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CalcMax

Calculadora de permutaciones

Intervalo: 0 – 1000

Mínimo: 0

Resultado

720

Permutaciones (contando el orden)

Combinaciones (sin importar el orden)
120

Una calculadora de permutaciones responde a una pregunta de recuento: de un conjunto de n elementos distintos, ¿cuántas maneras hay de tomar r de ellos cuando el orden cuenta? Informa de ese número y, a su lado, del mismo recuento con el orden ignorado —la combinación—, de modo que las dos filas difieren exactamente en el factor que añade el orden. Ese factor es el factorial de r: cualquier conjunto de r elementos elegidos se puede alinear en r! órdenes distintos, y esa es la razón de que las permutaciones sean siempre la fila mayor de las dos y de que coincidan cuando r es 1. La distinción importa siempre que las posiciones no sean lo mismo que los miembros: los tres primeros en llegar a una meta es una pregunta distinta de qué tres personas llegaron, y una contraseña es una permutación mientras que un sorteo de lotería es una combinación. Por eso la página informa de las dos cifras a la vez, una contando el orden y la otra ignorándolo, en lugar de obligarte a elegir antes de saber qué es lo que estaba mal. La página cambia además todo el cálculo cuando se permite repetir elecciones, porque elegir con reemplazo convierte el recuento en una potencia en lugar de un producto decreciente, y r deja de estar limitado por el tamaño del conjunto.

Fórmula

P(n, r) = n! / (n − r)! = nPr C(n, r) = n! / (r! (n − r)!) P(n, r) = C(n, r) · r!

n
El tamaño del conjunto del que se elige: el número de elementos distintos disponibles, hasta 1000. El techo es una cota de la aritmética y no de la idea: los recuentos crecen con n y pasado cierto punto el valor exacto ya no cabe en el rango de enteros que esta página puede representar con exactitud
r
Cuántos elementos se toman. No puede superar n mientras no se permitan repeticiones, porque no se pueden tomar más elementos distintos de los que hay; una vez permitidas, r puede ser mayor y solo está limitado por el tamaño de la potencia que la página aún puede calcular exactamente
n!
El factorial de n: n multiplicado por todos los números enteros menores que él hasta llegar a 1. Es el recuento de tomarlo todo en orden, y es el término que elimina la división entre (n − r)!
P(n, r)
El número de ordenaciones: n opciones para la primera posición, n − 1 para la segunda, y así hasta r posiciones. El producto n × (n − 1) × … × (n − r + 1) es lo que la fórmula escribe como n! / (n − r)!
C(n, r)
El recuento con el orden ignorado, que se informa como segunda fila. Divide el número de ordenaciones entre r!, las maneras de ordenar cualquier conjunto elegido, que es toda la diferencia entre las dos filas
allowRepetition
En cuál de los dos ajustes está la página. Cuando se permiten repeticiones el recuento pasa a ser n elevado a r, porque cada una de las r elecciones vuelve a tener el conjunto entero del que escoger; la fila sin orden pasa entonces al recuento de multiconjuntos

Úsala cuando las posiciones sean distinguibles: los puestos del podio en una carrera, el orden de las tres primeras cartas repartidas, una contraseña, una matrícula o un reparto de asientos, cualquier lista en la que intercambiar dos entradas dé un resultado distinto. Usa la fila de combinaciones —o la otra página de este par— cuando el resultado sea un conjunto, porque entonces dos ordenaciones de los mismos r elementos son la misma respuesta y dividir entre r! es justo la corrección. Activa la repetición cuando un elemento pueda volver a salir después de haber salido: un PIN de cuatro cifras tiene 10⁴ posibilidades porque cada cifra se extrae del conjunto completo de diez, mientras que un sorteo de bolas distintas no. Y lee la segunda fila aunque hayas venido por la primera: los dos recuentos juntos son la manera más clara de decir por qué el orden importa, porque difieren en un único factor.

Ejemplos resueltos

  1. Diez elementos, tres puestos, contando el orden

    1. Diez opciones para el primer puesto, nueve para el segundo y ocho para el tercero
    2. Se multiplica: 10 × 9 × 8 = 720 ordenaciones
    3. Ignorar el orden divide entre 3! = 6, lo que da 120 conjuntos
    4. 720 / 120 = 6, que es exactamente 3!

    Las dos filas son toda la página resumida en una línea: los mismos diez elementos y los mismos tres puestos dan 720 si el orden cuenta y 120 si no cuenta, y la razón entre ambos es 3!, el número de maneras de reordenar tres elementos elegidos. Siempre que una permutación y una combinación parezcan incoherentes, dividir una entre la otra es la comprobación: si la razón no es un factorial, lo que está mal es el planteamiento y no la aritmética.

  2. Un podio entre ocho corredores

    1. Ocho posibles ganadores, siete posibles segundos y seis posibles terceros
    2. 8 × 7 × 6 = 336 maneras de completar el podio
    3. Ignorando el orden, las mismas tres personas forman un solo conjunto se ordenen como se ordenen: 336 / 6 = 56
    4. Multiplicando al revés —8!/(8−3)! = 40320/120— sale el mismo 336

    Esta es la forma cotidiana de la distinción: un resultado de carrera es una permutación porque la medalla de plata no es la de oro, mientras que un grupo de clasificados es una combinación porque las tres personas que pasan son las mismas sean quien sea el que corrió más rápido. Fíjate en que el mismo par de números aparecería en la página de combinaciones con las dos filas intercambiadas: eso es el par funcionando como debe, no una duplicación.

  3. Repartir cinco cartas en orden

    1. Cincuenta y dos opciones para la primera carta, cincuenta y uno para la segunda, y así hasta cuarenta y ocho para la quinta
    2. 52 × 51 × 50 × 49 × 48 = 311.875.200 repartos ordenados
    3. Una mano de cinco cartas ignora el orden, así que se divide entre 5! = 120
    4. 311875200 / 120 = 2.598.960, el número de manos de póker de cinco cartas de siempre

    2.598.960 es el número que se cita en toda probabilidad de póker, lo que convierte este ejemplo en el que un lector puede contrastar con algo que ha visto en otro sitio. Es también el caso más claro de que el factor de ordenación es enorme: repartir las mismas cinco cartas en otra secuencia es otro reparto ordenado pero la misma mano, y el factor entre los dos recuentos es 120 en lugar de 6. Los dos recuentos son exactos, sin ningún redondeo.

  4. Códigos de tres cifras en los que las cifras pueden repetirse

    1. Con repetición permitida, cada una de las tres posiciones se elige entre las diez cifras de forma independiente
    2. 10 × 10 × 10 = 1000 códigos
    3. La fila sin orden ya no es 1000 / 6, porque las ordenaciones de un código como 777 no son todas distintas
    4. Pasa a ser el recuento de multiconjuntos: C(10 + 3 − 1, 3) = C(12, 3) = 220

    El número interesante aquí es la segunda fila. Con elementos distintos el recuento sin orden es simplemente el recuento de ordenaciones dividido entre r!, pero en cuanto se permiten repeticiones esa división corrige de más —777 tiene una sola ordenación distinta, no seis—, así que la página cambia a otra fórmula en lugar de dividir. 220 es el número de multiconjuntos de tres cifras tomadas de diez, y es la razón de que el interruptor de repetición cambie las dos filas y no solo la primera.

Limitaciones

Hay dos fronteras que se aplican en lugar de explicarse, y conviene conocerlas antes de que los números te sorprendan. Mientras no se permiten repeticiones, r no puede superar n: tomar cuatro elementos de un conjunto de tres no es un resultado improbable sino una petición imposible, y la página lo dice en lugar de devolver cero. El tamaño del conjunto está limitado a 1000. El segundo límite es el que muerde de verdad en la práctica: el número de ordenaciones es un producto que crece a una velocidad enorme, y esta página informa de números enteros exactos y no de una aproximación en notación científica. Pasado el punto en que el valor verdadero deja de ser representable con exactitud, prefiere no responder antes que imprimir un entero con las últimas cifras mal; un número equivocado que parece plausible es mucho peor aquí que una negativa clara, porque el número equivocado se copiaría en aquello que dependa de él. Hay también un límite aritmético menor en la rama con repetición, donde el recuento es una potencia y los exponentes muy grandes desbordan de la misma manera. Dos precisiones más sobre el significado. Ninguna de las dos filas es una probabilidad: las dos son recuentos de ordenaciones igual de probables, y convertir un recuento en una probabilidad exige dividir entre el número total de posibilidades, que depende del proceso y no del par de números de esta página. Y aquí no hay tabla de referencia de factoriales, coeficientes binomiales ni triángulo de Pascal, por la razón que da la quinta pregunta.

Preguntas frecuentes

¿Cuál es la diferencia entre una permutación y una combinación?
Una permutación cuenta ordenaciones y una combinación cuenta conjuntos: intercambia dos de los elementos elegidos y una permutación habrá producido un resultado distinto mientras que una combinación no. La página informa de las dos cosas para que la relación se vea en lugar de afirmarse: el recuento de ordenaciones es siempre el mayor de los dos, y dividirlo entre el factorial de r da la otra fila. En la práctica la pregunta que hay que hacerse es si las posiciones significan algo. Si el tercer puesto es distinto del segundo, como en un resultado de carrera o en una carta repartida en secuencia, quieres el recuento de ordenaciones; si los elementos elegidos son intercambiables, quieres el de conjuntos.
¿Por qué las dos filas difieren exactamente en r factorial?
Porque cada conjunto de r elementos elegidos se puede alinear en r! secuencias distintas, y el recuento de ordenaciones trata cada una de esas secuencias como un resultado separado. Con r = 3, tres elementos cualesquiera se pueden ordenar de seis maneras, así que un conjunto corresponde a seis ordenaciones y el recuento de ordenaciones es seis veces el de conjuntos. Es también la forma más rápida de comprobar un cálculo: divide las dos filas y el resultado debe ser un factorial. Si no lo es, el desajuste está en el planteamiento y no en la aritmética, casi siempre en un tamaño de conjunto o en un ajuste de repetición que no se corresponde con la situación descrita.
¿Cuándo cuenta como distinto elegir el mismo elemento dos veces?
Exactamente cuando la situación permita elegirlo dos veces: ese es el interruptor que controla el ajuste de repetición, y cambia las dos filas y no solo la primera. Un PIN de cuatro cifras extrae cada cifra de nuevo de las diez, así que 0000 y cualquier otra repetición son resultados corrientes y el recuento es 10⁴; un sorteo de lotería saca bolas del bombo, así que ningún número puede aparecer dos veces y el recuento es un producto decreciente. Con repetición permitida el recuento de conjuntos ya no es el de ordenaciones dividido entre r!, porque una elección como 777 tiene una sola ordenación distinta en lugar de seis, y la página usa el recuento de multiconjuntos para esa fila.
¿Por qué la página se niega a tomar más elementos de los que hay en el conjunto?
Mientras no se permiten repeticiones, una r mayor que n describe un procedimiento que no se puede llevar a cabo: el cuarto elemento distinto no existe cuando solo hay tres disponibles. La página informa del problema en lugar de devolver cero, porque cero es un recuento legítimo en otras situaciones y se leería como una respuesta. Activa la repetición y la misma petición pasa a ser de lo más corriente —tres elementos tomados de cinco en cinco con repetición son 3⁵ = 243 ordenaciones—, y esa es la razón de que el límite esté en la combinación de los dos ajustes y no en r por sí sola.
¿Por qué no hay ningún triángulo de Pascal ni tabla de factoriales en este par de páginas?
Porque una tabla aquí no podría ver los dos números que has escrito, y la tabla que la gente quiere —factoriales, coeficientes binomiales, las filas del triángulo de Pascal— es una lista de valores pequeños fijos. Ponla en la página y respondería a una pregunta distinta de la del panel que tiene encima, discrepando a veces a la vista con la fila que estás mirando, lo que es peor que no tener tabla. El panel es la tabla: cambia n, r o el ajuste de repetición y las dos filas se recalculan. Este par de páginas llega al mismo veredicto que las otras herramientas de recuento, en lugar de que una página ofrezca tabla y la otra no, porque las dos son dos direcciones de la misma pregunta.
¿Por qué la respuesta deja de funcionar con conjuntos grandes?
Porque el recuento de ordenaciones es un producto de largas series de números enteros, y supera el mayor entero que esta página puede representar exactamente mucho antes de lo que la gente espera: el factorial de 19 ya está por encima, aunque sus 18 cifras no parezcan alarmantes. Pasado ese punto la página se niega a responder en lugar de imprimir un número cuyas últimas cifras son incorrectas, y las cifras son todo el valor de un recuento exacto: un entero equivocado parece completamente normal y acabaría copiado en cualquier cálculo que dependa de él. El techo de 1000 elementos es una protección aparte y más holgada sobre la misma preocupación: detiene la entrada en un tamaño en el que la aritmética todavía merece la pena intentarse.

Referencias

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