Calculadora de completar el cuadrado

ax² + bx + c = a(x − h)² + k h = −b ÷ 2a k = c − b² ÷ 4a

a

El coeficiente principal, que no puede ser cero: con a igual a cero no hay término al cuadrado, la expresión es una recta y no una cuadrática, y no hay ningún cuadrado que completar. El signo de a decide hacia dónde se abre la parábola, hacia arriba cuando a es positivo y hacia abajo cuando es negativo, y su magnitud decide lo estrecha que es la curva.

b

El coeficiente del término lineal. Es el que fija la posición horizontal del vértice: h es −b dividido entre dos veces a, así que una b positiva empuja el vértice hacia la izquierda y una b negativa lo empuja hacia la derecha. Su cuadrado también entra en k, y por eso una b grande con una a pequeña desplaza el vértice muchísimo en vertical.

c

El término constante. Sube o baja la parábola entera y no mueve el vértice ni un poco de lado: c aparece solo en k, nunca en h. Se pide como dato obligatorio en lugar de darlo por cero cuando falta, porque omitirlo haría que la k de la forma impresa fuera incorrecta sin que nada en la página dejara ver que se había supuesto un valor.

h

La coordenada x del vértice, igual a −b ÷ 2a. Es el valor de x que anula el término al cuadrado, y eso es lo que significa aquí la palabra vértice: el punto más bajo de la curva cuando a es positivo y el más alto cuando es negativo. En la forma impresa su signo se pliega dentro del paréntesis, así que un vértice en −3 se escribe (x + 3)² y no (x − (−3))².

k

La coordenada y del vértice, igual a c − b² ÷ 4a. Es el valor que toma la expresión entera cuando x vale h, o sea el mínimo de la cuadrática si a es positivo y su máximo si es negativo. Cuando k sale cero, la forma impresa elimina el término constante: un cuadrado perfecto se escribe (x + 3)², no (x + 3)² + 0.

1. Completar el cuadrado en x² + 6x + 5

   1. Se divide entre dos el coeficiente de x: 6 ÷ 2 = 3, así que el paréntesis es (x + 3)
   2. Se eleva al cuadrado: (x + 3)² = x² + 6x + 9, que son 4 más que la expresión de partida
   3. Se resta el exceso: (x + 3)² - 4
   4. El vértice está en (−3, −4), y como el coeficiente principal es positivo la parábola se abre hacia arriba

   El ejemplo resuelto de manual, y el único en el que la aritmética se puede comprobar desarrollando. El paréntesis se elige de modo que su cuadrado reproduzca exactamente los dos primeros términos; lo que ese cuadrado se pasa se resta otra vez, y el resultado es la misma expresión con otra forma. A partir de esta forma el vértice se lee sin hacer ninguna cuenta.

2. Una forma que sale en fracciones

   1. La mitad de 1 da el paréntesis: (x + 1/2)
   2. Elevarlo al cuadrado da x² + x + 1/4, un cuarto más que x² + x
   3. Se resta ese cuarto: (x + 1/2)² - 1/4
   4. El vértice está en (−1/2, −1/4), que las dos columnas numéricas informan como −0,5 y −0,25

   Aquí es donde la impresión en fracciones se gana su sitio. La mitad de un coeficiente impar es una fracción, y sigue siendo una fracción durante todo el cálculo, así que la forma impresa es exacta mientras que 0,5 y 0,25 no son más que dos de sus escrituras decimales. Las dos columnas numéricas tienen que usar decimales, porque contienen números y no notación, y aquí conviene leer cada columna por culpa de la otra.

3. Un cuadrado perfecto

   1. La mitad de 6 da el paréntesis: (x + 3)
   2. Elevarlo al cuadrado da x² + 6x + 9, que es exactamente la expresión
   3. No sobra nada, así que el término constante desaparece de la forma impresa
   4. El vértice se apoya en el eje x, en (−3, 0)

   El caso que muestra por qué el término constante se omite en lugar de imprimirse como + 0. Cuando la expresión ya es un cuadrado perfecto, el vértice toca el eje x y la forma final tiene dos términos en vez de tres. Que la cola haya desaparecido es en sí mismo la información: dice que la cuadrática tiene una raíz doble justo en ese valor de x, el mismo hecho que la página de las raíces informaría como una única solución.

El coeficiente principal no puede ser cero. Con a igual a cero la expresión es lineal, su gráfica es una recta y la idea de completar el cuadrado no se aplica: la página rechaza la entrada en lugar de dividir entre cero de camino a h. Los tres coeficientes están limitados a una magnitud de un millón, porque las coordenadas del vértice crecen con el cuadrado de b y más allá de ese rango la columna de k se iría a los cientos de miles de millones y dejaría de ser un número utilizable. Los valores de la forma impresa se muestran como fracciones cuando el denominador es exacto y no pasa de mil, y con seis decimales cuando no lo es; las dos columnas con nombre usan siempre decimales, porque contienen números y no notación. Esta página no resuelve la cuadrática. Informa de la expresión en su forma de vértice y de las coordenadas del vértice, y las raíces, es decir, los puntos en los que la parábola corta el eje x, se calculan en la página de la fórmula cuadrática con la que enlaza. Tampoco imprime si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo: eso lo decide el signo del coeficiente principal, y ese signo se ve en el primer campo que escribiste, no en ninguno de los tres resultados.

¿Qué hace exactamente completar el cuadrado?

Reescribe una expresión cuadrática en forma de vértice, a(x − h)² + k, donde el vértice de la parábola se lee directamente de la expresión en lugar de calcularse. El procedimiento consiste en tomar la mitad del coeficiente de x, elevar al cuadrado el paréntesis que resulta y restar lo que ese cuadrado haya añadido. El valor de la expresión no cambia en nada, solo su forma.

¿Por qué los números se imprimen como fracciones?

Porque la mitad de un coeficiente impar es una fracción, y una fracción se conserva exacta durante el resto del trabajo. Escribir 1/2 como 0,5 parece inofensivo hasta que el paso siguiente lo multiplica, y en ese momento el decimal hay que redondearlo y la respuesta se desvía. La forma impresa usa una fracción siempre que el denominador sea exacto y no pase de mil, y recurre a seis decimales solo cuando no puede.

¿Cómo sé si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo?

Por el signo del coeficiente principal a: positivo se abre hacia arriba y negativo hacia abajo. Esta página no imprime esa conclusión, porque el signo de a no aparece en ninguno de sus tres resultados: se ve en el primer campo que escribiste, y la forma del vértice lo refleja. Cuando a es positivo el vértice es el mínimo de la cuadrática, y cuando es negativo es el máximo.

¿Esta página resuelve la ecuación cuadrática?

No. Informa de la expresión en forma de vértice y de las coordenadas del vértice. Resolver significa encontrar los valores de x para los que la expresión vale cero, que son los puntos en los que la parábola corta el eje x, y eso es lo que hace la página de la fórmula cuadrática enlazada más abajo. Las dos páginas toman los mismos tres coeficientes y devuelven cosas distintas: una devuelve una expresión y la otra devuelve raíces.

¿Por qué a veces falta el término constante en la respuesta?

Porque ha salido cero. Cuando la cuadrática ya es un trinomio cuadrado perfecto el vértice se apoya en el eje x, y la forma impresa elimina la constante final en lugar de escribir + 0: el cuadrado de x + 3 se escribe (x + 3)² y no (x + 3)² + 0. Que la cola desaparezca tiene significado: te dice que la cuadrática tiene una raíz doble exactamente en ese valor de x.

¿Por qué no puede ser cero el coeficiente principal?

Porque entonces no hay término al cuadrado, así que la expresión es una recta y no hay nada que completar. Además, dividir entre 2a para hallar el vértice sería dividir entre cero, y el vértice de una recta no es un punto bien definido en el mismo sentido. La página rechaza la entrada y la nombra, en lugar de producir una forma sin sentido.

• Completing the Square — the algebraic procedure, its use in deriving the quadratic formula, and the vertex form it produces — Wolfram MathWorld (United States)
• Quadratic Equation — the equation this page's expression belongs to, and where the roots that this page does not compute come from — Wolfram MathWorld (United States)
• Parabola — the curve the expression draws, with the vertex at the point this page reports — Wolfram MathWorld (United States)