) b^(0,5) = √b

b

La base, el número que se multiplica por sí mismo. Es un número corriente y sin unidad, y puede ser negativo, decimal o cero, porque cada uno de esos casos tiene su propia regla más abajo. Una base negativa solo vale con un exponente entero, porque una raíz de índice par de un número negativo no es real

n

El exponente, el número de veces que la base aparece en el producto. En esta página es un número real y no solo un entero: una fracción significa una raíz (un exponente de 0,5 es la raíz cuadrada, y uno de 0,3333 se queda cerca de la raíz cúbica), y un signo menos significa el recíproco de la potencia positiva

bⁿ

La potencia propiamente dicha, la lectura principal. Se imprime en notación científica en cuanto se sale del intervalo que va de 0,001 a un millón, así que 2 elevado a 64 se lee como una mantisa y un exponente de diez en lugar de como un entero de veinte cifras. Aquí no hay tope artificial: el único techo es lo que aguanta un número en doble precisión

b × b × … × b

La forma desarrollada, la misma expresión escrita como multiplicación repetida. Los productos de más de seis factores se abrevian con puntos suspensivos, y por debajo de esa cifra se escriben enteros, que es la razón de que 3 elevado a 4 muestre sus cuatro factores y 2 elevado a 10 no muestre los diez

b⁻ⁿ = 1 ÷ (b × b × … × b)

Lo que hace un exponente negativo: tomar el recíproco de la potencia positiva, uno dividido entre el producto. 2 elevado a −3 es 1 ÷ 8, no −8. Esta es la lectura que más se equivoca de toda la notación, y es la razón de que valga la pena imprimir la forma desarrollada: el recíproco se ve en ella y en ningún otro sitio de la página

b⁰ = 1

Toda base distinta de cero elevada a cero vale 1, y la forma desarrollada lo dice imprimiendo un 1 pelado en lugar de un producto vacío. Lo obliga la regla de bajar un escalón: al bajar el exponente de uno en uno cada división entre la base tiene que seguir funcionando, y b ÷ b es 1, así que el 7⁰ = 1 no es una convención que la página haya elegido. Cero elevado a cero es el único caso que esa regla no resuelve, y por eso se rechaza

0,5 as an exponent

Un exponente fraccionario es una raíz: elevar un número a 0,5 es la raíz cuadrada, y a un tercio es la raíz cúbica. Esto es lo que hace que la página rechace una base negativa con exponente fraccionario: la raíz cúbica de un número negativo es perfectamente real, pero calcularla por esta vía no lo es, y la calculadora de raíces es la página que conoce esa diferencia

Usa esta página siempre que un número se multiplique por sí mismo un número fijo de veces y lo que busques sea el resultado: un crecimiento compuesto escrito como un solo factor en lugar de como una cadena de multiplicaciones, una duplicación repetida un número dado de veces, un factor de escala aplicado una y otra vez, la probabilidad de que ocurra lo mismo varias veces seguidas, o el tamaño de una unidad de almacenamiento como potencia de dos. También es la página de las dos notaciones que la gente confunde —el producto escrito entero y la potencia escrita corta— porque imprime las dos a la vez: la forma desarrollada es la definición y la potencia es el valor, y verlas juntas es lo que vuelve legible el exponente negativo. Acude a la calculadora de raíces cuando la incógnita sea el exponente y lo que se pida sea una raíz, porque los casos negativos y fraccionarios tienen allí reglas propias. Acude a la calculadora de crecimiento exponencial cuando la base esté fija y salga de una tasa, que es la forma de toda pregunta de interés o de población. Y acude a la calculadora de logaritmos cuando la potencia sea conocida y lo que quieras sea el exponente, que es la misma relación leída al revés.

1. 2 elevado a 10

   1. La base es 2 y el exponente es 10, así que se multiplican diez factores de 2
   2. Por parejas: 2 × 2 = 4, y 4 × 4 = 16, y 16 × 16 = 256, que son ocho factores
   3. Quedan dos factores: 256 × 2 × 2 = 1024
   4. El producto tiene más de seis factores, así que la forma desarrollada se abrevia a 2 × 2 × … × 2

   La fila en la que termina la tabla de referencia, y el número de esta página que más merece saberse de memoria: un kilobyte son 1024 bytes gracias a ella. La abreviatura de la segunda lectura no es falta de espacio, porque diez factores y unos puntos suspensivos llevan exactamente la misma información que diez factores escritos enteros, y la cuenta ya está en el exponente que escribiste.

2. 2 elevado a −3

   1. El exponente es negativo, así que la respuesta es el recíproco de la potencia positiva
   2. Primero la potencia positiva: 2 × 2 × 2 = 8
   3. El recíproco de 8 es 1 ÷ 8 = 0,125
   4. La forma desarrollada imprime el recíproco mismo, así que la división se ve: 1 ÷ (2 × 2 × 2)

   El caso en el que la forma desarrollada se gana su sitio. Quien toma el signo menos por una respuesta negativa espera −8 y recibe 0,125; la lectura 1 ÷ (2 × 2 × 2) es la que vuelve obvio el recíproco en lugar de algo que hay que recordar. También es la lectura que avisa de que la respuesta tenía que salir menor que 1, porque dividir uno entre un número mayor que uno no puede dar otra cosa.

3. 1,05 elevado a 4

   1. Se multiplican cuatro factores de 1,05, que son cuatro años de un crecimiento del 5 %
   2. Dos factores: 1,05 × 1,05 = 1,1025
   3. Cuatro factores: 1,1025 × 1,1025 = 1,21550625
   4. La potencia se imprime con seis decimales, así que se lee 1,215506

   La forma en la que más se usa esta página fuera del aula: una base decimal un poco por encima de 1 y un exponente que cuenta periodos. Cuatro factores dan 1,2155, que es lo mismo que decir que la cantidad creció un 21,55 % a lo largo de esos cuatro periodos; la tasa de crecimiento es justo lo que la calculadora de crecimiento exponencial deduce para construir la base, y allí se informa de ese porcentaje directamente en vez de dejarte restar uno.

4. 7 elevado a 0

   1. Un exponente cero significa que el producto está vacío: no se multiplica ningún factor de 7
   2. Un producto vacío vale 1, que es el elemento neutro de la multiplicación: multiplicar por él no cambia nada
   3. La regla de bajar un escalón dice lo mismo: 7¹ ÷ 7 = 1, y 7⁰ ÷ 7 = 7⁻¹, así que 7⁰ tiene que ser 1 para que el patrón se sostenga
   4. La forma desarrollada imprime el 1 pelado en lugar de una multiplicación vacía

   La entrada que más veces se espera que valga 0 y que más veces se responde así. No se está multiplicando nada, de modo que no puede salir nada de ahí, pero 1 es el valor que deja correctas todas las potencias vecinas, y por eso la definición es un producto vacío y no un recurso a la intuición. La tabla de referencia abre con 2⁰ = 1 por la misma razón.

5. −2 elevado a 3

   1. La base es negativa y el exponente es entero, que es la combinación que sí se admite
   2. −2 × −2 = 4, porque multiplicar dos negativos da positivo
   3. 4 × −2 = −8
   4. El número de factores negativos es impar, así que el signo de la respuesta es negativo

   Una base negativa no se rechaza; solo se rechaza junto a un exponente fraccionario, porque es ahí donde la respuesta deja de ser un número real. El signo del resultado sigue la paridad del exponente, y la forma desarrollada lo vuelve contable: tres factores de −2 se emparejan una vez y sobra un factor negativo. Cambia el exponente a 4 y la respuesta es +16.

Esta página eleva un número a una potencia y nada más. No suma potencias, no las multiplica ni combina dos de ellas: las leyes de los exponentes están enunciadas en el bloque de fórmula y se aplican a mano, y eso es deliberado, porque la página no tiene una segunda base sobre la que aplicarlas. Tampoco toma logaritmos: dado un valor y una base, averiguar el exponente es la pregunta inversa y le corresponde a la calculadora de logaritmos. Una base negativa solo se acepta con exponente entero, y ese rechazo no es una incapacidad de cálculo —la raíz cúbica de −8 es realmente −2— sino una decisión de enrutado, porque la aritmética que la produciría es una raíz y no una potencia, y la calculadora de raíces es la página que tiene esa regla. El resultado se calcula en doble precisión y solo es exacto donde la doble precisión lo es: los enteros se guardan con exactitud hasta 2 elevado a 53, y más allá un entero vuelve con los enteros vecinos indistinguibles de él. El exponente está acotado a ±64 y la base a un millón, que son rangos de visualización y no límites matemáticos: el techo real es el punto en el que el resultado deja de ser un número representable, y llegar a él lanza un error en vez de imprimir un infinito. La forma desarrollada se abrevia a partir de seis factores, así que es una lectura de la multiplicación y no una transcripción completa de ella.

¿Qué significa un exponente negativo?

Significa el recíproco de la potencia positiva, no un número negativo. 2 con exponente −3 es 1 ÷ (2 × 2 × 2), que vale 0,125: la respuesta es menor que 1, no está por debajo de cero. La forma desarrollada de esta página imprime la división en lugar de solo el resultado, porque el signo menos es la única pieza de la notación que se lee al revés con regularidad.

¿Por qué cualquier número elevado a cero vale 1?

Porque un exponente cero significa un producto vacío, y un producto vacío es el elemento neutro de la multiplicación, que es 1. La regla de bajar un escalón dice lo mismo: cada vez que el exponente baja uno el valor se divide entre la base, y bajar 7¹ = 7 un escalón da 7 ÷ 7 = 1. Nunca es 0, porque no se multiplicó nada y de ahí no puede salir nada.

¿Cuánto vale cero elevado a cero?

No tiene valor definido, y esta página lo dice en lugar de imprimir uno. Dos reglas chocan en ese punto: toda base distinta de cero elevada a cero vale 1, y cero elevado a cualquier exponente positivo vale 0. JavaScript devuelve 1 en esa expresión, pero es una decisión que el lenguaje tomó para ser coherente consigo mismo y no un resultado matemático, y por eso la página lo rechaza en vez de darle la razón en silencio.

¿Puedo usar un exponente fraccionario como 0,5?

Sí, con una base positiva: un exponente de 0,5 es la raíz cuadrada, así que 2 elevado a 0,5 es 1,414214. Una base negativa con exponente fraccionario se rechaza, porque esa respuesta no es un número real: la aritmética que hay detrás de una potencia fraccionaria pasa por un logaritmo, y el logaritmo de un número negativo no existe en los reales. Las raíces de índice impar de un número negativo sí son reales, y la calculadora de raíces es la página que conoce esa diferencia.

¿Por qué la forma desarrollada se corta a los seis factores?

Porque a partir de ahí los puntos suspensivos llevan exactamente la misma información que el producto entero. 2 elevado a 64 escrito del todo son más de cien caracteres del mismo factor repetido, y la cuenta ya está en el exponente que escribiste, así que abreviar a 2 × 2 × … × 2 no pierde nada. Por debajo de seis factores la multiplicación se escribe entera, y por eso 3 elevado a 4 muestra los cuatro.

¿Cuándo pasa la respuesta a notación científica?

Cuando se sale del intervalo que va de 0,001 a un millón. Dentro de esa ventana el número se imprime como decimal corriente, porque 9375 se abarca de un vistazo y 9,375 × 10³ habría que traducirlo antes. Fuera de ella se muestran la mantisa y el exponente de diez, así que 2 elevado a 64 se lee como 1,844674 × 10¹⁹ en lugar de como un entero de veinte cifras sin magnitud visible.

• Power — the definition of a power as repeated multiplication, together with the rules for negative and fractional exponents — Wolfram MathWorld (United States)
• Exponentiation — the operation itself, including the reciprocal rule for negative exponents and the treatment of the indeterminate case 0⁰ — Wolfram MathWorld (United States)
• Negative Exponent — the reciprocal rule written out, and the reason a negative exponent never produces a negative value — Wolfram MathWorld (United States)