¿Qué diferencia hay entre el término n-ésimo y la suma?

El término n-ésimo es un número: el que ocupa la posición n, que para 3, 7, 11, … con n = 10 es 39. La suma es todo lo anterior junto, que para esa misma sucesión es 210. Se imprimen en dos líneas separadas porque responden a dos preguntas distintas, y porque la suma suele ser la que se busca: un saldo, una distancia total, una cuenta acumulada.

¿De dónde sale la fórmula de la suma?

De emparejar los términos de fuera hacia dentro. En 3, 7, 11, … el primero y el último de los diez primeros suman 42, y cada una de las otras parejas también, así que diez términos forman cinco parejas de 42, o sea 210. Escrito en general, eso es n por la media del primero y el último, n × (a(1) + a(n)) ÷ 2. La suma geométrica tiene otra deducción y otra forma, y por eso las dos se imprimen por separado.

¿El paso puede ser negativo, cero o fraccionario?

Las tres cosas. Una diferencia constante negativa da una sucesión que baja, como 100, 93, 86, …, y una razón constante negativa da una que alterna de signo, como 1, -1, 1, -1. Una razón de 0,5 da la sucesión que se encoge del segundo ejemplo. Los dos casos que hay que mirar dos veces son la diferencia cero y la razón uno, en los que todos los términos valen lo mismo que el primero y la fórmula impresa se acorta, correctamente, a algo como a(n) = 6.

¿La suma es el total de toda la sucesión infinita?

No: es la suma de los n primeros términos, donde n es la cuenta que hayas escrito. Esa distinción solo se nota en una sucesión geométrica que se encoge, en la que el total acumulado se acerca a un límite —16 para 8, 4, 2, 1, 0,5, …— sin alcanzarlo nunca. De vez en cuando lo que se quiere es justamente ese límite, que es la suma de una serie geométrica infinita, un cálculo distinto con una fórmula distinta.

¿Cuántos términos puedo pedir?

Cualquier entero de 1 a 1000. El extremo superior no es caprichoso: una sucesión geométrica de razón 10 llega a 10^300 con n = 300, y unos cientos de términos más se saldrían del mayor número que la aritmética puede representar. Ese caso se informa como un cálculo fallido y no como infinito, así que recibes un aviso en lugar de una respuesta que está mal sin decirlo.

¿Por qué la fórmula impresa pone a(n) y no una a con subíndice?

Porque a(n) se puede leer en todos los idiomas y con todas las fuentes, y el carácter de subíndice no: en algunos sistemas se dibuja como un cuadro vacío. El resto de la notación es la habitual, con ^ para la potencia, × para la multiplicación y un paréntesis alrededor de una razón negativa, de modo que la sucesión alternante se lee a(n) = (-1)^(n - 1) y no como algo que parece un -1 elevado a n - 1 con el menos fuera.

Calculadora de sucesiones

Resultado

39,000000

Término n-ésimo

Suma: 210,000000
Fórmula del término n-ésimo: a(n) = 3 + 4(n - 1)

Una sucesión es una lista de números construida con una sola regla, y esta calculadora de sucesiones cubre las dos reglas que aparecen casi en todas partes: una sucesión aritmética, en la que se suma la misma cantidad en cada paso, y una sucesión geométrica, en la que se multiplica por la misma cantidad. Dale el primer término, ese paso y cuántos términos quieres, y devuelve el término n-ésimo, la suma de los n primeros términos y la fórmula con la que se construye la sucesión entera. El primer término puede ser cero o negativo, y el paso también, que es como las mismas tres casillas cubren una sucesión que sube, una que baja y una que alterna entre dos valores.

3, 7, 11, … — los ocho primeros términos con el total acumulado al lado

n	Término	Suma acumulada
1	3	3
2	7	10
3	11	21
4	15	36
5	19	55
6	23	78
7	27	105
8	31	136

La columna n es la posición, la del medio es lo que da ahí la fórmula del término n-ésimo, y la tercera es todo lo anterior incluida esa fila. Leyendo la tercera columna de arriba abajo se ve la forma de la fórmula de la suma: cada fila añade un término más, y los incrementos crecen de 4 en 4. La primera fila es la misma en las dos tablas de abajo, porque con un solo término los dos tipos de sucesión todavía no han tenido ocasión de diferenciarse.

3, 6, 12, … — las mismas ocho filas para una sucesión geométrica

n	Término	Suma acumulada
1	3	3
2	6	9
3	12	21
4	24	45
5	48	93
6	96	189
7	192	381
8	384	765

Las mismas tres columnas, las mismas ocho posiciones y otra regla: aquí cada término es el de arriba multiplicado por dos, así que la columna del medio recorre 3, 6, 12, 24, … y los totales se separan rápido de los aritméticos, 765 frente a 136 en la octava fila. Las dos tablas se imprimen una al lado de la otra a propósito: el primer término y la cuenta son idénticos, así que toda diferencia que veas viene del paso y de su tipo.

Fórmula

aritmética — a(n) = a(1) + (n − 1) × d S(n) = n × (a(1) + a(n)) ÷ 2 geométrica — a(n) = a(1) × r^(n − 1) S(n) = a(1) × (r^n − 1) ÷ (r − 1) salvo cuando r = 1, donde S(n) = n × a(1)

n: El término por el que preguntas, contado desde 1. Es también el número de términos de la suma, y por eso una sola casilla responde a las dos preguntas. El décimo término se escribe a(10) y la suma de los diez primeros, S(10).
a(1): El primer término, el único punto en el que la sucesión empieza. Todo lo demás se deriva de él, así que un primer término negativo cambia el signo de todos los términos de índice par en una sucesión geométrica y en una aritmética simplemente la hace empezar más abajo.
d: La diferencia constante, la que usan las sucesiones aritméticas: la cantidad que se suma en cada paso. Puede ser negativa, y entonces la sucesión baja, o cero, y entonces todos los términos son el primero; ese último caso es la razón de que la fórmula impresa se reduzca a algo como a(n) = 6.
r: La razón constante, la que usan las sucesiones geométricas: el número por el que se multiplica cada término. Una razón entre 0 y 1 hace que los términos se encojan hacia cero, una razón negativa los hace alternar de signo, y una razón exactamente igual a 1 hace que todos los términos valgan lo mismo que el primero.
S(n): La suma de los n primeros términos: esta sucesión y no más. Para una sucesión aritmética es la media del primero y el último multiplicada por n, que es el truco de emparejar que se dice que usó Gauss con 1 + 2 + … + 100. Nunca es una serie infinita: sube n y el total sigue creciendo.

Úsala siempre que una cantidad crezca o decrezca con una regla fija y necesites un valor muy avanzado de la lista: el saldo después de treinta años del mismo depósito anual, la altura después del vigésimo bote, la distancia total recorrida cuando cada paso es una fracción fija del anterior. Las dos casillas que lo deciden todo son el paso y su signo, así que la costumbre útil es calcular a mano los tres primeros términos y comprobar que coinciden con la tabla de referencia de abajo.

Ejemplos resueltos

3, 7, 11, … — el décimo término y la suma de los diez primeros
1. El paso es 4, así que los términos son 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39
2. El décimo término es 3 + 9 × 4 = 39
3. Empareja los términos de fuera hacia dentro: 3 + 39 = 42, 7 + 35 = 42, 11 + 31 = 42, y así sucesivamente
4. Hay cinco parejas de esas, todas iguales a 42
5. 5 × 42 = 210
El emparejamiento es toda la fórmula de la suma: con n términos, la media del primero y el último es (3 + 39) ÷ 2 = 21, y 21 × 10 es el mismo 210. La fórmula impresa al lado de la respuesta es la regla y no esta sucesión concreta: a(n) = 3 + 4(n - 1) reconstruye cualquier término a partir de n solo, así que n = 1 devuelve 3 y n = 10 devuelve 39 sin enumerar nada.
8, 4, 2, 1, 0,5 — una sucesión geométrica que se encoge
1. La razón es 0,5, así que cada término es la mitad del anterior: 8, 4, 2, 1, 0,5
2. El quinto término es 8 × 0,5⁴ = 8 × 0,0625 = 0,5
3. Súmalos: 8 + 4 + 2 + 1 + 0,5 = 15,5
La suma de una sucesión geométrica que se encoge se acerca a 16 pero nunca lo pasa, porque 8 ÷ (1 − 0,5) es 16. Esta página da el total de los cinco términos que has pedido, 15,5, y no ese límite, y esa diferencia es toda la razón de que el número de términos sea una casilla de entrada.
1 + 2 + … + 1000, donde la fórmula gana a sumar
1. El paso es 1, así que el término mil es 1 + 999 = 1000
2. Empareja el primero con el último: 1 + 1000 = 1001
3. Hay 500 parejas de esas, porque 1000 términos forman 500 parejas
4. 500 × 1001 = 500500
Aquí no hace falta escribir los términos en ningún momento, y ese es el sentido de una fórmula de la suma: las mismas tres casillas lo responderían para un millón de términos si n llegara tan alto. Este es el cálculo que se cuenta que le pusieron a Gauss como castigo escolar, y el emparejamiento de arriba es lo que se cuenta que hizo en su lugar.

Limitaciones

Solo dos tipos de sucesión: la aritmética, en la que el paso se suma, y la geométrica, en la que se multiplica. Cualquier otra cosa —los cuadrados, los cubos, Fibonacci, una sucesión definida por sus dos términos anteriores— no tiene regla que meter aquí y necesita su propia herramienta. El número de términos tiene que ser un entero de 1 a 1000; un número fraccionario o negativo se rechaza en lugar de redondearse, porque 2,5 términos no es una cantidad que tenga respuesta. El total es la suma de los n primeros términos y nunca el de una serie infinita, así que con una razón menor que 1 el total acumulado sigue acercándose a su límite sin alcanzarlo. Las respuestas se redondean a seis cifras decimales, y una sucesión geométrica puede desbordar la aritmética mucho antes de que n llegue a su tope: 10 elevado a 300 va bien, 10 elevado a 6000 no, y ese caso se informa como un cálculo fallido y no como infinito. La página responde a dos de las cuatro preguntas que plantea una sucesión: cuál es el término n-ésimo y cuánto suman los n primeros. No hace lo contrario —dados dos términos, recuperar la regla; dada una suma, recuperar n— y no imprime unidades, porque una sucesión es una lista de números.

Preguntas frecuentes

¿Qué diferencia hay entre el término n-ésimo y la suma?: El término n-ésimo es un número: el que ocupa la posición n, que para 3, 7, 11, … con n = 10 es 39. La suma es todo lo anterior junto, que para esa misma sucesión es 210. Se imprimen en dos líneas separadas porque responden a dos preguntas distintas, y porque la suma suele ser la que se busca: un saldo, una distancia total, una cuenta acumulada.
¿De dónde sale la fórmula de la suma?: De emparejar los términos de fuera hacia dentro. En 3, 7, 11, … el primero y el último de los diez primeros suman 42, y cada una de las otras parejas también, así que diez términos forman cinco parejas de 42, o sea 210. Escrito en general, eso es n por la media del primero y el último, n × (a(1) + a(n)) ÷ 2. La suma geométrica tiene otra deducción y otra forma, y por eso las dos se imprimen por separado.
¿El paso puede ser negativo, cero o fraccionario?: Las tres cosas. Una diferencia constante negativa da una sucesión que baja, como 100, 93, 86, …, y una razón constante negativa da una que alterna de signo, como 1, -1, 1, -1. Una razón de 0,5 da la sucesión que se encoge del segundo ejemplo. Los dos casos que hay que mirar dos veces son la diferencia cero y la razón uno, en los que todos los términos valen lo mismo que el primero y la fórmula impresa se acorta, correctamente, a algo como a(n) = 6.
¿La suma es el total de toda la sucesión infinita?: No: es la suma de los n primeros términos, donde n es la cuenta que hayas escrito. Esa distinción solo se nota en una sucesión geométrica que se encoge, en la que el total acumulado se acerca a un límite —16 para 8, 4, 2, 1, 0,5, …— sin alcanzarlo nunca. De vez en cuando lo que se quiere es justamente ese límite, que es la suma de una serie geométrica infinita, un cálculo distinto con una fórmula distinta.
¿Cuántos términos puedo pedir?: Cualquier entero de 1 a 1000. El extremo superior no es caprichoso: una sucesión geométrica de razón 10 llega a 10^300 con n = 300, y unos cientos de términos más se saldrían del mayor número que la aritmética puede representar. Ese caso se informa como un cálculo fallido y no como infinito, así que recibes un aviso en lugar de una respuesta que está mal sin decirlo.
¿Por qué la fórmula impresa pone a(n) y no una a con subíndice?: Porque a(n) se puede leer en todos los idiomas y con todas las fuentes, y el carácter de subíndice no: en algunos sistemas se dibuja como un cuadro vacío. El resto de la notación es la habitual, con ^ para la potencia, × para la multiplicación y un paréntesis alrededor de una razón negativa, de modo que la sucesión alternante se lee a(n) = (-1)^(n - 1) y no como algo que parece un -1 elevado a n - 1 con el menos fuera.

Referencias

Arithmetic progression — the rule, the nth-term formula and the sum used on this page — Wolfram MathWorld (United States)
Geometric progression — the same three questions when the step is a multiplier rather than an addend — Wolfram MathWorld (United States)
OEIS A000217, the triangular numbers — 1, 3, 6, 10, … the running totals of 1 + 2 + … + n, which is the third example on this page — OEIS Foundation (United States)

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