Calculadora de fórmula cuadrática

x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a Δ = b² − 4ac x₁ + x₂ = −b ÷ a x₁ · x₂ = c ÷ a

a

El coeficiente de x². No puede ser cero: con a igual a cero la ecuación es una recta disfrazada, tiene una sola raíz en lugar de dos, y las fórmulas de la suma y del producto dividen las dos entre a. La página rechaza esa entrada y dice cuál de los coeficientes falta, en lugar de contestar a otra pregunta

b

El coeficiente de x. Su signo es lo que lee el más o menos de la fórmula, y es también donde vive el riesgo de cancelación: cuando b es grande y las dos raíces están muy separadas, restar una raíz cuadrada de otra tira dígitos. La página evita esa resta en lugar de confiar en que no importe

c

El término constante. Es el producto de las dos raíces multiplicado por a, que es la comprobación más rápida que se puede hacer sin la calculadora: si las raíces que esperabas no multiplican c ÷ a, algo se torció más arriba. Cuando c es cero una raíz es cero y la otra es −b ÷ a, y eso sale de la fórmula sin ningún caso especial

Δ = b² − 4ac

El discriminante, el único número que decide la forma de la respuesta. Positivo significa dos raíces reales distintas, cero significa una raíz real repetida, negativo significa que las raíces son complejas y vienen como pareja conjugada. La página lo usa dos veces —una para elegir qué raíces calcular y otra para escoger la etiqueta que va encima del resultado— y esas dos lecturas salen del mismo valor, así que no pueden contradecirse

x = (−b ± √Δ) ÷ 2a

La fórmula cuadrática propiamente dicha. El más o menos produce las dos raíces a partir de una sola expresión, y la raíz cuadrada es el único paso que puede fallar en los números reales: un Δ negativo no tiene raíz cuadrada real, que es justo el caso que la página contesta igualmente, en complejos. La división entre 2a es la razón de que a no pueda ser cero

x₁ + x₂ = −b ÷ a

La suma de las raíces, una de las fórmulas de Vieta. Merece imprimirse porque sobrevive intacta al caso complejo: las raíces de x² − 2x + 5 son 1 + 2i y 1 - 2i, y siguen sumando 2. Quien sospeche que la página se inventa las respuestas cuando el discriminante es negativo puede mirar esa columna y encontrarla coherente con la ecuación que escribió

x₁ · x₂ = c ÷ a

El producto de las raíces, la segunda fórmula de Vieta y la comprobación que caza un error de signo en el término constante. Para una ecuación mónica es simplemente c: x² − 3x + 2 se factoriza como (x − 1)(x − 2), así que las raíces multiplican 2 y suman 3. Igual que la suma, no cambia cuando las raíces son complejas

b² − 4ac = 0

El caso límite, en el que las dos raíces se funden en una y la página imprime el mismo valor en las dos filas. No es una rareza: es la condición del trinomio cuadrado perfecto, así que aparece en todos los ejercicios de factorización. La etiqueta que va encima del resultado cambia para decirlo, y es el único sitio de la página donde se dice con palabras cuántas raíces hay

Úsala con cualquier ecuación que tenga un término en x² y de la que quieras las raíces, lo que en la práctica son tres situaciones: un ejercicio en el que la factorización no es evidente, un modelo físico cuyos coeficientes salen de medidas y por tanto no admite factorización, y un caso en el que ya se sabe que la respuesta es compleja y el tratamiento de solo raíces reales te dejaría sin nada. También es la herramienta para comprobar una factorización que ya has hecho: la suma y el producto de las raíces están impresos, así que (x − 1)(x − 2) se confirma sin volver a desarrollar los paréntesis. Ve a la calculadora de pendiente cuando a resulte ser cero, porque eso es una recta y la página que trata ax + by = c es la que responde a esa pregunta. Ve a la calculadora de raíces cuando la operación que necesitas de verdad sea una raíz cuadrada, ya que el discriminante bajo el radical es una raíz cuadrada como cualquier otra y las reglas para índices mayores están allí. Ve a la calculadora de potencias cuando lo que se calcula sea x² y no el valor de x que lo anula, que es la diferencia entre evaluar una cuadrática y encontrar dónde vale cero.

1. x² − 3x + 2 = 0

   1. El discriminante: Δ = (−3)² − 4 × 1 × 2 = 9 − 8 = 1
   2. Δ es positivo, así que las dos raíces son reales y distintas
   3. √Δ = 1, así que las raíces son (3 + 1) ÷ 2 = 2 y (3 − 1) ÷ 2 = 1
   4. El orden descendente pone el 2 en la primera fila, y las comprobaciones cuadran: 2 + 1 = 3 y 2 × 1 = 2

   La ecuación con la que llega la mayoría de quien lee, y la que se factoriza limpiamente como (x − 1)(x − 2), así que todos los números del panel se pueden confirmar volviendo a desarrollar los factores. Es también el caso en el que la respuesta parece demasiado fácil para necesitar una calculadora, y ahí está justamente el interés: el panel enseña su trabajo en un problema cuya solución ya conoces, y esas mismas cinco filas vuelven para uno cuya solución no conoces.

2. x² − x − 1 = 0

   1. El discriminante: Δ = (−1)² − 4 × 1 × (−1) = 1 + 4 = 5
   2. Δ es positivo pero no es un cuadrado perfecto, así que las raíces son irracionales
   3. √5 = 2,2360679…, así que las raíces son (1 + 2,2360679…) ÷ 2 y (1 − 2,2360679…) ÷ 2
   4. Impresas con seis decimales: 1,618034 y −0,618034

   El número áureo, y el caso que muestra por qué la página imprime fracciones solo cuando son exactas. No hay ninguna fracción que valga (1 + √5) ÷ 2, así que la respuesta es un decimal, y quien ve 1,618034 sabe que está redondeado, mientras que ese mismo número escrito como fracción parecería exacto. Las dos raíces multiplican además exactamente −1, que es el tipo de coincidencia que confirma la aritmética y no los datos.

3. 2x² + 3x − 2 = 0

   1. El discriminante: Δ = 3² − 4 × 2 × (−2) = 9 + 16 = 25
   2. √Δ = 5, así que las raíces son (−3 + 5) ÷ 4 = 1/2 y (−3 − 5) ÷ 4 = −2
   3. La primera raíz es exacta como fracción, así que se imprime 1/2 y no 0,5
   4. Las comprobaciones: 1/2 + (−2) = −1,5 y 1/2 × (−2) = −1

   El caso que decide cómo imprime la página las raíces. Las dos raíces son exactamente representables, y la menor es un número entero mientras la mayor es una fracción, así que quien supusiera que las raíces se imprimen como decimales se equivocaría en la primera fila y acertaría en la segunda. La suma y el producto son lo que hace legible la fracción: −1,5 no se ve a simple vista como la suma de 1/2 y −2 hasta que se hace, y hacerlo cuesta una línea.

4. x² − 2x + 5 = 0

   1. El discriminante: Δ = (−2)² − 4 × 1 × 5 = 4 − 20 = −16
   2. Δ es negativo, así que las raíces son complejas y vienen como pareja conjugada
   3. La parte real es −b ÷ 2a = 1 y la parte imaginaria es √16 ÷ 2 = 2
   4. Las dos raíces se imprimen, y las fórmulas de Vieta siguen valiendo: suman 2 y multiplican 5

   Aquí es donde esta página se separa de las que imprimen «no hay raíces reales» y se detienen. Las dos raíces son números perfectamente determinados, y las dos columnas de comprobación lo demuestran: 2 y 5 son la suma y el producto que exige la ecuación, y esos mismos valores volverían si las raíces fueran reales. Quien tenga entendido que aquí no hay respuesta debería leer las dos últimas filas de este ejemplo antes de creérselo.

5. x² − 4x + 4 = 0

   1. El discriminante: Δ = (−4)² − 4 × 1 × 4 = 16 − 16 = 0
   2. Δ es exactamente cero, así que las dos raíces coinciden
   3. La raíz repetida es −b ÷ 2a = 4 ÷ 2 = 2
   4. La página imprime 2 en las dos filas, y la suma es 4 porque la raíz se cuenta dos veces

   El límite para el que existe la etiqueta del resultado. La ecuación es (x − 2)², así que las dos filas dicen 2 y nada en la pareja parece un error, pero quien cuente filas concluiría que hay dos raíces cuando hay una. La etiqueta que va encima del resultado dice una raíz real repetida, y que la suma sea 4 y no 2 es la aritmética dando la razón al veredicto.

Esta página resuelve ecuaciones cuadráticas y ahí se acaba. Las cúbicas, las cuárticas y las ecuaciones con un término en x⁴ tienen sus propios métodos y sus propias páginas en otro sitio; nada de aquí se extiende a ellas. Un coeficiente principal igual a cero se rechaza en lugar de tratarse en silencio como una ecuación lineal, así que bx + c = 0 tiene que ir a la calculadora de pendiente, que es la que maneja esa forma. Cuando el discriminante es negativo las raíces se imprimen como números complejos en la forma p ± qi, lo cual basta para leerlas y comprobarlas pero no es una herramienta completa de aritmética compleja: multiplicar dos de ellos a mano corre de tu cuenta. Las raíces se imprimen con seis decimales cuando son irracionales, lo cual es un límite de presentación y no de precisión, porque el cálculo que hay detrás va a doble precisión completa y el redondeo ocurre solo a la salida. El orden de las dos raíces lo fija una convención y no la fórmula, así que una página o un libro que las liste al revés no contradice a esta, solo las ordena de otro modo. Los coeficientes están limitados a un millón en valor absoluto, que es un rango de presentación y no uno matemático. Por último, la suma y el producto de las raíces se imprimen con los mismos seis decimales que todo lo demás, así que una suma exacta de un tercio volvería como 0,333333 y no como fracción: el trato de fracción lo reciben las columnas de las raíces y estas dos no.

¿Qué hago cuando el discriminante es negativo?

Leer las dos raíces que la página imprime de todos modos. Un discriminante negativo significa que las soluciones son una pareja conjugada de números complejos y no dos reales, y están perfectamente determinadas: x² − 2x + 5 tiene las raíces 1 + 2i y 1 - 2i. Muchos libros se detienen en «no hay raíces reales», lo cual es cierto pero incompleto, porque la ecuación sigue teniendo dos soluciones y las columnas de la suma y el producto de esta página las confirman.

¿Cuál de las dos raíces es la primera?

La mayor de las dos. El más o menos de la fórmula no ordena las raíces, así que la página tiene que elegir, y elige el orden descendente, lo que significa que la raíz 1 nunca es menor que la raíz 2. Esto importa más de lo que parece: sin un orden fijo, cambiar el signo de b intercambiaría las dos filas y quien comparara dos cálculos creería que las respuestas han cambiado.

¿Por qué una raíz se imprime a veces como fracción y a veces como decimal?

Las fracciones se imprimen cuando son exactas y el denominador es pequeño, y los decimales cuando no. 2x² + 3x − 2 tiene las raíces 1/2 y −2, y 1/2 es exacta y corta, así que se escribe como fracción: imprimir 0,5 ahí sugeriría un valor redondeado. El número áureo es (1 + √5) ÷ 2, que no es una fracción en absoluto, así que se escribe 1,618034 y la coma decimal avisa de que es aproximado.

¿Qué pasa si a es cero?

La página rechaza la entrada en lugar de resolverla. Con a igual a cero la ecuación es bx + c = 0, que es una recta con una única raíz de valor −c ÷ b, y las fórmulas de la suma y del producto de las raíces dividen las dos entre a y dejan de significar nada. La calculadora de pendiente maneja las ecuaciones de esa forma, así que el rechazo la nombra como el sitio al que ir.

¿Para qué sirve el discriminante?

Es el único número que dice en cuál de los tres casos estás antes de calcular nada más: Δ = b² − 4ac. Positivo significa dos raíces reales distintas, cero significa una raíz real repetida y negativo significa una pareja conjugada de raíces complejas. Va bajo la raíz cuadrada en la fórmula, así que su signo es exactamente la pregunta de si hay una raíz cuadrada real que extraer.

¿Sirve esta página para comprobar una factorización?

Sí, y las columnas de la suma y del producto están precisamente para eso. Si crees que x² − 3x + 2 se factoriza como (x − 1)(x − 2), las raíces deberían ser 1 y 2, su suma debería ser 3 y su producto 2, que es lo que imprime el panel. Un error de signo en el término constante aparece de inmediato como un producto del signo contrario, y eso es más rápido que volver a desarrollar los paréntesis.

• Quadratic Equation — the formula, the discriminant and the three cases it distinguishes, including the complex roots this page prints — Wolfram MathWorld (United States)
• Discriminant — how a single combination of the coefficients determines the number and nature of the roots — Wolfram MathWorld (United States)
• Vieta's Formulas — the relations between the coefficients of a polynomial and the sums and products of its roots, which this page prints as a check — Wolfram MathWorld (United States)