¿Qué es el factorial de un número?

El producto de todos los números enteros desde 1 hasta el número que indiques. El factorial de 5 es 1 × 2 × 3 × 4 × 5, o sea 120. Cuenta las maneras en que se puede ordenar un conjunto de esa cantidad de elementos distintos, y por eso aparece en probabilidad y en problemas de conteo en lugar de en medidas de algo.

¿Por qué el factorial de 0 es 1?

Porque es un producto vacío: no hay nada que multiplicar, y el valor que deja un producto sin cambiar es 1. La convención no es arbitraria: es la que hace funcionar la interpretación de conteo, porque hay exactamente una manera de ordenar nada, y es la que mantiene cierta la recurrencia n! = n × (n − 1)! cuando n vale 1.

¿Por qué la calculadora se detiene en 170?

Porque el factorial de 171 es mayor que el número más grande que puede representar la doble precisión, así que el cálculo devuelve infinito. El límite no es una decisión sobre la presentación: toda entrada por encima de 170 se queda sin respuesta representable. El propio factorial de 170 ronda 7,26 × 10³⁰⁶, un número de 307 dígitos.

¿Cómo se cuentan los ceros finales?

Contando los factores de cinco que hay en el factorial. Un cero final necesita un 10, y un 10 necesita un 2 y un 5; los doses sobran en un factorial, así que los cincos son los que deciden la cuenta. Cada múltiplo de 5 aporta uno, cada múltiplo de 25 aporta un segundo, cada múltiplo de 125 un tercero, y así sucesivamente. Para el factorial de 100 eso son 20 + 4 = 24 ceros.

¿Por qué el factorial se imprime en notación científica?

Porque a partir de 21 el valor tiene más dígitos de los que un panel de resultados puede mostrar de forma útil: el factorial de 100 tiene 158. La notación científica mantiene legible la magnitud sin renunciar al orden de tamaño. El entero exacto sigue siendo lo que describen las otras dos lecturas: el número de dígitos dice cuánto mide y los ceros finales dicen cómo termina.

¿Cuántos dígitos tiene un factorial grande?

La lectura de dígitos lo responde con exactitud en cualquier entrada que la página acepte. Sale de sumar logaritmos y no de medir una cadena impresa, así que no pierde precisión cuando el valor impreso es una aproximación. La cuenta es siempre al menos uno más que el número de ceros finales, porque un número que termina en ceros tiene al menos un dígito que no lo es.

Calculadora de factorial

Resultado

120,000000

Factorial

Dígitos: 3
Ceros finales: 1

Una calculadora de factorial multiplica todos los números enteros desde 1 hasta n y devuelve el producto junto a dos lecturas que dicen cuánto ha crecido: cuántos dígitos tiene la respuesta y en cuántos ceros finales termina. El factorial de 5 es 120 —tres dígitos, un cero final—. El resultado se sale enseguida del rango legible y a partir de 21 la lectura principal pasa a notación científica, pero el número de dígitos y los ceros finales siguen siendo exactos, porque los dos salen de fórmulas y no de contar caracteres sobre un valor impreso. El factorial de 0 es 1, el producto vacío, y 170 es el mayor valor que se acepta aquí: el factorial de 171 desborda lo que cabe en un número en doble precisión y se rechaza en lugar de responderse con infinito.

Los factoriales de 0 a 12

n	Factorial	Dígitos	Ceros finales
0	1	1	0
1	1	1	0
2	2	1	0
3	6	1	0
4	24	2	0
5	120	3	1
6	720	3	1
7	5040	4	1
8	40320	5	1
9	362880	6	1
10	3628800	7	2
11	39916800	8	2
12	479001600	9	2

Los trece primeros factoriales, con las dos lecturas al lado de cada uno. Las filas están para que el crecimiento se vea: el valor pasa de mil en la séptima fila y de cien millones en la duodécima, mientras el número de dígitos sube de uno en uno y los ceros finales se quedan en cero hasta que el número contiene un 5. Leer la última columna de arriba abajo muestra por qué 5, 10 y 12 importan y 11 no. Todas las celdas son números corrientes, así que la tabla es idéntica en los diez idiomas que sirve el sitio.

Fórmula

n! = 1 × 2 × … × n dígitos = ⌊log₁₀(n!)⌋ + 1 ceros finales = ⌊n ÷ 5⌋ + ⌊n ÷ 25⌋ + ⌊n ÷ 125⌋ + …

n: El número cuyo factorial se busca: un entero de 0 a 170. También es el número de factores, porque el producto va de 1 hasta n. El límite superior no es una decisión de presentación: el factorial de 171 supera el mayor valor que puede representar un número en doble precisión, así que por encima de 170 no hay respuesta que dar
n!: El factorial propiamente dicho, el producto de todos los enteros desde 1 hasta n. Crece más deprisa que cualquier exponencial: el factorial de 5 es 120 y el de 10 ya es 3.628.800. Cuando el valor pasa de un millón la respuesta impresa se vuelve notación científica, que conserva legible la magnitud sin imprimir cien dígitos
digits: El número de dígitos decimales que tiene el factorial. Se calcula sumando logaritmos y no contando los caracteres de un valor impreso, así que el número de dígitos sigue siendo correcto en el extremo superior del rango, donde el factorial impreso solo lleva siete cifras significativas
trailing zeros: Cuántos ceros quedan al final del factorial. Cada cero final necesita un factor de 10, y un 10 necesita un 2 y un 5; los doses aparecen en un factorial mucho más a menudo que los cincos, así que la cuenta la deciden por completo los cincos: cada múltiplo de 5, de 25, de 125 y así sucesivamente aporta uno más

Recurre a ella cuando el valor sea la respuesta: el número de maneras de ordenar un conjunto, un término de una serie o el tamaño de un producto. Para elegir r elementos de entre n, las páginas de combinaciones y permutaciones dividen un factorial entre otro en lugar de multiplicar, y esa división solo se puede plantear si antes tienes los dos factoriales.

Ejemplos resueltos

El factorial de 5
1. Se multiplica hacia arriba: 1 × 2 = 2
2. 2 × 3 = 6
3. 6 × 4 = 24
4. 24 × 5 = 120
5. 120 tiene tres caracteres y termina en un cero, así que las dos lecturas son 3 y 1
El caso más pequeño en el que las tres lecturas se pueden comprobar a ojo. El producto es lo bastante corto para leerlo entero, y tanto el número de dígitos como los ceros finales se ven mirándolo, que es exactamente por lo que es el valor con el que se abre la página.
Donde la lectura pasa a notación científica
1. Se multiplica de 1 a 20, lo que da 2.432.902.008.176.640.000 exactos
2. Son diecinueve dígitos, así que la lectura de dígitos es 19
3. Cuatro de esos dígitos son ceros al final, que los cincos de 5, 10, 15 y 20 explican
4. El panel imprime el producto como 2,432902 × 10¹⁸ en lugar del número completo de diecinueve dígitos
El punto en el que el valor impreso deja de ser el valor exacto. Las cifras que se muestran son las siete primeras cifras significativas del mismo número que describen las otras dos lecturas, así que las tres salidas concuerdan aunque solo una de ellas sea lo bastante corta para imprimirse. Por debajo de 21 el producto impreso es exacto.
En cuántos ceros termina el factorial de 100
1. Se cuentan los múltiplos de 5 hasta 100: 20
2. Se añaden los múltiplos de 25, que llevan un cinco de más: 4
3. Se añaden los múltiplos de 125, que no hay ninguno, porque 125 pasa de 100
4. 20 + 4 = 24 ceros finales
5. El factorial tiene 158 dígitos, y se imprime como 9,332622 × 10¹⁵⁷
Aquí el dato legible es la cuenta de ceros, y se saca solo de los cincos y no del número. El factorial de 100 tiene 158 dígitos, así que su final no se podría inspeccionar a ojo ni aunque se imprimieran todos: la única manera de saber en cuántos ceros termina es contar los cincos que lleva dentro.

Limitaciones

Solo se aceptan números enteros de 0 a 170. Las entradas negativas se rechazan porque el factorial no está definido en ellas: la función gamma, que extiende el factorial a otros números, tiene un polo en cada entero negativo. Las fracciones se rechazan por la misma razón. Por encima de 170 el producto desborda un número en doble precisión y volvería como infinito, así que la entrada se rechaza por su nombre en lugar de calcularse y dar una respuesta sin sentido. A partir de 21 el factorial impreso es una aproximación en notación científica y no el entero exacto; el número de dígitos y los ceros finales siguen siendo exactos en cualquier caso, y entre los dos describen el tamaño de un número cuyos dígitos no se muestran todos. Esta página no calcula coeficientes binomiales ni permutaciones directamente: da el factorial sobre el que están construidas esas páginas, y la división entre dos factoriales hay que plantearla aparte.

Preguntas frecuentes

¿Qué es el factorial de un número?: El producto de todos los números enteros desde 1 hasta el número que indiques. El factorial de 5 es 1 × 2 × 3 × 4 × 5, o sea 120. Cuenta las maneras en que se puede ordenar un conjunto de esa cantidad de elementos distintos, y por eso aparece en probabilidad y en problemas de conteo en lugar de en medidas de algo.
¿Por qué el factorial de 0 es 1?: Porque es un producto vacío: no hay nada que multiplicar, y el valor que deja un producto sin cambiar es 1. La convención no es arbitraria: es la que hace funcionar la interpretación de conteo, porque hay exactamente una manera de ordenar nada, y es la que mantiene cierta la recurrencia n! = n × (n − 1)! cuando n vale 1.
¿Por qué la calculadora se detiene en 170?: Porque el factorial de 171 es mayor que el número más grande que puede representar la doble precisión, así que el cálculo devuelve infinito. El límite no es una decisión sobre la presentación: toda entrada por encima de 170 se queda sin respuesta representable. El propio factorial de 170 ronda 7,26 × 10³⁰⁶, un número de 307 dígitos.
¿Cómo se cuentan los ceros finales?: Contando los factores de cinco que hay en el factorial. Un cero final necesita un 10, y un 10 necesita un 2 y un 5; los doses sobran en un factorial, así que los cincos son los que deciden la cuenta. Cada múltiplo de 5 aporta uno, cada múltiplo de 25 aporta un segundo, cada múltiplo de 125 un tercero, y así sucesivamente. Para el factorial de 100 eso son 20 + 4 = 24 ceros.
¿Por qué el factorial se imprime en notación científica?: Porque a partir de 21 el valor tiene más dígitos de los que un panel de resultados puede mostrar de forma útil: el factorial de 100 tiene 158. La notación científica mantiene legible la magnitud sin renunciar al orden de tamaño. El entero exacto sigue siendo lo que describen las otras dos lecturas: el número de dígitos dice cuánto mide y los ceros finales dicen cómo termina.
¿Cuántos dígitos tiene un factorial grande?: La lectura de dígitos lo responde con exactitud en cualquier entrada que la página acepte. Sale de sumar logaritmos y no de medir una cadena impresa, así que no pierde precisión cuando el valor impreso es una aproximación. La cuenta es siempre al menos uno más que el número de ceros finales, porque un número que termina en ceros tiene al menos un dígito que no lo es.

Referencias

Factorial — the definition, the empty-product convention that makes 0! equal 1, and the rate at which the value grows — Wolfram MathWorld (United States)
A000142 — the factorial numbers 1, 1, 2, 6, 24, 120 … as a catalogued sequence, with exact values far beyond the range a double can hold — OEIS Foundation (United States)
Combination — the binomial coefficient, written as one factorial divided by two others, which is where factorials are most often needed — Wolfram MathWorld (United States)

Calculadoras relacionadas

Calculadora de combinacionesCuántas formas hay de elegir r elementos de n, sin orden.Calculadora de permutacionesCuántas formas hay de ordenar r elementos de n, con orden.Calculadora de exponentesPotencia de una base, con exponente positivo o negativo.