¿Por qué se suman los productos exterior e interior?

Porque los dos producen un término en x, y los términos semejantes se combinan. En FOIL nada es opcional: los cuatro productos son la lista completa de pares que se pueden formar, y el resultado es su suma. El exterior y el interior son los dos únicos que pueden juntarse, y por eso el desarrollo de dos binomios tiene tres términos y no cuatro.

¿Funciona FOIL con coeficientes negativos?

Sí, y el signo viaja con el término al que pertenece. En (x + 5)(x − 5) el producto exterior es −5x y el interior es +5x; se cancelan, así que el término central desaparece y solo quedan dos términos. Que las dos constantes sean negativas es otro caso distinto: hace que el producto final vuelva a ser positivo, porque menos por menos da más.

¿El coeficiente de x puede ser cero?

En esta página no. Un binomio cuyo coeficiente de x es cero es en realidad una constante, y multiplicar por ella es aritmética corriente y no este método: el primer paso no produciría nada que escribir. La entrada se rechaza y se nombra, en lugar de tratarla como una constante sin decirlo.

¿Por qué a veces falta un término en la respuesta?

Porque su coeficiente ha salido cero. Cuando los productos exterior e interior se cancelan no hay término en x, y la forma desarrollada se escribe x² − 25 en lugar de x² + 0x − 25. Omitir el término vacío es la convención que sigue el impresor en toda la página; los cuatro productos con nombre siguen mostrando qué pasó con él.

¿Por qué las respuestas fraccionarias se imprimen como fracciones?

Porque una fracción es exacta y un decimal solo es una de sus escrituras. (x + 1/2)(x + 3) tiene un coeficiente de x igual a 7/2, e imprimirlo como 3,5 sería correcto aquí pero se desviaría en cuanto el paso siguiente lo multiplicara. La forma impresa usa una fracción siempre que el denominador sea exacto y como mucho mil, y recurre a seis decimales solo cuando no queda otra.

Calculadora de FOIL

Resultado

x² + 5x + 6

Forma desarrollada

Primero: 1,000000
Exteriores: 3,000000
Interiores: 2,000000
Último: 6,000000

Una calculadora de FOIL multiplica dos binomios y devuelve la forma desarrollada de la cuadrática que suman los cuatro productos. FOIL es el orden en el que se trabaja: primero, exteriores, interiores y último, es decir, los dos términos principales, los dos que quedan fuera del producto escrito, los dos que quedan dentro y las dos constantes. Cada uno de esos cuatro productos se lista por su nombre junto a la forma desarrollada, así que (x + 2)(x + 3) se lee 1, 3, 2 y 6, y después x² + 5x + 6. El método también se conoce como doble distributiva, y no es más que aplicar la propiedad distributiva dos veces, una por cada término del primer binomio. Los coeficientes negativos se tratan igual: cuando los dos productos centrales se cancelan en parte, la forma desarrollada lo muestra, y un término que sale cero se omite en lugar de imprimirse con coeficiente cero. Los coeficientes fraccionarios se quedan en fracción, para que la respuesta siga siendo exacta.

Cuatro coeficientes y la forma desarrollada que producen

a	b	c	d	Forma desarrollada
1	1	1	1	x² + 2x + 1
1	2	1	3	x² + 5x + 6
1	-2	1	-3	x² - 5x + 6
1	2	1	-3	x² - x - 6
1	-1	1	1	x² - 1
2	1	3	4	6x² + 11x + 4
1	5	1	-5	x² - 25
1	3	1	0	x² + 3x
1	0	1	7	x² + 7x
-1	2	1	3	-x² - x + 6
2	-3	4	1	8x² - 10x - 3
1	10	1	-10	x² - 100

Cada fila toma los cuatro coeficientes de (ax + b)(cx + d) y muestra la cuadrática a la que se multiplican. Las filas están elegidas para cubrir las combinaciones de signos y no para ser arbitrarias, porque los signos son justo lo que los cuatro productos con nombre no pueden decirte por su cuenta: la tercera fila tiene las dos constantes negativas y aun así termina en un término positivo, la cuarta tiene una de cada signo e imprime un término central negativo con su coeficiente 1 omitido, y la quinta cancela su término central por completo. La octava fila muestra un último término que falta y la novena un producto interior que falta, los dos omitidos en lugar de impresos con un cero. La décima lleva un coeficiente principal negativo escrito como un menos suelto. Las cuatro primeras columnas son números enteros y la última es notación, así que la tabla es idéntica en los diez idiomas que sirve el sitio; el signo de esa última columna es un guion ASCII y no el menos tipográfico del texto, porque una celda de tabla no se localiza.

Fórmula

(ax + b)(cx + d) = acx² + (ad + bc)x + bd F = ac O = ad I = bc L = bd

a, c: Los dos coeficientes de x, uno de cada binomio. Ninguno puede ser cero: un binomio con el término en x nulo es una constante, y multiplicar por ella no es este método. El producto de los dos es el primer término de la forma desarrollada, y por eso el coeficiente principal de la respuesta es ac y no simplemente a ni c
b, d: Las dos constantes. Pueden ser cero, negativas o fraccionarias, y deciden dos de los cuatro productos: el par de los exteriores ad y el de los interiores bc se suman para dar el término central, mientras que su producto bd es la constante del final. Que las dos sean negativas es lo que hace que el último término vuelva a ser positivo
F, O, I, L: Los cuatro productos, en el orden en que el método los nombra: primero (ac), exteriores (ad), interiores (bc) y último (bd). El término central de la forma desarrollada es la suma de los productos exterior e interior, y ese es el único paso de la doble distributiva en el que dos números se combinan en lugar de simplemente escribirse uno detrás de otro
x: La variable en la que están escritos los dos binomios. Aquí no toma ningún valor: la respuesta es una expresión y no un número, y por eso la lectura principal es texto y no una columna numérica

Úsala para multiplicar dos binomios a mano y comprobar el resultado paso a paso. La dirección inversa, tomar una cuadrática desarrollada y escribirla otra vez como un producto, es la factorización, y la página de completar el cuadrado arranca de la misma expresión por el otro extremo. Merece la pena reconocer dos casos particulares mientras se usa: si los dos binomios son iguales, los productos exterior e interior salen iguales y se suman en lugar de cancelarse, así que el resultado es un cuadrado de binomio; y si solo cambia el signo de la constante, los dos se cancelan y lo que queda es una diferencia de cuadrados, con el término central fuera.

Ejemplos resueltos

(x + 2)(x + 3)
1. Primero: x × x = x², así que el primer producto es 1
2. Exteriores: x × 3 = 3x, el producto exterior es 3
3. Interiores: 2 × x = 2x, el producto interior es 2
4. Último: 2 × 3 = 6
5. Exteriores e interiores se combinan en el término central: 3x + 2x = 5x
6. La forma desarrollada es x² + 5x + 6
El caso estándar, y aquel en el que los cuatro productos son positivos y todos distintos. El término central sale de sumar los productos exterior e interior, que es el paso que más se salta: tener los dos números impresos junto a la respuesta es justo lo que hace que ese paso se pueda comprobar sin rehacer el cálculo entero.
Cuando ningún coeficiente de x es 1
1. Primero: 2x × 3x = 6x², así que el coeficiente principal es 6
2. Exteriores: 2x × 4 = 8x
3. Interiores: 1 × 3x = 3x
4. Último: 1 × 4 = 4
5. Término central: 8x + 3x = 11x
6. La forma desarrollada es 6x² + 11x + 4
El coeficiente principal es un producto y no un número suelto, así que no se puede leer en ninguno de los dos binomios. Nada más del método cambia: el término central sigue siendo la suma de los productos exterior e interior, y es el único sitio donde dos de los cuatro números se juntan en uno.
Una diferencia de cuadrados
1. Primero: x × x = x²
2. Exteriores: x × (−5) = −5x
3. Interiores: 5 × x = 5x
4. Último: 5 × (−5) = −25
5. El producto exterior y el interior son −5x y +5x, que se cancelan exactamente
6. Sin término central que quede, la forma desarrollada es x² − 25
El caso que demuestra que el término central es una suma y no un producto más. Los cuatro productos con nombre son distintos de cero, y sin embargo la forma desarrollada tiene solo dos términos, porque los dos que formarían el término central son iguales y opuestos. Una página que imprimiera los cuatro productos sin sumarlos parecería haber perdido un término por el camino.

Limitaciones

El coeficiente de x de cada binomio tiene que ser distinto de cero. Si alguno de los dos es cero no hay término en x que emparejar, la expresión es una constante multiplicada por un binomio y el primer paso del método no produce nada que escribir, así que la entrada se rechaza nombrándola en lugar de tratarla como una constante sin decirlo. Los cuatro coeficientes están limitados a una magnitud de un millón, porque los productos exterior e interior se suman antes de redondearse y los valores intermedios más grandes se salen de lo que un lector puede comprobar a ojo. Los resultados fraccionarios se imprimen como fracciones cuando el denominador es como mucho mil y la división es exacta, y con seis decimales en caso contrario, de modo que (x + 1/2)(x + 3) imprime un medio y no un cero coma cinco. Esta página multiplica; no factoriza. Ir de una cuadrática desarrollada a sus dos binomios es el problema inverso y la página no lo intenta, así que una forma desarrollada no se puede deshacer aquí para comprobar el resultado por el camino de vuelta.

Preguntas frecuentes

¿Qué significa FOIL?: First, Outer, Inner, Last, o sea primero, exteriores, interiores y último. Nombra cuatro pares de términos tomados de los dos binomios en ese orden: los dos términos principales, los dos que quedan fuera del producto escrito, los dos que quedan dentro y las dos constantes. Multiplicar los cuatro pares y sumarlos da la cuadrática desarrollada.
¿Por qué se suman los productos exterior e interior?: Porque los dos producen un término en x, y los términos semejantes se combinan. En FOIL nada es opcional: los cuatro productos son la lista completa de pares que se pueden formar, y el resultado es su suma. El exterior y el interior son los dos únicos que pueden juntarse, y por eso el desarrollo de dos binomios tiene tres términos y no cuatro.
¿Funciona FOIL con coeficientes negativos?: Sí, y el signo viaja con el término al que pertenece. En (x + 5)(x − 5) el producto exterior es −5x y el interior es +5x; se cancelan, así que el término central desaparece y solo quedan dos términos. Que las dos constantes sean negativas es otro caso distinto: hace que el producto final vuelva a ser positivo, porque menos por menos da más.
¿El coeficiente de x puede ser cero?: En esta página no. Un binomio cuyo coeficiente de x es cero es en realidad una constante, y multiplicar por ella es aritmética corriente y no este método: el primer paso no produciría nada que escribir. La entrada se rechaza y se nombra, en lugar de tratarla como una constante sin decirlo.
¿Por qué a veces falta un término en la respuesta?: Porque su coeficiente ha salido cero. Cuando los productos exterior e interior se cancelan no hay término en x, y la forma desarrollada se escribe x² − 25 en lugar de x² + 0x − 25. Omitir el término vacío es la convención que sigue el impresor en toda la página; los cuatro productos con nombre siguen mostrando qué pasó con él.
¿Por qué las respuestas fraccionarias se imprimen como fracciones?: Porque una fracción es exacta y un decimal solo es una de sus escrituras. (x + 1/2)(x + 3) tiene un coeficiente de x igual a 7/2, e imprimirlo como 3,5 sería correcto aquí pero se desviaría en cuanto el paso siguiente lo multiplicara. La forma impresa usa una fracción siempre que el denominador sea exacto y como mucho mil, y recurre a seis decimales solo cuando no queda otra.

Referencias

Quadratic Equation — the equation whose left-hand side the expansion produces, and the standard form the coefficients feed into — Wolfram MathWorld (United States)
Completing the Square — the same quadratic expression taken the other way, from expanded form into a squared bracket — Wolfram MathWorld (United States)
Parabola — the curve an expanded quadratic draws, and the reason its coefficients are worth getting right — Wolfram MathWorld (United States)

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