Calculadora de forma punto-pendiente

y − y₁ = m(x − x₁) forma explícita: y = m·x + (y₁ − m·x₁)

m

La pendiente: cuánto sube o baja la recta por cada unidad que avanza, como número con signo. Es el coeficiente de delante del paréntesis en el lado derecho, y el coeficiente de x una vez reordenada la ecuación. Una pendiente de 0 hace que la recta sea horizontal, que es el caso en el que la calculadora escribe un 0 pelado en lugar de un paréntesis multiplicado por nada

x₁, y₁

El único punto conocido. Aquí solo hace falta uno: la pendiente fija la dirección y el punto fija la posición, y entre los dos determinan la recta. Los subíndices son los que usa la fórmula y no un índice dentro de una lista: en esta página no hay un segundo punto

y intercept

Dónde corta la recta al eje y, que es la constante que queda después de reordenar la ecuación. Sale de las mismas tres entradas: la recta pasa por el punto dado, así que su altura cuando x vale cero es la altura de ese punto menos el ascenso que habría producido la pendiente al llegar hasta ahí. La fila del panel lo titula Ordenada en el origen

x, y

Las dos variables que relaciona la ecuación. Ninguna recibe un valor: la respuesta es una regla que se aplica a todos los puntos de la recta a la vez, y por eso la lectura principal es texto y no un número suelto

Recurre a ella para escribir una recta cuando se conoce su inclinación y un punto de ella: a partir de una tasa y un valor inicial, de la pendiente de una tangente en un lugar conocido, o de dos puntos después de haber calculado la pendiente que los une. Ir al revés, de dos puntos a una pendiente, es la página de la pendiente, que devuelve un número en lugar de una ecuación. Y usar una ecuación ya terminada para predecir un valor más adelante en la recta es la página de la interpolación lineal, donde lo que se conoce son dos puntos y lo que se pide es el valor en una posición intermedia.

1. Una pendiente de 2 por el punto (1, 3)

   1. Pon la pendiente y el punto en la plantilla: y − y₁ = m(x − x₁)
   2. El lado izquierdo se convierte en y − 3 y el paréntesis en (x − 1)
   3. La forma punto-pendiente es y − 3 = 2(x − 1)
   4. Multiplica el paréntesis: 2(x − 1) = 2x − 2
   5. Pasa el −3 al otro lado: y = 2x − 2 + 3 = 2x + 1
   6. La forma explícita es y = 2x + 1, así que la ordenada en el origen es 1

   El caso por defecto, y el que conviene leer contra las entradas: los dos números de dentro del paréntesis son las coordenadas que se escribieron, con el signo cambiado por la resta. Para eso sirve el arreglo punto-pendiente: conserva el punto dado legible en lugar de fundirlo en una constante.

2. Una pendiente de −1, donde el paréntesis tiene que quedarse

   1. La plantilla da y − 5 = m(x − 2)
   2. Una pendiente de −1 se escribe con un signo menos pelado en lugar de −1, igual que un coeficiente de 1 se omite
   3. El paréntesis se queda: escribir −x − 2 sería otra recta
   4. La forma punto-pendiente es y − 5 = −(x − 2)
   5. Multiplica: −(x − 2) = −x + 2, y entonces y = −x + 2 + 5
   6. La forma explícita es y = −x + 7 y la ordenada en el origen es 7

   La fila en la que es más fácil equivocarse. Una pendiente de 1 y una de −1 se escriben las dos sin número visible, pero el signo menos tiene que quedarse fuera del paréntesis: quitar el paréntesis convierte −(x − 2) en −x − 2, un error de signo en medio de una ecuación que por lo demás parece perfectamente normal.

3. Una pendiente fraccionaria

   1. Una pendiente de 0,5 se conserva como la fracción exacta 1/2 en lugar de escribirse como decimal
   2. La plantilla da y − 1 = (1/2)(x − 4)
   3. La fracción va entre paréntesis, porque 1/2(x − 4) se leería como uno dividido entre el doble del paréntesis
   4. El mismo paréntesis se repite en la forma explícita: y = (1/2)x − 1
   5. La ordenada en el origen es −1

   El caso que decide dos convenciones a la vez. Las fracciones se conservan exactas para que la ecuación siga siendo una ecuación y no una aproximación, y un coeficiente fraccionario va entre paréntesis para que quede pegado al paréntesis y no a la variable. Las dos convenciones son las mismas que usan las otras páginas de álgebra para esta clase de número.

La pendiente y las dos coordenadas están limitadas a una magnitud de un millón. Las entradas fraccionarias se imprimen como fracciones cuando el denominador divide de forma exacta y es como mucho mil, y con seis decimales en caso contrario: 0,5 sale como 1/2, mientras que un decimal con un desarrollo periódico largo recurre al redondeo. La pendiente y las coordenadas solo se aceptan como decimales; la página no toma una fracción escrita como texto, así que 1/3 hay que introducirlo como el decimal al que se redondea. Una recta vertical no se puede escribir de esta forma: su pendiente no está definida y ningún valor de m la produce, así que una recta vertical por el punto dado sencillamente no es una de las rectas que esta página puede describir. Lo que la página no hace es calcular la pendiente por ti a partir de dos puntos, ni decirte dónde corta la recta al eje x. Y no dibuja: la respuesta es la ecuación, y quien quiera ver la recta tiene que representarla.

¿Qué es la forma punto-pendiente?

Una manera de escribir una ecuación lineal que deja a la vista un punto conocido de la recta: y menos la altura del punto es igual a la pendiente por x menos la posición del punto. Cualquier punto y cualquier pendiente se pueden escribir así, y leer la ecuación de vuelta dice qué punto y qué pendiente la produjeron.

¿Para qué sirve si la forma explícita es más simple?

Porque se construye directamente con lo que se conoce. La forma explícita es más cómoda de representar, pero obtenerla exige multiplicar y agrupar términos, y cualquier desliz aritmético se esconde dentro de una constante. La forma punto-pendiente mantiene los números dados donde se escribieron, así que se puede comprobar de un vistazo. También se la conoce como forma pendiente-ordenada al origen.

¿Qué me dice la ordenada en el origen?

Dónde corta la recta al eje y, que es su altura cuando x vale cero. Sale de las mismas tres entradas: parte del punto conocido y deshace el ascenso que habría producido la pendiente al llegar hasta ahí desde el eje. Si el punto conocido ya está sobre el eje, la ordenada en el origen es simplemente su altura.

¿Por qué una pendiente de 1 se escribe sin número?

Por la misma razón por la que un coeficiente de 1 se omite en cualquier otro sitio: escribir 1(x − 2) añade un símbolo que no aporta información. Una pendiente de −1 conserva su signo menos pero también pierde el dígito, y ahí es donde el paréntesis tiene que quedarse: el menos pertenece al exterior y quitar el paréntesis cambia la recta.

¿Por qué las pendientes fraccionarias van entre paréntesis?

Para que la fracción quede pegada al paréntesis y no a la x. Escrita sin paréntesis, 1/2(x − 4) se lee como uno dividido entre el doble del paréntesis, que es otra expresión. Ponerla entre paréntesis da (1/2)(x − 4), y el orden de la multiplicación deja de ser ambiguo.

¿Se puede escribir así una recta vertical?

No. Una recta vertical no tiene pendiente, porque su ascenso es real mientras que su avance es cero, así que no hay ningún valor de m que la produzca y la forma punto-pendiente no puede describirla. Esa recta se escribe como x igual a una constante, y esa forma queda fuera de lo que esta página maneja.

• Point-Slope Form — the arrangement this page starts from, and the reason a slope and a single point are enough — Wolfram MathWorld (United States)
• Linear Equation — the general form the two outputs are both special cases of, and the standard form the answer can be rearranged into — Wolfram MathWorld (United States)
• Slope — the number that fixes the line's direction, and the quantity that has no value at all for a vertical line — Wolfram MathWorld (United States)