¿Qué hace exactamente simplificar una raíz cuadrada?

Mover el mayor cuadrado perfecto fuera del signo radical. La raíz cuadrada de 72 es el mismo número que 6√2, no se ha aproximado ni redondeado nada, pero 6√2 es la manera más ordenada de escribirlo y es la forma que se mantiene exacta cuando se usa en aritmética posterior. Simplificar no cambia nunca el valor, solo la escritura.

¿Cómo sé que una raíz cuadrada está del todo simplificada?

Cuando bajo el radical no queda nada que un cuadrado perfecto divida. En 6√2 el 2 no tiene factores cuadrados: ni 4 ni 9 lo dividen, ni ningún cuadrado mayor tampoco, así que la forma es la final. Así es también como decide la página cuándo parar: busca el mayor factor cuadrado de mayor a menor y se detiene en el primero que encuentra.

¿Por qué la forma exacta se escribe con un signo de división?

Porque la barra sería ambigua. √6/2 se lee tanto como la raíz cuadrada de seis dividida entre dos como la raíz cuadrada de seis medios, y esos son números distintos, porque el segundo es √3. Imprimir √6 ÷ 2 deja una sola lectura. Es la misma razón por la que el coeficiente se omite cuando vale 1: la notación se elige para que no se pueda malinterpretar, y no para que sea corta.

¿Puedo escribir un radicando decimal?

Sí, hasta dos cifras decimales. La página convierte el decimal en fracción y después saca la raíz del numerador y del denominador por separado usando √(n ÷ d) = √(n · d) ÷ d. La raíz cuadrada de 1,5 es √6 ÷ 2, y la de 2,25 es exactamente 3/2. Una tercera cifra decimal se rechaza, porque cada cifra extra multiplica por diez las divisiones por tanteo.

¿Por qué la raíz cuadrada de un decimal sale a veces como fracción?

Cuando el radicando es a su vez el cuadrado perfecto de una fracción, no queda nada bajo el radical y la forma exacta se reduce a una fracción corriente: la raíz cuadrada de 2,25 es 3/2. Es la misma regla que con un radicando entero que sea cuadrado perfecto, donde la forma exacta se reduce a un número entero; si el radical se vacía, ya no hay nada alrededor de lo que escribirlo.

¿Por qué se rechaza aquí un radicando negativo?

Porque no hay ningún número real que elevado al cuadrado dé un negativo, así que la raíz cuadrada de un radicando negativo no es un número real en absoluto. Todas las raíces de esta página tienen el índice fijo en dos, así que no hay ninguna mitad de índice impar en la que los negativos estuvieran permitidos. La calculadora de raíces general sí acepta raíces cúbicas de números negativos, porque una potencia impar de un número negativo sigue siendo negativa, y esta página remite allí.

Calculadora de raíz cuadrada

Resultado

8,485281

Raíz cuadrada

Forma exacta: 6√2

Una calculadora de raíz cuadrada devuelve dos cosas a la vez: el valor decimal y la forma exacta, que es la manera más simplificada de escribir esa raíz dejando dentro el signo radical. Escribe un radicando y la página extrae el mayor cuadrado perfecto que se esconde dentro de él, moviendo ese factor delante del signo radical, así que la raíz cuadrada de 72 vuelve como 6√2 y no como un decimal redondeado. Se aceptan decimales además de números enteros, y ahí es donde esta página se separa de la calculadora de raíces general: un radicando de 1,5 se convierte primero en fracción y después se simplifica a √6 ÷ 2. Simplificar nunca cambia el valor, solo la escritura: por eso el decimal y la forma exacta se imprimen uno al lado del otro y no uno en lugar del otro, ya que cada uno responde a una pregunta distinta.

Raíces cuadradas y sus formas simplificadas

Radicando	Forma exacta
2	√2
3	√3
5	√5
8	2√2
12	2√3
16	4
18	3√2
25	5
27	3√3
50	5√2
72	6√2
144	12
200	10√2

Dos filas de aquí son cuadrados perfectos, 16 y 144, y sus formas exactas son números enteros sin ningún signo radical. Puestas al lado de las filas que sí conservan un radical —8 que pasa a 2√2, 72 que pasa a 6√2, 200 que pasa a 10√2— muestran la línea divisoria alrededor de la cual está construida la página: el radical sobrevive solo cuando debajo queda algo sin factores cuadrados. Todos los radicandos de esta tabla son números enteros. Una tabla de radicandos decimales habría que localizarla, porque 1,5 se escribe así en varios idiomas y 1.5 en otros, mientras que los enteros se escriben idénticamente en todas partes. La columna de la forma exacta, en cambio, es una notación sin palabras dentro, así que es la misma cadena en los diez idiomas que sirve el sitio.

Fórmula

√x = √(m² · r) = m · √r √(n ÷ d) = √(n · d) ÷ d

x: El radicando, el número que hay bajo el signo radical. No puede ser negativo: un radicando negativo no tiene raíz cuadrada real, y elevar al cuadrado cualquier número real da un resultado no negativo, así que la página lo rechaza y remite a las raíces de índice impar de la calculadora de raíces general. El cero no da problema, porque la raíz cuadrada de 0 es 0.
m²: El mayor cuadrado perfecto que divide al radicando: 4, 9, 16, 25, 36 y así sucesivamente. Encontrarlo es toda la simplificación, y la página busca de mayor a menor para que el primer factor que encuentre sea el más grande. Para 72 ese factor es 36, que deja un 2 detrás, bajo el radical.
m: La raíz cuadrada de ese cuadrado perfecto, que sale delante del signo radical: 6 en el caso de 72. Cuando el coeficiente es otro número entero se imprime tal cual, así que la forma exacta se lee 6√2. Cuando vale 1 el coeficiente se omite en lugar de imprimirse, porque 1√2 no es como se escribe ese número.
r: Lo que queda bajo el radical una vez extraídos todos los factores cuadrados. No tiene ningún factor cuadrado, es decir que ningún cuadrado perfecto lo divide, y eso es exactamente lo que hace que la forma sea la final. Si no queda nada, porque el radicando ya era un cuadrado perfecto, el signo radical desaparece del todo y la forma exacta es solo un número, como ocurre con la raíz cuadrada de 144.
√x: El valor decimal, informado con seis cifras. Es el mismo número que la forma exacta evaluada, ya que 6√2 es 8,485281, y se imprime a su lado y no en su lugar, porque los dos contestan a preguntas distintas. El decimal es con lo que se mide; la forma exacta es con lo que se demuestra.

Úsala cuando lo que haga falta sea una única raíz cuadrada simplificada al máximo: corregir un ejercicio, dejar una respuesta en forma exacta antes de seguir operando con ella, o comprobar si un número es un cuadrado perfecto. Es también la página de los radicandos decimales, porque convierte el decimal en fracción y saca la raíz del numerador y del denominador por separado, algo que la calculadora de raíces general no hace. Ve a la calculadora de raíces cuando el índice no sea 2 o cuando el radicando tenga que ser entero, y ve a la calculadora de radicales cuando lo que haya que simplificar sea una suma de varios radicales y no un solo número.

Ejemplos resueltos

Simplificar la raíz cuadrada de 72
1. Busca el mayor cuadrado perfecto que divida a 72
2. 36 lo divide: 72 ÷ 36 = 2, así que 72 = 36 × 2
3. La raíz cuadrada de 36 es 6, que sale delante: √72 = 6√2
4. Evaluar la forma exacta da 8,485281
El caso que justifica tener dos columnas. Como decimal, √72 es 8,485281 y no hay nada más que decir de él; como forma exacta es 6√2, que muestra a simple vista que elevándolo al cuadrado se recupera 72 exacto. La comprobación es de una línea: 6√2 al cuadrado es 36 × 2, que es 72.
Un radicando con un decimal
1. Un radicando decimal se convierte primero en fracción: 1,5 = 3/2
2. Reparte la raíz entre numerador y denominador con √(n ÷ d) = √(n · d) ÷ d
3. Eso da √(3 × 2) ÷ 2 = √6 ÷ 2
4. El decimal es 1,224745
La forma exacta usa un signo de división y no una barra a propósito. Escrito como √6/2, la línea es ambigua, porque se lee igual de bien como la raíz cuadrada de seis medios, que es √3. La página imprime √6 ÷ 2 para que solo haya una lectura. Este es el caso que la calculadora de raíces general no acepta a propósito, ya que exige radicandos enteros.
Un decimal que resulta ser un cuadrado perfecto
1. 2,25 como fracción es 9/4
2. Las dos partes son cuadrados perfectos: √9 = 3 y √4 = 2
3. No queda nada bajo el radical, así que la forma exacta es la fracción 3/2
4. Como decimal es 1,5
Cuando el radical se vacía, la forma exacta deja de ser un radical: es una fracción corriente, y esa es la señal de que el radicando era un cuadrado perfecto. La forma exacta 3/2 merece preferirse a 1,5 en cualquier aritmética posterior, porque multiplicar por 3 y dividir entre 2 mantiene todo exacto donde el decimal no lo haría.

Limitaciones

El radicando no puede ser negativo: la raíz cuadrada de un número negativo no es un número real, y elevar un número real al cuadrado nunca produce uno. El cero sí se acepta y da cero. El radicando está limitado a dos cifras decimales, y una tercera cifra se rechaza en lugar de redondearse, porque la simplificación funciona convirtiendo el decimal en fracción y dividiendo después por tanteo, y cada cifra decimal extra multiplica el trabajo por diez, así que la página declara el límite en lugar de imprimir en silencio una forma simplificada que pertenece a un número ligeramente distinto. La forma exacta es una notación y no un número: se escribe igual en todos los idiomas, porque un signo radical y un signo de división no llevan palabras. El decimal, en cambio, se redondea a seis cifras, lo cual es un límite de presentación y no de precisión. La página tiene el índice fijo en dos, así que solo simplifica raíces cuadradas. Las raíces cúbicas, las cuartas y cualquier otro índice, incluidas las raíces de índice impar de números negativos, son cosa de la calculadora de raíces general a la que esta página enlaza.

Preguntas frecuentes

¿Qué hace exactamente simplificar una raíz cuadrada?: Mover el mayor cuadrado perfecto fuera del signo radical. La raíz cuadrada de 72 es el mismo número que 6√2, no se ha aproximado ni redondeado nada, pero 6√2 es la manera más ordenada de escribirlo y es la forma que se mantiene exacta cuando se usa en aritmética posterior. Simplificar no cambia nunca el valor, solo la escritura.
¿Cómo sé que una raíz cuadrada está del todo simplificada?: Cuando bajo el radical no queda nada que un cuadrado perfecto divida. En 6√2 el 2 no tiene factores cuadrados: ni 4 ni 9 lo dividen, ni ningún cuadrado mayor tampoco, así que la forma es la final. Así es también como decide la página cuándo parar: busca el mayor factor cuadrado de mayor a menor y se detiene en el primero que encuentra.
¿Por qué la forma exacta se escribe con un signo de división?: Porque la barra sería ambigua. √6/2 se lee tanto como la raíz cuadrada de seis dividida entre dos como la raíz cuadrada de seis medios, y esos son números distintos, porque el segundo es √3. Imprimir √6 ÷ 2 deja una sola lectura. Es la misma razón por la que el coeficiente se omite cuando vale 1: la notación se elige para que no se pueda malinterpretar, y no para que sea corta.
¿Puedo escribir un radicando decimal?: Sí, hasta dos cifras decimales. La página convierte el decimal en fracción y después saca la raíz del numerador y del denominador por separado usando √(n ÷ d) = √(n · d) ÷ d. La raíz cuadrada de 1,5 es √6 ÷ 2, y la de 2,25 es exactamente 3/2. Una tercera cifra decimal se rechaza, porque cada cifra extra multiplica por diez las divisiones por tanteo.
¿Por qué la raíz cuadrada de un decimal sale a veces como fracción?: Cuando el radicando es a su vez el cuadrado perfecto de una fracción, no queda nada bajo el radical y la forma exacta se reduce a una fracción corriente: la raíz cuadrada de 2,25 es 3/2. Es la misma regla que con un radicando entero que sea cuadrado perfecto, donde la forma exacta se reduce a un número entero; si el radical se vacía, ya no hay nada alrededor de lo que escribirlo.
¿Por qué se rechaza aquí un radicando negativo?: Porque no hay ningún número real que elevado al cuadrado dé un negativo, así que la raíz cuadrada de un radicando negativo no es un número real en absoluto. Todas las raíces de esta página tienen el índice fijo en dos, así que no hay ninguna mitad de índice impar en la que los negativos estuvieran permitidos. La calculadora de raíces general sí acepta raíces cúbicas de números negativos, porque una potencia impar de un número negativo sigue siendo negativa, y esta página remite allí.

Referencias

Square Root — the definition, the principal root, and the rule for pulling square factors out of a radicand — Wolfram MathWorld (United States)
Radical — the radical sign, the radicand, and the convention that the principal square root is the non-negative one — Wolfram MathWorld (United States)
Square Number — the perfect squares the simplification searches for, from 4 up to whatever the radicand allows — Wolfram MathWorld (United States)

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