Calculadora de raíces

ⁿ√x ⁿ√(mⁿ · r) = m · ⁿ√r ⁿ√x = x^(1/n)

x

El radicando, el número del que se toma la raíz. Aquí es un número entero, y puede ser negativo cuando el índice es impar. La restricción a los enteros es por la forma exacta y no por la aritmética: la raíz cuadrada de 2,5 es un número perfectamente corriente, pero su forma exacta es una fracción con un radical dentro, y esa es una forma de respuesta distinta de la que imprime esta columna

n

El índice de la raíz, de 2 a 12. Un índice de 1 es la identidad —la raíz primera de cualquier cosa es ella misma— y un índice de 0 no está definido, así que los dos se rechazan en lugar de responderse. El límite superior de 12 es práctico: la forma exacta funciona buscando la mayor potencia enésima perfecta que divide al radicando, y esas se vuelven escasas enseguida, así que por encima de 12 esa columna contendría casi siempre un radical vacío junto a un número enorme

ⁿ√x

La raíz como decimal, la lectura principal, impresa con seis decimales cuando no es exacta. Es el valor con el que se calcula, y es el que pierde información: 8,485281 no dice si viene de √72 o de √71,9999, y la forma exacta de al lado es lo que lo dice

m · ⁿ√r

La forma exacta: toda potencia enésima perfecta que divida al radicando se saca del radical y se escribe como coeficiente delante de un radical más pequeño. Para √72 eso da 6√2, porque 72 es 36 × 2 y 36 es un cuadrado perfecto. Cuando el radicando es una potencia perfecta no sobra nada, el radical desaparece por completo y la respuesta se escribe como un número entero, que es como la página informa de que la raíz salió exacta

x^(1/n)

La misma raíz escrita como potencia, que es como se calcula. Las dos notaciones son la misma operación y conviene saber que lo son: el exponente 1/n es la razón de que un exponente fraccionario sea una raíz y no algo desconocido. La calculadora de potencias toma esa forma directamente, y es la página que hay que usar cuando el radicando no es un número entero o el índice no es un entero

√

El signo radical sin índice escrito significa siempre la raíz cuadrada, y por eso la página imprime un √ pelado para el índice 2 y ∛ para el índice 3. A partir de 12 la notación se queda sin caracteres sueltos, así que los índices mayores se escriben con las cifras delante del signo, y la página pone un signo de multiplicación entre el coeficiente y un índice de 4 o más —2 × 4√2— porque 24√2 se leería como veinticuatro veces la raíz cuadrada de dos

Úsala cuando haya que simplificar una raíz y no solo evaluarla, que es lo que la distingue de una herramienta de raíz cuadrada que solo da decimales: simplificar √72 a 6√2, comprobar si un número es un cuadrado perfecto, resolver un ejercicio en el que se espera la respuesta en forma exacta. Es también la página de las dos preguntas que aparecen alrededor de las raíces en general: cuál es la raíz cúbica de un número negativo, que es real cuando el índice es impar, y cuál es la raíz cuarta de algo. Ve a la calculadora de potencias cuando el índice no sea un número entero, porque un exponente fraccionario es la misma operación escrita como potencia y esa página lo acepta directamente. Ve a la calculadora de fórmula cuadrática cuando el radical aparezca dentro de una fórmula y no solo, ya que el discriminante es una raíz cuadrada y esa página lee su signo además de su valor. Ve a la calculadora de raíz cuadrada o a la de raíz cúbica cuando solo se quiera uno de los dos índices, porque cada una de ellas lleva el material propio de su caso.

1. La raíz cuadrada de 16

   1. Índice 2, radicando 16: una raíz cuadrada
   2. 16 es 4 × 4, así que es un cuadrado perfecto y sale todo entero
   3. La raíz es 4, y es exacta y no redondeada
   4. La forma exacta es el número entero a secas, 4, sin que quede ningún radical

   El caso por el que más se abre la página, y el que muestra cómo informa la columna de la forma exacta cuando sale bien: ningún radical, ningún decimal, solo el entero. Quien solo quisiera saber si 16 es un cuadrado perfecto tiene la respuesta en la segunda columna sin necesidad de leer la primera.

2. La raíz cuadrada de 72

   1. 72 no es un cuadrado perfecto, así que la raíz es irracional
   2. El mayor cuadrado perfecto que divide a 72 es 36, porque 72 = 36 × 2
   3. Sacar el 36 del radical deja un 6 fuera: √72 = 6√2
   4. El valor decimal es 8,485281 con seis decimales, y 6√2 es el valor exacto

   El ejemplo que justifica la página entera. 8,485281 es una aproximación y el panel lo dice al imprimir la forma exacta a su lado; una página que solo muestre el decimal ha dejado a quien lee con un número que no es la raíz cuadrada de 72. El 2 que sobra bajo el radical es además la lectura más rápida de la situación: ahí dentro queda algo, así que nada salió exacto.

3. La raíz cúbica de 54

   1. Índice 3, radicando 54: una raíz cúbica
   2. 54 no es un cubo perfecto, pero 27 lo divide: 54 = 27 × 2
   3. Sacar el 27 deja un 3 fuera del radical: ∛54 = 3∛2
   4. El valor decimal es 3,779763

   La misma simplificación con otro índice, y el caso que demuestra que la página es una herramienta y no dos. El paso que hay que hacer a mano es encontrar el mayor cubo perfecto por debajo de 54 —27, no 8— y la tabla de referencia de esta página es exactamente la lista que hace rápida esa búsqueda: tres al cubo es 27, cuatro al cubo es 64, y 64 se pasa.

4. La raíz cuarta de 32

   1. 32 es 16 × 2, y 16 es una potencia cuarta, ya que 16 = 2⁴
   2. Sacar el 16 del radical deja un 2 fuera: ⁴√32 = 2 × ⁴√2
   3. El signo de multiplicación se escribe porque un índice de 4 no tiene signo radical de un solo carácter
   4. El valor decimal es 2,378414

   Donde la notación tiene que tener cuidado. Escrito como 24√2, la mayoría de la gente lo leería como veinticuatro veces la raíz cuadrada de dos, así que la página intercala un signo de multiplicación siempre que el índice es 4 o mayor: el coeficiente y el índice son los dos números y algo tiene que separarlos. Ni √ ni ∛ tienen ese problema, y por eso el signo aparece solo a partir del índice 4.

5. La raíz cúbica de −54

   1. El radicando es negativo y el índice es impar, así que la raíz es un número real
   2. El valor absoluto se simplifica exactamente igual que antes: ∛54 = 3∛2
   3. El signo se saca fuera, y la forma exacta lo imprime en el extremo delantero: −3∛2
   4. El valor decimal es −3,779763

   El caso negativo, y el único sitio donde la forma exacta tiene una regla propia: el signo menos va delante de toda la expresión y no dentro del radical. Es también el punto de entrada por el que llega la gente desde la calculadora de potencias, que rechaza una base negativa con exponente fraccionario porque la aritmética de detrás pasa por un logaritmo, y esta es la página que responde a esa misma pregunta tomando una raíz.

El radicando tiene que ser un número entero. La raíz cuadrada de 2,5 es un número real y esta página no la acepta, porque la forma exacta de esa raíz es una fracción con un radical encima, una forma para la que la columna de la forma exacta no tiene sitio, e imprimir solo el decimal escondería el hecho de haber tirado la respuesta exacta. Cualquier radicando fraccionario o decimal va a la calculadora de potencias, escrito como potencia fraccionaria. Los radicandos negativos se aceptan solo con índice impar: la raíz cúbica de −8 es −2, pero la raíz cuadrada de −4 no es un número real y esta página la rechaza en lugar de imprimir un valor complejo. El índice de la raíz es un número entero entre 2 y 12; un índice de 1 es la identidad y un índice de 0 no está definido, así que ninguno de los dos se acepta, y los índices fraccionarios van a la calculadora de potencias como potencias fraccionarias. Las raíces que no salen exactas se imprimen con seis decimales, que es un límite de presentación y no de precisión, porque la aritmética de detrás va a doble precisión completa. La forma exacta se simplifica hasta extraer las potencias perfectas, que es la forma estándar de un radical simplificado, y aquí no se racionaliza ningún denominador: una raíz que esté bajo una fracción corre de tu cuenta. El radicando está acotado a mil millones, y esa cota es de coste y no de matemáticas, porque la simplificación funciona por divisiones sucesivas y un radicando mayor haría que la página tardara en responder al teclear, no que diera un resultado equivocado.

¿Qué diferencia hay entre la forma exacta y el decimal?

El decimal es un valor redondeado y la forma exacta es el valor mismo. La raíz cuadrada de 72 es 6√2 exactamente; 8,485281 es lo que eso vale con seis decimales, así que multiplicar 8,485281 por sí mismo da 71,99999… y no 72. La página imprime las dos cosas porque cada una por separado engaña: el decimal es con el que se calcula, y la forma exacta es la que dice si la respuesta salió exacta.

¿Cómo se simplifica una raíz cuadrada?

Busca el mayor cuadrado perfecto que divida al número, saca su raíz delante y deja el resto dentro. Para 72 ese cuadrado es 36, porque 72 = 36 × 2, así que √72 = 6√2. Si ningún cuadrado perfecto divide al número, que es el caso de 2, 3, 5, 7 y de todo número sin factores primos repetidos, el radical no se puede simplificar y la forma exacta es simplemente √2.

¿Se puede sacar la raíz cuadrada de un número negativo?

En esta página no, y como número real en ninguna. La raíz cuadrada de −4 es 2i, un número complejo, y esta página es una herramienta de números reales. Los índices impares son otra cosa: la raíz cúbica de −8 es −2, un número real de lo más corriente, porque multiplicar tres negativos da negativo. Así que la página acepta −8 con índice 3 y rechaza −4 con índice 2.

¿Por qué no puedo escribir un decimal como radicando?

Porque la forma exacta no tiene dónde ponerlo. La raíz cuadrada de 2,5 es √10 ÷ 2, una fracción con un radical en el numerador, y la columna de la forma exacta de esta página imprime un coeficiente delante de un radical, no una fracción. En lugar de imprimir el decimal y tirar la respuesta exacta sin decirlo, la página restringe el radicando a los números enteros y lo advierte. Un radicando decimal se puede escribir como potencia fraccionaria en la calculadora de potencias.

¿Qué significa el índice del signo radical?

Es el número de veces que hay que multiplicar la raíz por sí misma para recuperar el radicando: un índice de 3 significa raíz cúbica, así que ∛8 es 2 porque 2 × 2 × 2 = 8. Sin índice escrito se entiende 2, y por eso esta página imprime un √ pelado para las raíces cuadradas y ∛ para las cúbicas. Un índice de 1 devolvería el número sin cambiar y un índice de 0 no significa nada, así que la página empieza en 2.

¿Es lo mismo una raíz cúbica que elevar a un tercio?

Sí, y así es como lo calcula la página. La raíz enésima de x es x elevado a 1/n, así que la raíz cúbica de 54 es 54 elevado a 0,3333…, que vale 3,779763. Las dos notaciones describen una sola operación. Se separan en las bases negativas: la forma con exponente pasa por un logaritmo y rechazaría −54, mientras que tomar su raíz de índice impar es directo, y por eso la calculadora de potencias manda esos casos aquí.

• nth Root — the definition of an nth root, including the rule that an even root of a negative number has no real value and an odd one does — Wolfram MathWorld (United States)
• Square Root — the index-2 case, with the simplification of radicals and the table of perfect squares this page's reference table extends — Wolfram MathWorld (United States)
• Cube Root — the index-3 case, and the reason a negative radicand has a real cube root where it has no real square root — Wolfram MathWorld (United States)