Calculadora de logaritmos

log_b(x) = ln x ÷ ln b b^y = x ⟺ y = log_b(x)

x

El argumento, el número del que se toma el logaritmo. Tiene que ser positivo: el logaritmo de 0 se va a menos infinito, y el logaritmo de un número negativo no es un número real, así que la página rechaza los dos en lugar de imprimir un valor que parezca una respuesta

b

La base, el número que se eleva a una potencia. Tiene que ser positiva y no puede ser 1, porque 1 elevado a cualquier potencia sigue siendo 1: el único argumento con logaritmo en base 1 es el propio 1, lo cual es una afirmación sobre el 1 y no sobre el argumento, así que la ecuación deja de llevar información y la página lo dice

log_b(x)

El logaritmo en la base que hayas introducido, la lectura principal. Es el exponente que convierte la base en el argumento: el logaritmo en base 10 de 1000 es 3 porque 10 al cubo es 1000. Leído al revés, es también el número de veces que hay que multiplicar la base por sí misma, y eso es lo que hace del logaritmo la herramienta natural para todo lo que se multiplica de forma repetida

ln x

El logaritmo natural, el logaritmo en base e, donde e vale aproximadamente 2,718281828. Se calcula con la base fija en e sin importar qué base haya en la casilla, y es el logaritmo en el que se escribe el cálculo y aquel para el que una calculadora científica tiene una tecla propia. La vida media y el crecimiento continuo se leen directamente de él; la fila del panel lo titula Logaritmo neperiano (ln)

lg x

El logaritmo decimal, el logaritmo en base 10, calculado también al margen de la base que haya en la casilla. Es el logaritmo de los órdenes de magnitud, y por eso está detrás del pH, de los decibelios y de la escala de Richter. Cuando la base que introduces es 10, esta columna y la principal imprimen el mismo número, y eso es lo interesante y no una duplicación

Úsala cuando la pregunta sea a qué potencia hay que elevar algo: cuántos pasos de duplicación lleva un número, qué exponente hay detrás de un pH o de un nivel en decibelios, o qué potencia de una tasa produce un factor de crecimiento dado. La columna del logaritmo natural es la que necesitan las páginas de vida media y de crecimiento continuo, y la del logaritmo decimal es la de las escalas que se miden en órdenes de magnitud. Ve a la calculadora de antilogaritmos cuando la pregunta vaya al revés y lo que tengas sea el logaritmo y quieras el número, porque esa página hace b elevado a y en lugar de buscar el exponente. Y ve a la calculadora de tiempo de duplicación si lo que quieres es el número de duplicaciones ya convertido en tiempo, ya que ahí la base es 2 y el exponente se multiplica por el tiempo de duplicación.

1. El logaritmo de 1000 en base 10

   1. Base 10, argumento 1000: un logaritmo decimal
   2. 10 × 10 × 10 = 1000, así que hay que multiplicar la base por sí misma tres veces
   3. El logaritmo es 3, y es exacto y no redondeado
   4. La columna del logaritmo decimal imprime 3 también, porque la base introducida ya es 10

   El caso con el que más se abre la página, y la demostración más limpia de que un logaritmo es un exponente y no un botón. El logaritmo natural del mismo argumento es 6,907755, y los dos números no son rivales: cuentan el mismo hecho en dos bases distintas, y cualquiera de ellos se convierte en el otro dividiéndolo entre el logaritmo de la base nueva.

2. El logaritmo de 1024 en base 2

   1. Base 2, argumento 1024: la base en la que cuentan los ordenadores
   2. Duplicar diez veces: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024
   3. Así que el logaritmo es 10, y 2 elevado a la décima potencia es 1024 exacto
   4. La fórmula del cambio de base da lo mismo: ln 1024 ÷ ln 2 = 6,931472 ÷ 0,693147

   El caso de base 2 es donde el logaritmo deja de ser un objeto de aula y se vuelve contable: la respuesta es cuántas duplicaciones hacen falta, y por eso aparece lo mismo en los prefijos binarios que en la profundidad de un árbol equilibrado. Fíjate en que la columna del logaritmo decimal imprime 3,0103 y no 3: 1024 es algo más de mil, y ese algo más es justo lo que recoge la parte decimal.

3. El logaritmo de 0,5 en base 2

   1. El argumento es menor que 1, así que el logaritmo es negativo
   2. 2 elevado a −1 es 1 ÷ 2 = 0,5
   3. El logaritmo es −1 exacto
   4. Aquí todas las columnas son negativas, incluidos los dos logaritmos con nombre

   La mitad de la página que más fácil es equivocar a mano: un argumento por debajo de 1 da un logaritmo negativo, y el logaritmo pasa por 0 exactamente cuando el argumento vale 1. No hay ningún argumento cuyo logaritmo sea cero aparte del 1, en ninguna base, y esa es la comprobación más rápida de una respuesta que no cuadra.

El argumento tiene que ser un número real positivo. El cero y los argumentos negativos se rechazan en lugar de responderse: el primero se va a menos infinito y el segundo es un número complejo, y la página no puede imprimir ninguno de los dos. La base tiene que ser positiva y no puede ser 1, por la razón explicada arriba y no como un redondeo del dominio. La página informa de seis decimales, que es un límite de presentación y no de precisión: la aritmética de debajo va a doble precisión completa, y la fórmula del cambio de base se calcula en coma flotante, así que un logaritmo que debería ser un número entero puede salir a una pizca de distancia de él y se redondea para mostrarlo. Esto es una herramienta de números reales: los logaritmos complejos, los logaritmos de argumentos complejos y las ramificaciones que traen consigo quedan fuera. Tampoco dibuja, deriva ni integra nada, y la tabla de referencia solo lista logaritmos que salen enteros, porque una tabla de logaritmos decimales habría que localizarla —0,301030 se escribe con coma en varios idiomas— mientras que los números enteros se escriben igual en todas partes.

¿Qué es un logaritmo?

Es el exponente que convierte la base en el argumento. Preguntar por el logaritmo en base b de un número es preguntar a qué potencia hay que elevar b para obtenerlo, y con base 10 y argumento 1000 la respuesta es 3. Esa es toda la definición: b elevado al logaritmo en base b de x es x. Lo demás que se sabe de los logaritmos —las reglas del producto, del cociente y de las potencias— sale de esa frase, y por eso la página imprime la forma exponencial debajo de la fórmula.

¿Por qué la base no puede ser 1?

Porque 1 elevado a cualquier potencia sigue siendo 1. En base 1 la ecuación 1 elevado a y igual a x tiene solución solo cuando x vale 1, y entonces sirve cualquier y, así que el logaritmo no sería un número único. La aritmética muestra lo mismo desde el otro lado: calcular por la fórmula del cambio de base divide entre el logaritmo de la base, y el logaritmo de 1 es 0 en cualquier base, así que la división es por cero. La página rechaza la base 1 en lugar de devolver lo que salga de esa división en coma flotante.

¿Se puede calcular el logaritmo de un número negativo?

Como número real no, y en esta página tampoco. El logaritmo de un argumento negativo es complejo, y esta es una herramienta de números reales. El cero se rechaza por otra razón: el logaritmo de 0 no es indefinido sino no acotado, se va a menos infinito a medida que el argumento se acerca a 0 por arriba, y menos infinito no es un número que esta página pueda imprimir. Los dos rechazos nombran el argumento que los ha provocado.

¿Qué diferencia hay entre ln y log?

Son la misma operación en dos bases con nombre. ln es el logaritmo natural, en base e, donde e vale aproximadamente 2,718281828; log es el logaritmo decimal, en base 10. La página imprime los dos sin importar qué base introduzcas, porque ninguno es un caso particular del otro y a los dos se los pide por su nombre. El natural es el que aparece en el cálculo y en el crecimiento continuo, y el decimal es el que está detrás del pH, de los decibelios y de cualquier escala medida en órdenes de magnitud.

¿Por qué la página imprime el mismo número dos veces?

Porque has introducido una base que coincide con uno de los logaritmos con nombre. Con base 10 la columna principal y la del logaritmo decimal llevan el mismo número, y con base e pasa lo mismo entre la principal y la del logaritmo natural. No es un cálculo duplicado sino una confirmación: es la forma que tiene quien lee de ver que la base que escribió es la base del logaritmo que tenía en la cabeza. Con cualquier otra base salen tres números distintos.

¿Cómo se comprueba un logaritmo a mano?

Se eleva la base al resultado y se mira si recuperas el argumento. Para el logaritmo de 1024 en base 2 la respuesta es 10, y 2 elevado a la décima potencia es 1024, así que cuadra. Con una respuesta fraccionaria la comprobación sigue valiendo pero cuesta más hacerla de cabeza, y ahí es donde se gana su sitio la fórmula del cambio de base que aparece en el bloque de fórmulas: dividir dos logaritmos que ya tienes es más fácil que buscar el exponente.

• Logarithm — the definition, the change of base formula this page computes with, and the domain restrictions on the base and the argument — Wolfram MathWorld (United States)
• Natural Logarithm — the base-e logarithm, including the series and the derivative that make it the logarithm of calculus — Wolfram MathWorld (United States)
• Common Logarithm — the base-10 logarithm and its history as the logarithm of tables and orders of magnitude — Wolfram MathWorld (United States)