¿Qué es la forma en vértice?

Es y = a(x − h)² + k, una manera de escribir una cuadrática que deja el vértice a la vista: el punto de giro de la parábola es el punto (h, k), y las dos coordenadas se leen de la ecuación sin hacer ninguna cuenta. La forma estándar ax² + bx + c describe la misma curva, porque las dos son reordenaciones de lo mismo, y la a es el mismo número en ambas.

¿En qué se diferencia de la calculadora de completar el cuadrado?

La aritmética es la misma y el vértice sale idéntico, porque las dos páginas toman exactamente los mismos tres coeficientes. Lo que cambia es lo que entregan: aquella imprime la expresión reescrita, a(x − h)² + k, y explica el método para llegar hasta ella; esta imprime la ecuación de la parábola, y = a(x − h)² + k, y va de leer la gráfica —por dónde da la vuelta, hacia dónde abre, lo ancha que es. Por eso en aquella página la escritura se llama forma de vértice y aquí forma en vértice: es el mismo objeto, y el nombre que ves en el panel es el que manda en cada página.

¿Cómo sé si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo?

Por el signo de a, el número que va delante del paréntesis. Positivo abre hacia arriba, así que el vértice es el punto más bajo de la curva y k es el valor mínimo; negativo abre hacia abajo, así que el vértice es el punto más alto y k es el máximo. La página no imprime un veredicto, porque el signo de a no es uno de sus resultados, pero está justo ahí en la ecuación, delante del paréntesis.

¿Dónde está el eje de simetría?

En x = h, la recta vertical que pasa por el vértice: la misma h que aparece dentro del paréntesis. La parábola es su propia imagen especular respecto de esa recta, y por eso el vértice es el punto de giro: todo lo que queda a su izquierda es el reflejo de algo que está a su derecha. Eso significa además que las dos raíces, cuando la curva las tiene, están a la misma distancia a un lado y a otro, de modo que su promedio es h.

¿Por qué la ecuación muestra a veces fracciones?

Porque el valor exacto era una fracción. Un decimal que termina en pocas cifras y tiene un denominador pequeño se imprime como fracción —0,5 como 1/2, 0,25 como 1/4—, ya que así es como se escribiría a mano y porque 1/2 es exacto y no aproximadamente 0,5. Todo lo que sea más largo se imprime como decimal redondeado a seis cifras, así que un vértice en un tercio aparece como 0,333333.

¿Por qué a veces falta el último término de la respuesta?

Porque la coordenada y del vértice es cero, y sumarle nada a la ecuación solo añadiría un término que siempre vale cero. Eso ocurre exactamente cuando la curva toca el eje x en lugar de cortarlo: el vértice está sobre el eje y la cuadrática es un trinomio cuadrado perfecto. Así que y = (x + 1)² es una forma en vértice completa, no una recortada.

Calculadora de forma vértice

Resultado

y = 2(x - 1)² - 1

Forma en vértice

Coordenada x del vértice: 1,000000
Coordenada y del vértice: -1,000000

La forma en vértice de una cuadrática es y = a(x − h)² + k, y merece la pena tenerla porque el vértice de la parábola está justo ahí dentro: el punto (h, k) se lee directamente, sin hacer ninguna cuenta. Entran los tres coeficientes de la forma estándar ax² + bx + c y sale la misma curva escrita de la otra manera, con el vértice dado como dos números al lado. (En la página hermana de completar el cuadrado esta misma escritura aparece como forma de vértice; es el mismo objeto con dos nombres, y los dos se usan.) El signo del paréntesis es lo único que hay que vigilar: (x - 3) sitúa el vértice en x = 3, mientras que (x + 3) lo sitúa en x = -3. El eje de simetría es la recta vertical que pasa por el vértice, y la parábola es su propia imagen especular respecto de esa recta.

Ocho cuadráticas y la forma en vértice de cada una

a	b	c	Forma en vértice
1	-6	5	y = (x - 3)² - 4
1	6	5	y = (x + 3)² - 4
1	0	-9	y = x² - 9
-1	0	4	y = -x² + 4
2	-4	1	y = 2(x - 1)² - 1
1	2	1	y = (x + 1)²
-2	4	3	y = -2(x - 1)² + 5
0.5	3	0.5	y = (1/2)(x + 3)² - 4

Cada fila es una cuadrática en forma estándar y la forma en vértice de la que es la misma curva, calculada por el mismo código que responde al formulario de arriba. Las filas están elegidas para cubrir las formas que puede tomar la respuesta: una curva corriente que abre hacia arriba, su imagen especular, un vértice sobre el eje y donde el paréntesis desaparece, una que abre hacia abajo con un coeficiente principal de -1, otra con coeficiente 2, una con el vértice sobre el eje x, una que abre hacia abajo con un coeficiente distinto de -1, y un coeficiente principal fraccionario que tiene que ir entre paréntesis. Leer la última columna de arriba abajo muestra las dos coordenadas moviéndose por separado: el número de dentro del paréntesis es la coordenada x del vértice con el signo invertido, y el de fuera es la coordenada y tal cual. Las tres primeras columnas las imprime el motor tal cual salen de la aritmética, sin pasar por el formato del idioma, así que la fila de la fracción muestra 0.5 con punto aunque el resto de la página escriba 0,5 con coma: es la misma cifra con dos grafías dentro de una misma página, y el motivo es que las celdas numéricas de una tabla no llevan localización.

Fórmula

y = ax² + bx + c → h = −b ÷ (2a) → k = c − b² ÷ (4a) → y = a(x − h)² + k

a: El estiramiento, y también la dirección. Es el mismo número que en la forma estándar, porque la forma en vértice no lo cambia, y ahora va delante del paréntesis. Positivo abre hacia arriba, negativo abre hacia abajo, y su tamaño decide lo estrecha que es la parábola: un coeficiente principal de magnitud mayor que 1 es más estrecho que la x² a secas, y menor que 1 es más ancho.
h: La coordenada x del vértice, que es aquello alrededor de lo que se construye el paréntesis. Su signo se invierte al entrar en él: un vértice en x = -3 se escribe (x + 3). Es además la posición del eje de simetría, y el punto más alto o más bajo de la curva está sobre la recta vertical x = h.
k: La coordenada y del vértice: el valor que toma la curva ahí, y por tanto el más pequeño que alcanza cuando abre hacia arriba, o el más grande cuando abre hacia abajo. Es lo que sobra después de que el cuadrado se lleve el resto, y k = 0 es el caso especial en el que el vértice cae justo sobre el eje x.
x, y: Las dos variables de la ecuación ya terminada. Cualquier pareja que la cumpla está sobre la curva, así que la forma en vértice es una descripción completa de la parábola: la misma descripción que la forma estándar, ordenada para que el punto interesante sea el que se puede leer.

Úsala cuando tengas una ecuación cuadrática en forma estándar y lo que quieras saber sea por dónde da la vuelta la curva —el máximo de un beneficio, el mínimo de un coste, lo alto que llega una pelota lanzada— o cuando haya que dibujarla, porque el vértice más la dirección de apertura son casi toda la forma. También es la forma a la que recurrir cuando el vértice es el dato que te han dado y la forma estándar es lo que quieres, leída al revés. Toda cuadrática tiene una, y con los tres coeficientes basta para encontrarla.

Ejemplos resueltos

y = 2x² - 4x + 1 — un coeficiente principal distinto de 1
1. La coordenada x del vértice: h = −b ÷ (2a) = 4 ÷ 4 = 1
2. La coordenada y del vértice: k = c − b² ÷ (4a) = 1 − 16 ÷ 8 = 1 − 2 = −1
3. El paréntesis se construye alrededor de h = 1, así que se lee (x - 1)
4. El coeficiente principal 2 va delante del paréntesis: y = 2(x - 1)² - 1
La comprobación es desarrollarlo otra vez: 2(x - 1)² = 2x² - 4x + 2, y sumarle el -1 devuelve 2x² - 4x + 1, que es de donde salimos. Eso es lo que hace que esto sea una reescritura y no otra curva: la misma parábola, descrita por su punto de giro en lugar de por sus coeficientes. El 2 de delante está haciendo un trabajo real y no desaparece; un coeficiente principal de 1 es el único que deja el paréntesis solo.
y = -x² + 4 — abre hacia abajo y no tiene término en x
1. La coordenada x del vértice: h = −0 ÷ (2 × −1) = 0
2. La coordenada y del vértice: k = 4 − 0 = 4
3. Con h = 0 el paréntesis diría (x - 0), así que se reduce a un x² sin más
4. Un coeficiente principal de -1 se escribe con un solo signo menos: y = -x² + 4
Este es el caso en el que la forma en vértice y la forma estándar son la misma cadena, y ese es justo el punto: cuando b vale cero el vértice ya está sobre el eje y, así que no había nada que desplazar ni nada que completar. Lee la respuesta como una descripción y no como un cambio: la curva abre hacia abajo y da la vuelta en (0, 4), que está cuatro unidades por encima del origen.
y = 0,5x² + 3x + 0,5 — un coeficiente principal fraccionario
1. La coordenada x del vértice: h = −3 ÷ (2 × 0,5) = −3
2. La coordenada y del vértice: k = 0,5 − 9 ÷ 2 = 0,5 − 4,5 = −4
3. El paréntesis se construye alrededor de h = −3, así que se lee (x + 3): el signo se invierte
4. Un medio se imprime como fracción y entre paréntesis, porque 1/2(x + 3)² se leería como 1 dividido entre 2(x + 3)²: y = (1/2)(x + 3)² - 4
Desarrollarlo lo confirma: (1/2)(x + 3)² = 0,5x² + 3x + 4,5, y 4,5 − 4 devuelve la constante a 0,5. La fracción aparece porque los coeficientes eran fracciones, no porque se haya aproximado nada: 1/2 es exacto, y 0,5 es el mismo número, pero la forma impresa es la que se escribe a mano.

Limitaciones

El coeficiente principal no puede ser cero. Con a = 0 no hay cuadrado que completar ni vértice que informar, porque la gráfica es una recta: la página rechaza la entrada en lugar de inventarse una respuesta. Los coeficientes están limitados a un millón en cualquiera de los dos sentidos, y una a muy pequeña combinada con una b muy grande también se rechaza, porque el vértice se iría más allá del punto en el que el número significa algo. La ecuación se imprime, no se resuelve: la página no dice cuáles son las raíces, ni dónde corta la curva al eje x, ni el valor de y en otra x cualquiera — las raíces las da la calculadora de fórmula cuadrática enlazada abajo, y desarrollar la forma en vértice otra vez es lo que hace la calculadora de productos notables. Los números se imprimen como fracciones cuando el denominador es lo bastante pequeño para leerse, y como valores de seis cifras decimales en caso contrario, así que un vértice en un tercio sale como 0,333333. Aquí nada lleva unidades, porque los coeficientes de una cuadrática son números y no medidas.

Preguntas frecuentes

¿Qué es la forma en vértice?: Es y = a(x − h)² + k, una manera de escribir una cuadrática que deja el vértice a la vista: el punto de giro de la parábola es el punto (h, k), y las dos coordenadas se leen de la ecuación sin hacer ninguna cuenta. La forma estándar ax² + bx + c describe la misma curva, porque las dos son reordenaciones de lo mismo, y la a es el mismo número en ambas.
¿En qué se diferencia de la calculadora de completar el cuadrado?: La aritmética es la misma y el vértice sale idéntico, porque las dos páginas toman exactamente los mismos tres coeficientes. Lo que cambia es lo que entregan: aquella imprime la expresión reescrita, a(x − h)² + k, y explica el método para llegar hasta ella; esta imprime la ecuación de la parábola, y = a(x − h)² + k, y va de leer la gráfica —por dónde da la vuelta, hacia dónde abre, lo ancha que es. Por eso en aquella página la escritura se llama forma de vértice y aquí forma en vértice: es el mismo objeto, y el nombre que ves en el panel es el que manda en cada página.
¿Cómo sé si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo?: Por el signo de a, el número que va delante del paréntesis. Positivo abre hacia arriba, así que el vértice es el punto más bajo de la curva y k es el valor mínimo; negativo abre hacia abajo, así que el vértice es el punto más alto y k es el máximo. La página no imprime un veredicto, porque el signo de a no es uno de sus resultados, pero está justo ahí en la ecuación, delante del paréntesis.
¿Dónde está el eje de simetría?: En x = h, la recta vertical que pasa por el vértice: la misma h que aparece dentro del paréntesis. La parábola es su propia imagen especular respecto de esa recta, y por eso el vértice es el punto de giro: todo lo que queda a su izquierda es el reflejo de algo que está a su derecha. Eso significa además que las dos raíces, cuando la curva las tiene, están a la misma distancia a un lado y a otro, de modo que su promedio es h.
¿Por qué la ecuación muestra a veces fracciones?: Porque el valor exacto era una fracción. Un decimal que termina en pocas cifras y tiene un denominador pequeño se imprime como fracción —0,5 como 1/2, 0,25 como 1/4—, ya que así es como se escribiría a mano y porque 1/2 es exacto y no aproximadamente 0,5. Todo lo que sea más largo se imprime como decimal redondeado a seis cifras, así que un vértice en un tercio aparece como 0,333333.
¿Por qué a veces falta el último término de la respuesta?: Porque la coordenada y del vértice es cero, y sumarle nada a la ecuación solo añadiría un término que siempre vale cero. Eso ocurre exactamente cuando la curva toca el eje x en lugar de cortarlo: el vértice está sobre el eje y la cuadrática es un trinomio cuadrado perfecto. Así que y = (x + 1)² es una forma en vértice completa, no una recortada.

Referencias

Parabola vertex — the point this page reports, and why the curve turns around there — Wolfram MathWorld (United States)
Vertex — the same notion for curves in general, of which the parabola's turning point is one case — Wolfram MathWorld (United States)
Quadratic polynomial — ax² + bx + c and the several ways it can be written, vertex form among them — Wolfram MathWorld (United States)

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