¿Qué es un antilogaritmo?

Es el número del que se tomó un logaritmo. El logaritmo de 1000 en base 10 es 3, así que el antilogaritmo de 3 en base 10 es 1000. Escrito como fórmula, el antilogaritmo de y en base b es b elevado a la potencia y. El nombre viene de las tablas impresas, donde se buscaba un logaritmo en un sentido y su antilogaritmo en el otro.

¿Es lo mismo el antilogaritmo que el inverso del logaritmo?

Sí. Inverso del logaritmo es el nombre más descriptivo: las dos operaciones se deshacen mutuamente, así que aplicar un logaritmo y después su inverso devuelve el número con el que empezaste. En la práctica el inverso de un logaritmo en base 10 se escribe 10 elevado a x, y el inverso de un logaritmo natural es e elevado a x. Esta página calcula ese inverso para cualquier base, no solo para esas dos.

¿Qué pasa cuando el logaritmo es negativo?

El argumento sale entre 0 y 1. Un exponente negativo significa el recíproco de la potencia positiva correspondiente, así que el antilogaritmo de −2 en base 10 es 1 ÷ 100, o sea 0,01. No es un caso extremo que haya que tratar aparte: es el comportamiento ordinario de un exponente, y es la única forma en que un antilogaritmo produce una respuesta pequeña.

¿Por qué la base no puede valer 1?

Porque 1 elevado a cualquier potencia es 1, así que la ecuación no se puede resolver para un argumento concreto. El fallo es peor en este sentido que en la página del logaritmo: calcular 1 elevado a y no da ningún error, devuelve 1 sin avisar, de modo que la página imprimiría un argumento de 1 para cualquier logaritmo. La guarda existe exactamente para impedir eso.

¿Por qué se rechaza una base muy pequeña?

Porque la aritmética se queda sin dígitos por abajo. Una base de 1e−15 elevada a la potencia 100 está muy por debajo del número positivo más pequeño que puede guardar la doble precisión, así que el resultado calculado es cero, y el cero parece una respuesta perfectamente razonable cuando en realidad ningún logaritmo tiene cero por argumento. La página rechaza la entrada en lugar de imprimir un número equivocado que parece normal.

¿Puede ser negativo el argumento?

Nunca. Una base positiva elevada a cualquier potencia es positiva, así que el argumento de cualquier logaritmo es positivo y su antilogaritmo también tiene que serlo. La página lo garantiza por construcción y no con una comprobación sobre la salida: las entradas que lo romperían, una base no positiva o una base igual a 1, se rechazan antes de que ocurra la exponenciación.

Calculadora de antilogaritmo

Resultado

1000,000000

Antilogaritmo

Una calculadora de antilogaritmo recorre un logaritmo en sentido contrario, y sirve para pasar del logaritmo al número original. Dale un logaritmo y una base y te devuelve el número del que salió ese logaritmo, es decir, el argumento: el valor al que hay que elevar la base para obtenerlo. El logaritmo de 1000 en base 10 es 3, así que el antilogaritmo de 3 en base 10 es 1000; las dos páginas son inversas la una de la otra y comparten el mismo campo de base. Como el exponente puede ser negativo o fraccionario, la respuesta no siempre es un número redondo: el antilogaritmo de 2,5 en base 10 es 316,227766, y la página lo muestra con seis decimales.

Logaritmos y los argumentos de los que salen

Base	Logaritmo	Argumento
10	2	100
10	3	1000
10	5	100000
2	8	256
2	10	1024
3	4	81
4	3	64
5	3	125
7	2	49

Cada fila es una potencia leída en el sentido en que trabaja esta página: el argumento de la tercera columna es la base de la primera elevada al logaritmo de la segunda. Es el mismo hecho que el de la tabla de la página del logaritmo, leído al revés: 10 a la potencia 3 es 1000 en los dos sentidos. Las filas son números enteros a propósito. Una tabla de logaritmos decimales habría que localizarla, porque 0,301030 se escribe así en varios idiomas, mientras que los enteros se escriben igual en todas partes, de modo que esta columna es la misma cadena en los diez idiomas que sirve el sitio. La base e no tiene fila porque e no es un número entero: su inverso es la función exponencial y no una potencia de una base entera.

Fórmula

x = b^y (b es la base, y el logaritmo, x el argumento)

y: El logaritmo, el exponente del que partes. Se admite cualquier valor entre menos mil y mil, y los negativos no son un caso aparte: un exponente de −2 en base 10 da 0,01, una respuesta menor que 1, que es justo lo que significa un logaritmo negativo. Los exponentes fraccionarios también se aceptan y suelen producir un argumento irracional.
b: La base, el número que se eleva a una potencia. Tiene que ser positiva y no puede valer 1. La base 1 falla aquí de una forma peor que en la página del logaritmo: calculada al revés, 1 elevado a cualquier potencia devuelve 1 sin decir nada, así que una calculadora sin esa guarda imprimiría un argumento de 1 para cualquier logaritmo que escribieras. Las bases menores que 1 se aceptan y describen decrecimiento en lugar de crecimiento.
b^y: La potencia propiamente dicha, la operación que hace esta página. Todo lo que hace es una sola exponenciación, más las dos comprobaciones de desbordamiento que deciden si el resultado es un número que se puede imprimir. Elevar la base al exponente equivale a subir la base por una recta de potencias, y por eso un cambio pequeño en el exponente produce un cambio enorme en la respuesta.
x: El argumento, el número del que se tomó el logaritmo original, y el único resultado de la página. Siempre es positivo, porque una base positiva elevada a cualquier potencia es positiva: al contrario que en la página del logaritmo, aquí no hay ningún caso cero o negativo que rechazar. Cuando el logaritmo de entrada es exactamente 0 el argumento es 1 en cualquier base, porque todo número elevado a cero vale uno.

Ejemplos resueltos

El antilogaritmo de 3 en base 10
1. Se eleva la base al logaritmo: 10 a la potencia 3
2. 10 × 10 × 10 = 1000
3. El argumento es 1000, exacto
4. Comprobación con la página del logaritmo: el logaritmo de 1000 en base 10 es 3
Aquí se ve mejor que en ningún sitio que las dos páginas son una pareja. La calculadora de logaritmos toma 1000 y devuelve 3; esta toma 3 y devuelve 1000. Ninguna de las dos respuestas es una aproximación, y la comprobación es una sola exponenciación en cualquiera de los dos sentidos. Con cualquiera de los dos números que te dé un problema puedes llegar al otro.
El antilogaritmo de un logaritmo negativo
1. Un exponente negativo significa el recíproco de la potencia positiva
2. 10 a la potencia 2 es 100, así que 10 a la potencia −2 es 1 ÷ 100
3. El argumento es 0,01
4. Un argumento menor que 1 siempre significa que el logaritmo era negativo
La mitad de lo que se le pide a un antilogaritmo, y la mitad que más fácilmente se hace mal a mano. Cualquier logaritmo negativo da un argumento entre 0 y 1, nunca cero y nunca negativo, porque ninguna potencia de una base positiva llega a ninguno de los dos. El argumento exactamente igual a 1 es la frontera, y le corresponde un logaritmo de cero.
El antilogaritmo de un logaritmo fraccionario
1. Se parte el exponente: 10 a la potencia 2,5 es 10 al cuadrado por la raíz cuadrada de 10
2. 10 al cuadrado es 100 y la raíz cuadrada de 10 es 3,162278 aproximadamente
3. 100 × 3,162278 = 316,227766
4. El valor exacto es irracional, así que la respuesta va redondeada a seis decimales
El caso que distingue un logaritmo de una tabla de logaritmos: 2,5 no es entero, así que el antilogaritmo tampoco lo es. Escrito de forma exacta es 100√10, un número irracional, y ninguna cantidad de decimales lo termina. Los seis decimales que se muestran son un límite de presentación, no el valor.

Limitaciones

La base tiene que ser positiva y no puede valer 1, por la razón de arriba: calculada en este sentido, la base 1 devuelve 1 para cualquier entrada, que es el fallo que esta página más necesita evitar. El logaritmo está limitado a más menos mil. Fuera de ese intervalo el argumento superaría lo que puede representar la aritmética de doble precisión, unos 1e308 en cualquiera de las dos magnitudes, y la página se niega antes que imprimir Infinity. El otro extremo del mismo límite importa más: una base de 1e−15 elevada a la potencia 100 se queda por debajo de cero en coma flotante, y ese cero parece una respuesta perfectamente normal aunque ningún logaritmo tiene cero por argumento. Ese desbordamiento por abajo también se rechaza. El resultado se redondea a seis decimales para mostrarlo. Las bases menores que 1 se aceptan y dan argumentos menores que 1, que es el caso de decrecimiento y no un error. Las bases negativas se rechazan sin más: una base negativa elevada a un exponente entero es un número real, pero elevada a un exponente fraccionario no lo es, y la página admite exponentes fraccionarios, así que no admite ninguno de los dos.

Preguntas frecuentes

¿Qué es un antilogaritmo?: Es el número del que se tomó un logaritmo. El logaritmo de 1000 en base 10 es 3, así que el antilogaritmo de 3 en base 10 es 1000. Escrito como fórmula, el antilogaritmo de y en base b es b elevado a la potencia y. El nombre viene de las tablas impresas, donde se buscaba un logaritmo en un sentido y su antilogaritmo en el otro.
¿Es lo mismo el antilogaritmo que el inverso del logaritmo?: Sí. Inverso del logaritmo es el nombre más descriptivo: las dos operaciones se deshacen mutuamente, así que aplicar un logaritmo y después su inverso devuelve el número con el que empezaste. En la práctica el inverso de un logaritmo en base 10 se escribe 10 elevado a x, y el inverso de un logaritmo natural es e elevado a x. Esta página calcula ese inverso para cualquier base, no solo para esas dos.
¿Qué pasa cuando el logaritmo es negativo?: El argumento sale entre 0 y 1. Un exponente negativo significa el recíproco de la potencia positiva correspondiente, así que el antilogaritmo de −2 en base 10 es 1 ÷ 100, o sea 0,01. No es un caso extremo que haya que tratar aparte: es el comportamiento ordinario de un exponente, y es la única forma en que un antilogaritmo produce una respuesta pequeña.
¿Por qué la base no puede valer 1?: Porque 1 elevado a cualquier potencia es 1, así que la ecuación no se puede resolver para un argumento concreto. El fallo es peor en este sentido que en la página del logaritmo: calcular 1 elevado a y no da ningún error, devuelve 1 sin avisar, de modo que la página imprimiría un argumento de 1 para cualquier logaritmo. La guarda existe exactamente para impedir eso.
¿Por qué se rechaza una base muy pequeña?: Porque la aritmética se queda sin dígitos por abajo. Una base de 1e−15 elevada a la potencia 100 está muy por debajo del número positivo más pequeño que puede guardar la doble precisión, así que el resultado calculado es cero, y el cero parece una respuesta perfectamente razonable cuando en realidad ningún logaritmo tiene cero por argumento. La página rechaza la entrada en lugar de imprimir un número equivocado que parece normal.
¿Puede ser negativo el argumento?: Nunca. Una base positiva elevada a cualquier potencia es positiva, así que el argumento de cualquier logaritmo es positivo y su antilogaritmo también tiene que serlo. La página lo garantiza por construcción y no con una comprobación sobre la salida: las entradas que lo romperían, una base no positiva o una base igual a 1, se rechazan antes de que ocurra la exponenciación.

Referencias

Antilogarithm — the inverse of the logarithm, from the days when antilogarithms were looked up in printed tables — Wolfram MathWorld (United States)
Exponentiation — the operation behind the single step this page performs, including the behaviour of negative and fractional exponents — Wolfram MathWorld (United States)
Inverse Function — the general idea the log and antilog pair is an instance of, and why both directions are single steps — Wolfram MathWorld (United States)

Calculadoras relacionadas

Calculadora de logaritmosLogaritmo en cualquier base, natural o decimal.Calculadora de exponentesPotencia de una base, con exponente positivo o negativo.Calculadora de crecimiento exponencialCrecimiento exponencial: el valor final tras un tiempo.